Corrigé du baccalauréat S Polynésie du 10 juin 2016 A P M E P Autre méthode mathématique : si A1 > A2 alors A1te−t > A2te−t car te−t > 0 sur [0 ; + ∞[
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Sujet et corrigé du bac en mathématiques, série S - Freemaths
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants [ France Métropolitaine 2016 ] 1
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ipe de mathématiques de l'INSPE Lille Hauts-de-France — Version du 3 1 11 DEUXIÈME SEMESTRE 2015-2016 — SESSION 1 97 Analyse d' exercices proposés à des élèves sur l'apprentis-
Corrigé du baccalauréat S Polynésie du 10 juin 2016 7 points
Corrigé du baccalauréat S Polynésie du 10 juin 2016 A P M E P Autre méthode mathématique : si A1 > A2 alors A1te−t > A2te−t car te−t > 0 sur [0 ; + ∞[
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Corrigé du baccalauréat S Polynésie du 10 juin 2016
A. P. M. E.P.
EXERCICE1 -POUR TOUS LES CANDIDATS7 points
Partie A
Cd"alcool dans le sang (taux d"alcoolémie) en fonction du tempstaprès ingestion de la même quantité d"alcool.
L"instantt=0 correspond au moment où les deux individus ingèrent l"alcool.Cest exprimée en gramme par litre etten heure.
Définition : La corpulence est le nom scientifiquecorrespondant au volume du corps0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,500,51,01,5
C1 C2 tC1.La fonctionCest définie sur l"intervalle [0 ;+∞[ et on noteC?sa fonction dérivée. À un instanttpositif ou
nul, la vitesse d"apparition d"alcool dans le sang est donnée parC?(t). À quel instant cette vitesse est-elle maximale?Solution:
La vitesse est visiblement maximale pourt=0car c"est la tangente aux courbes en O(0 ; 0) qui semble avoir le coefficient directeur le plus élevé parmitoutes les tangentes. On dit souvent qu"une personne de faible corpulence subit plus vite les effets de l"alcool.2.Sur le graphique précédent, identifier la courbe correspondant à la personne la plus corpulente. Justifier le
choix effectué.Solution:Le coefficient directeurde la tangenteen O à la courbeC1est supérieurà celui de la tangente
en O à la courbeC2. C"est donc la personneP1la moins corpulente qui subit plus vite les effets de l"alcool.3.Une personne à jeûn absorbe de l"alcool. On admet que la concentrationCd"alcool dans son sang peut être
modélisée par la fonctionfdéfinie sur [0 ;+∞[ par f(t)=Ate-toùAest une constante positive qui dépend de la corpulence et de la quantité d"alcool absorbé.
a.On notef?la fonction dérivée de la fonctionf. Déterminerf?(0).Solution:
Première méthode(longue mais utilisable dans la partie B) : fest dérivable sur [0 ;+∞[ comme produit de fonctions dérivables sur [0 ;+∞[. f=uv=?f?=u?v+uv?avec?u(t)=At v(t)=e-t=??u?(t)=A v ?(t)=-e-t ?t?[0 ;+∞[ ,f?(t)=A(1-t)e-tet f?(0)=ACorrigé du baccalauréat S Polynésie
du 10 juin 2016page 1 sur 10A. Detant Corrigé du baccalauréat S Polynésie du 10 juin 2016A. P. M. E.P.
Deuxième méthode(peut-être un peu plus astucieuse) : lim h→0f(h)-f(0) h= limh→0Ae-h=A(limite finie)On en déduit que
fest dérivable en 0 etf?(0)=Ab.L"affirmation suivante est-elle vraie?"À quantité d"alcool absorbé égale, plusAest grand, plus la personne est corpulente.»
Solution:
L"affirmation est FAUSSE
Onavuquele nombredérivéen0est égalàf?(0)=A:c"estle coefficientdirecteurdelatangente àlacourbeàl"origine etonsait quelespersonnesdefaible corpulencesubissent plusvite leseffets de l"alcool. Donc plusAest grand et plus la personne est de faible corpulence. Autre méthode mathématique : siA1>A2alorsA1te-t>A2te-tcarte-t>0 sur [0 ;+∞[On en déduit que la courbe associée àA1est au dessus de celle associée àA2donc la personne
associée àA1est de plus faible corpulence que la personne associée àA2.Partie B - Uncas particulier
Paul, étudiant de 19 ans de corpulence moyenne et jeune conducteur, boit deux verresde rhum.La concentration
Cd"alcool dans son sang est modélisée en fonction du tempst, exprimé en heure, par la fonctionfdéfinie sur
[0 ;+∞[ par f(t)=2te-t.1.Étudier les variations de la fonctionfsur l"intervalle [0 ;+∞[.
