Exemple 1 (Optimum de distribution) Une allocation est optimale, au sens de Pareto, s'il est impossible d'augmenter l'utilité d'un consommateur sans diminuer
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Maintenant on va se demander si l'allocation ( z*, x*) est la meilleure, est ce qu' elle est bonne pour la société (pour l'ensemble des individus) est ce qu'il en existe
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Exemple 1 (Optimum de distribution) Une allocation est optimale, au sens de Pareto, s'il est impossible d'augmenter l'utilité d'un consommateur sans diminuer
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3 2 Equivalence entre optimum de Pareto et équilibre con- currentiel McGraw Hill, 1957 Essay 1: Allocation of Resources and the Price System, sections 1 et
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Or, V Pareto considère que le degré d'utilité (ou Une situation est optimale au sens de Pareto lorsque l'utilité d'un l'allocation optimale des ressources
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Chapitre III
Optimum économique, équilibre
général et théorie du bien-être1 1. O
PTIMUM DE PARETO
1.1 Définition des états optimaux
État, état possible, choix parmi ces états.État
m vecteurs de consommation x i ; n vecteurs de production nette y jÉtat possible, réalisable
1) x i ? X i i = 1, 2, ... , m 2) y j ? P j j = 1, 2, ..., n3) xyw
ih im jh jn h 11 h=1, 2, ... , lRemarques
1. dans 3), le signe "=» signifie que l"on fait l"hypothèse de la libre disposition des excédents ;
2. la définition d"un état possible est indépendante de toute organisation ou de tout contexte
institutionnel. Elle ne fait appel qu"à des contraintes physiques ou techniques.3. dans 3), w
h représentent les dotations initiales en bien h.Le choix : 2 principes
1. le choix porte directement sur les vecteurs de consommation x
i ;, autrement dit, le choix entre deux états dépend seulement des x i2. le choix entre deux états va provenir des préférences des consommateurs.
Un état est préférable à un autre s"il est préféré par tous les consommateurs. 2Définition
Un état E* est de "rendement social maximum» ou est un "optimum au sens de Pareto», s"il est
possible et s"il n"existe pas un autre état E" possible, tel que u i ( x i " ) ≥ u i ( x i * ) pour i = 1, 2, ... , m avec l"inégalité stricte pour au moins un i.Autrement dit, E* est un optimum de Pareto s"il est possible et si, à partir de cet état, il n"est plus
possible d"augmenter la satisfaction d"un individu sans diminuer celle d"un autre.Représentation graphique
: ( voir graphique 3-01 a) et b) )Remarque : il
existe une infinité3-01 a)
3-01 b)
boîte d'Edgeworth E o E EE 0 2 0 1 u 2 u 1 ÊE o E E3 d"états qui sont des optimums de Pareto.
1.2 Caractérisation d"un optimum de distribution
Présentation du problème
On se situe dans une économie sans production (i.e. la production est exogène et incluse dans
les ressources initiales w h Dans un tel contexte, le problème revient à se demander comment on distribue les ressources
initiales w h entre les m consommateurs de façon à obtenir un optimum . Autrement dit, oncherche un état qui est possible et tel qu"il n"existe pas un autre état possible qui lui serait
strictement préféré par au moins un consommateur. Dans ce cas particulier, on cherche à caractériser : a) un état : m vecteurs x i ()xxx x xxx x xxx x mmm m11112 122122 2
12 l l l M b) un état possible : xw ih ih 1 h = 1, 2, ... , l x i ? X i i = 1, 2, ..., m pour le bien 1 : x 11 + x 21+ ... + x m1 = w 1 pour le bien 2 : x 21
+ x 22
+ ... + x m2 = w 2 pour le bien l : x 1l + x 2l + ... + x ml = wl c) un état qui est un optimum
Représentation graphique
4Le contexte : 2 consommateurs, i = 1, 2
2 biens, h = 1, 2
Le problème : on cherche à distribuer w = (w 1 , w 2 ) de façon optimale, i.e. on cherche des vecteurs x 1 = (x 11 , x 12 ) et x 2 = (x 21, x 22
i) qui sont possibles x 11 + x 21
= w 1 x 12 + x 22
= w 2 et ii) qui satisfont notre critère d"optimalité ( voir graphique 3-02 )
Tout point à l"intérieur de la boîte représente un état possible ou réalisable - Ex. E
0 1 3-02 0 2 x 12 x 21x 11 x 22
W 1 W 2 courbe des contratsE
5 Parmi tous ces points (états possibles), on cherche ceux qui répondent ou satisfont à notre critère
d"optimalité, i.e. tous les points sur la courbe des contrats. Comment se caractérisent les points sur la courbe des contrats ?Formulation du problème
Note : le contexte ou l"économie considérée est encore 2 consommateurs et 2 biens "Idéalement», le problème devrait s"écrire comme suit : Max xxxx11 12 21 22
[u 1 (x 11 , x 12 ), u 2 (x 21, x 22
s.c. x 11 + x 21
= w 1 x 12 + x 22
= w 2 (x 11 , x 12 ) ? X 1 (x 21
, x 22
) ? X 2 Toutefois, ceci n"est pas possible mathématiquement car on ne peut maximiser un vecteur : Ex. u u 1 2 1
1
peut être comparé à 22
, mais u u 1 2 12
ne peut être comparé à 21
On contourne ce problème "technique» en maximisant l"utilité d"un individu (choisiarbitrairement) sous contrainte d"un niveau donné d"utilité pour l"autre individu. On écrit alors :