Solution:On a vu dans la partie précédente que?t?[0 ;+∞[ ,f?(t)=A(1-t)e-torAe-t>0 doncf?(t) est du signe de 1-t, on peut donc déterminer les variations defsur [0 ;+∞[ x01+∞ f ?(t)+0- f(t) 02 e2.À quel instant la concentration d"alcool dans le sang de Paulest-elle maximale? Quelle est alors sa valeur?
Arrondir à 10
-2près.Solution:
La concentration d"alcool dans le sang de Paul est maximale 1h après l"absorption.Elle est alors d"environ
0,74g.l-1
Corrigé du baccalauréat S Polynésie
du 10 juin 2016page 2 sur 10A. Detant Corrigé du baccalauréat S Polynésie du 10 juin 2016A. P. M. E.P.
3.Rappeler la limite deet
tlorsquettend vers+∞et en déduire celle def(t) en+∞. Interpréter le résultat dans le contexte de l"exercice.Solution:limt→+∞e
t t=+∞ limt→+∞f(t)= limt→+∞2×tet= limt→+∞2×1?et t? = 0par quotient On en déduit que l"alcool finit par s"éliminer totalement.4.Paul veut savoir au bout de combien de temps il peut prendre savoiture. On rappelle que la législation
autorise une concentration maximale d"alcool dans le sang de 0,2 g.L-1pour un jeune conducteur. a.Démontrer qu"il existe deux nombres réelst1ett2tels que f (t1)=f(t2)=0,2. Solution:fest continue et strictement croissante sur [0 , 1] à valeurs dans? 0 ;2 e? or 0,2?? 0 ;2 e? donc d"après le théorème des valeurs intermédiaires, l"équationf(t)=0,2 admet une unique solutiont1sur [0 , 1] de même,fest continue et strictement décroissante sur [1 ,+∞[ à valeurs dans?0 ;2e?
or 0,2?? 0 ;2 e? donc d"après le théorème des valeurs intermédiaires, l"équationf(t)=0,2 admet une unique solutiont2sur [1 ,+∞[b.Quelle durée minimale Paul doit-il attendre avant de pouvoir prendre le volant en toute légalité?
Donner le résultat arrondi à la minute la plus proche. Solution:Par balayage, on obtientt1≈0,112 ett2≈3,577 donc Paul doit attendre au minimum 3 heures et 35 minutes avant de reprendre le volant.5.La concentration minimale d"alcool détectable dans le sangest estimée à
5×10-3g.L-1.
a.Justifier qu"il existe un instantTà partirduquella concentration d"alcool dansle sang n"estplusdétec-
table.Solution:On sait que limt→+∞f(t) = 0 donc par définition de la limite, pour tout?>0 il existeT?R
tel que pour toutt>T,f(t)?]-?;?[ ici on pose?=5×10-3 Donc il existe un instantTà partir duquel l"alcool n"est plus détectable dans le sangCorrigé du baccalauréat S Polynésie
du 10 juin 2016page 3 sur 10A. Detant Corrigé du baccalauréat S Polynésie du 10 juin 2016A. P. M. E.P.
b.On donne l"algorithme suivant oùfest la fonction définie par f(t)=2te-t.Initialisation:tprend la valeur 3,5
pprend la valeur 0,25Cprend la valeur 0,21
Traitement: Tant queC>5×10-3faire :
tprend la valeurt+pCprend la valeurf(t)
Fin Tant que
Sortie: Affichert
Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant en exécutant cet algorithme.Arrondir les valeurs à 10
-2près.Solution:
InitialisationÉtape 1Étape 2
p0,250,250,25 t3,53,754C0,210,180,15
Que représente la valeur affichée par cet algorithme?Solution:
La valeur affichée par l"algorithme est le temps nécessaire,en heure, pour que l"alcool ne soit plus détectable dans le sang. Sion poursuitl"algorithme jusqu"à son terme,on obtient8,25 à l"affichage doncilfaut8het 15mi- nutes pour que l"alcool ne soit plus détectable dans le sangEXERCICE2 -POUR TOUS LES CANDIDATS3 points
Soitula suite définie paru0=2 et, pour tout entier natureln, par u n+1=2un+2n2-n. On considère également la suitevdéfinie, pour tout entier natureln, par v n=un+2n2+3n+5.1.Voici un extrait de feuille de tableur :
ABC 1nuv 202731414
42928
532456
64637 8 9 10
Corrigé du baccalauréat S Polynésie
du 10 juin 2016page 4 sur 10A. Detant Corrigé du baccalauréat S Polynésie du 10 juin 2016A. P. M. E.P.
Quelles formules a-t-on écrites dans les cellules C2 et B3 etcopiées vers le bas pour afficher les termes des
suitesuetv?Solution:
en C2 on entre "=B2+2*A2×A2+3*A2+5»eten B3 on entre "=2*B2+2*A2×A2-A2»2.Déterminer, en justifiant, une expression devnet deunen fonction denuniquement.
Solution:Il semblerait que?n?N,vn=7×2n
on aurait alorsun=7×2n-2n2-3n-5 carvn=un+2n2+3n+5 Montrons par récurrence que?n?N,un=7×2n-2n2-3n-5 Initialisation : pourn=0 ,u0=2 et 7×20-2×02-3×0-5=7-5=2 donc la propriété est vérifiée au rangn=0 Hérédité : Supposons que pour tout entierk?N, on aituk=7×2k-2k2-3k-5 or 7×2k+1-2(k+1)2-3(k+1)-5=7×2k+1-2k2-4k-2-3k-3-5=7×2k+1-2k2-7k-10 donc siuk=7×2k-2k2-3k-5, cela entraîne queuk+1=7×2k+1-2(k+1)2-3(k+1)-5Lapropriété est donc héréditaire à partirdu rang0 or elle est vérifiée au rang0, donc d"aprèsle principe
de récurrence, ?n?N,un=7×2n-2n2-3n-5et donc?n?N,vn=un+2n2+3n+5=7×2nEXERCICE3 -POUR TOUS LES CANDIDATS5 points
Partie A
Un astronome responsable d"un club d"astronomie a observé le ciel un soir d"août 2015 pour voir des étoiles fi-
lantes. Il a effectué des relevés du temps d"attente entre deux apparitions d"étoiles filantes. Il a alors modélisé ce
temps d"attente, exprimé en minutes, par une variable aléatoireTqui suit une loi exponentielle de paramètreλ.
En exploitant les données obtenues, il a établi queλ=0,2.Il prévoit d"emmener un groupe de nouveaux adhérents de son club lors du mois d"août 2016 pour observer des
étoiles filantes. Il suppose qu"il sera dans des conditions d"observation analogues à celles d"août 2015.
L"astronomeveuts"assurerquelegroupenes"ennuierapasetdécide defairequelquescalculs deprobabilitésdont
les résultats serviront à animer la discussion.1.Lorsque le groupe voit une étoile filante, vérifier que la probabilité qu"il attende moins de 3 minutes pour
voir l"étoile filante suivante est environ 0,451.Solution:On chercheP(X<3).
La fonction densité de la loi exponentielle de paramètreλ=0,2 est définie sur [0 ;+∞[ par :
f(t)=0,2e-0,2tP(X<3)=?
3 00,2e-0,2tdt=?
-e-0,2t?30=1-e-0,6≈0,451 Donc la probabilité qu"il attende moins de 3 minutes est bienenviron 0,451Corrigé du baccalauréat S Polynésie
du 10 juin 2016page 5 sur 10A. Detant Corrigé du baccalauréat S Polynésie du 10 juin 2016A. P. M. E.P.
2.Lorsque le groupe voit une étoile filante, quelle durée minimale doit-il attendre pour voir la suivante avec
une probabilité supérieure à 0,95? Arrondir ce temps à la minute près. Solution:On cherche le plus petit réelTtel queP(X3.L"astronome a prévu une sortie de deux heures. Estimer le nombre moyen d"observations d"étoiles filantes
lors de cette sortie. Solution:On sait que l"espérance de la variable aléatoireTestE(T)=1λ=10,2=5 (min).
Donc en deux heures on peut espérer voir en moyenne 1205=24 étoiles filantes.
On peut espérer en moyenne voir 24 étoiles filantes pendant ces deux heures.Partie B
Ce responsable adresse un questionnaire à ses adhérents pour mieux les connaître. Il obtient les informations
suivantes : 64% des personnes interrogées sont des nouveaux adhérents;27% des personnes interrogées sont des anciens adhérents qui possèdent un télescope personnel;
65% des nouveaux adhérents n"ont pas de télescope personnel.1.On choisit un adhérent au hasard. Montrer que la probabilitéque cet adhérent possède un télescope per-
sonnel est 0,494.Solution:On considère les événements :
N: "l"adhérent interrogé est un nouvel adhérent» T: "l"adhérent interrogé possède un télescope» on peut alors illustrer la situation par un arbre pondéré : les données de l"exercice sont en vert et celles déduites sont en rouge N 0,64 ?T0,35 ?T0,65 ?N0,36 ?T> 0,270,75 ?T0,25On chercheP(T)
Net Nformentune partition de l"univers donc d"aprèsles pro- babilités totales on a :P(T)=P(N∩T)+P?N∩T?
=P(N)×PN(T)+0,27 =0,64×0,35+0,27 =0,494 que ce soit un nouvel adhérent? Arrondir à 10 -3près.Corrigé du baccalauréat S Polynésie
du 10 juin 2016 page 6 sur 10A. Detant Corrigé du baccalauréat S Polynésie du 10 juin 2016A. P. M. E.P.
Solution:On cherchePT(N)
Partie C
Pour des raisons pratiques, l"astronome responsable du club souhaiterait installer un site d"observation sur les
hauteursd"une petite ville de 2500 habitants. Mais la pollution lumineuse due à l"éclairage public nuit à la qualité
des observations. Pour tenter de convaincre la mairie de couper l"éclairage nocturne pendant les nuits d"observa-
tion, l"astronome réalise un sondage aléatoire auprès de 100 habitants et obtient 54 avis favorables à la coupure
de l"éclairage nocturne.L" astronome fait l"hypothèse que 50% de la population du village est favorable à la coupure de l"éclairage noc-
turne. Le résultat de ce sondage l"amène-t-il à changer d"avis?Solution:On ne connaît pas la proportionpd"habitants du village qui sont favorables à la coupure mais
on fait une hypothèse sur sa valeur. Pour valider cette hypothèse on utilise donc l"intervalle de fluctuation
asymptotique au seuil de 95%La taille de l"échantillon estn=100?30 et la probabilité supposéepvérifienp=50?5 etn(1-p)?5 on
peut donc appliquer l"intervalle de fluctuation I n=? p-1,96? p(1-p)?n;p+1,96? p(1-p)?n? soit iciIn=[0,402 ; 0,598] or la fréquence observée estf=54100=0,54?In
Le résultat conforte donc l"astronome.
EXERCICE4 - CANDIDATS N"AYANT PAS SUIVI L"ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ5 pointsPour chacune des cinq propositionssuivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifierla réponse choisie.
Il estattribuéun pointpar réponse exactecorrectementjustifiée.Une réponse nonjustifiéen"est pas priseen compte.
Une absence de réponse n"est pas pénalisée.1. Proposition 1:
Dans le plan complexe muni d"un repère orthonormé, les points A, B et C d"affixes respectiveszA=?
2+3i,zB=1+i etzC=-4i ne sont pas alignés.
Solution:
VRAISoitZ=zA-zCzB-zC=?
2+7i1+5i=116??2+7i?(1-5i)=116?
(?2+35)+(7-5?2)i?Z?Rdoncarg(Z)?=0(π) orarg(Z)=arg?zA-zC
zB-zC? =?--→CB;--→CA? (2π)On en déduit que
?--→CB;--→CA? ?=0(π) doncA,BetCne sont pas alignés.Corrigé du baccalauréat S Polynésie
du 10 juin 2016page 7 sur 10A. Detant Corrigé du baccalauréat S Polynésie du 10 juin 2016A. P. M. E.P.
2. Proposition 2:
Il n"existe pas d"entier naturelnnon nul tel que[i(1+i)]2nsoit un réel strictement positif.Solution:
FAUX i(1+i)=-1+i=?2? -?2 2+? 2 2i? =?2e3iπ4 on a alors [i(1+i)]2n=2ne3inπ 2=2n? e3iπ2?n=2n(-i)nSinest un multiple de 4 alorsn=4kaveck?N?
et on a3.ABCDEFGH est un cube de côté 1. Le point L est tel que-→EL=13-→EF.
A B CDE F GH L P MProposition 3
La section du cube par le plan (BDL) est un triangle.Solution:
FAUXIl s"agit du trapèzeBLMD
(BL)?(BAE) et (BL) n"est pas parallèle à (AE) donc elles sont sécantes enP.P?(EAD) etP?(BL)?(BDL) doncP?(BDL)
(DP)?(EAD) et (DP) n"est pas parallèle à (EH) donc elles sont sécantes enMProposition 4
Le triangle DBL est rectangle en B.
Solution:
FAUXOn se place dans le repère orthonormé?
B;--→BC,--→BA,--→BF?
alorsB(0 ; 0 ; 0) ,D(1 ; 1 ; 0) etL? 0 ;2 3; 1? on a donc --→BD((110)) ,--→BL((((02 3 1)))) et--→BD·--→BL=23?=0 doncBDLn"est pas rectangle enB4.On considère la fonctionfdéfinie sur l"intervalle [2; 5] et dont on connaît le tableau de variations donné
ci-dessous :Corrigé du baccalauréat S Polynésie
du 10 juin 2016 page 8 sur 10A. Detant Corrigé du baccalauréat S Polynésie du 10 juin 2016A. P. M. E.P.
x2 3 4 5Variations
def3 0 12Proposition 5:
L"intégralecest comprise entre 1,5 et 6.
Solution:
FAUXUn contre-exemple : on prend la fonction affine par morceaux décroissante sur [2; 3] et croissante sur
[3; 5] définie par : f(2)=3 ;f(2,001)=0.001 ;f(3)=0;f(3,999)=0,001 ;f(4)=1 ;f(4,999=1,001 etf(5)=2, on montre que l"intégrale est légèrement supé-
rieure à 1. L"affirmation est donc fausse. EXERCICE4 - CANDIDATS AYANT SUIVI L"ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ5 pointsPour chacune des cinq propositionssuivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifierla réponse choisie.
Il estattribuéun pointpar réponse exactecorrectementjustifiée.Une réponse nonjustifiéen"est pas priseen compte.
Une absence de réponse n"est pas pénalisée.1. Proposition 1
Pour tout entier natureln, le chiffre des unités den2+nn"est jamais égal à 4.Solution:
VRAI n2+n=n(n+1) dernier chiffre dendernier chiffre den+1dernier chiffre den(n+1) 010 122236
342
450
560
672
786
892
900
Corrigé du baccalauréat S Polynésie
du 10 juin 2016page 9 sur 10A. Detant Corrigé du baccalauréat S Polynésie du 10 juin 2016A. P. M. E.P.
2.On considère la suiteudéfinie, pourn?1, par
u n=1 npgcd(20 ;n).Proposition 2
La suite
(un)est convergente.Solution:
VRAI ?n?N?, 1?pgcd(20 ;n)?20 donc?n?N?,1n?un?20n or lim n→+∞1 n= limn→+∞20n= 0 donc d"après le théorème des gendarmes, lim n→+∞un= 0 donc(un)converge vers 0.3. Proposition 3
Pour toutes matricesAetBcarrées de dimension 2, on aA×B=B×A.Solution:
FAUXExemple : siA=?1 21 2?
etB=?0 11 0? alorsA×B=?2 12 1? etB×A=?1 21 2?4.Un mobile peut occuper deux positionsAetB. À chaque étape, il peut soit rester dans la position dans
laquelle il se trouve, soit en changer.Pour tout entier natureln, on note :
Anl"évènement "le mobile se trouve dans la positionAà l"étapen» etansa probabilité.
Bnl"évènement "le mobile se trouve dans la positionBà l"étapen» etbnsa probabilité.