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A. P. M. E. P.

?Corrigé du baccalauréat S Nouvelle-Calédonie?

17 novembre 2014

Exercice 15 points

Commun à tous lescandidats

Une fabrique de desserts glacés dispose d"une chaîne automatisée pour remplir des cônes de glace.

PartieA

Les cônes de glace sont emballés individuellement puis conditionnés en lots de 2000 pour la vente en gros.

On considère que la probabilité qu"un cône présente un défaut quelconque avant son conditionnement en

gros est égale à 0,003.

On nommeXla variable aléatoire qui, à chaque lot de 2000 cônes prélevés au hasard dans la production,

associelenombredecônesdéfectueux présents danscelot.Onsuppose quelaproductionestsuffisamment

importante pour que les tirages puissent être supposés indépendants les uns des autres.

1.La variable aléatoire donne le nombre de cônes défectueux eton suppose que les 2000 tirages sont

indépendants les uns des autres. De plus, la probabilité qu"un cône soit défectueux est de 0,003.

On peut donc dire que la variable aléatoireXsuit la loi binomiale de paramètresn=2000 etp=

0,003.

2.Si un client reçoit un lot contenant au moins 12 cônes défectueux, l"entreprise procède alors à un

échange de celui-ci.

L"événement "un lot n"est pas échangé » se produit quand le nombre de cônes défectueux est infé-

rieur ou égal à 11, donc correspond àX?11.

P(X?11)=11?

k=0P(X=k)

On calcule les probabilités (arrondies à 10

-5) : kP(X=k)P(X?k)

00,002460,00246

10,014780,01724

20,044460,06170

30,089100,15080

40,133850,28465

50,160780,44544

60,160860,60630

70,137880,74419

80,103360,84755

90,068840,91639

100,041240,95763

110,022450,98007

Donc la probabilité qu"un lot ne soit pas échangé est 0,980 aumillième.

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

PartieB

Chaque cône est rempli avec de la glace à la vanille. On désigne parYla variable aléatoire qui, à chaque

cône, associe la masse (exprimée en grammes) de crème glacéequ"il contient. On suppose queYsuit une loi normaleN?110 ;σ2?, d"espéranceμ=110 et d"écart-typeσ.

Une glace est considérée comme commercialisable lorsque lamasse de crème glacée qu"elle contient ap-

partient à l"intervalle[104; 116].

On sait que la probabilité de l"événement " une glace est commercialisable » est 0,98, ce qui signifie que

P(104?Y?116)=0,98.

D"après le cours, on sait que, siYsuit la loi normale de paramètresμ=110 etσ, alors la loiZ=Y-110

σsuit

la loi normale centrée réduite (de moyenne 0 et d"écart type 1).

104?Y?116?? -6?Y-110?6?? -6

σ?Y-110σ?6σdonc

P(104?Y?116)=0,98??P?

-6

σ?Z?6σ?

=0,98 On peut représenter la situation par le graphique ci-dessous : -6σ6σ 98%
1%1%

On peut en déduire queP?

Z?6σ?

=0,99. On peut le démontrer en utilisant un résultat connu du cours :P(-t?Z?t)=2P(Z?t)-1.

On cherche donc la valeurttelle queP(Z?t)=0,99 sachant que la variable aléatoireZsuit la loi normale

centrée réduite; on trouve à la calculatricet≈2,326.

On a donc :

Une valeur approchée à 10

-1près du paramètreσtelle que la probabilité de l"événement "la glace est com- mercialisable» soit égale à 0,98 est 2,6.

Vérification

Si Y suit la loi normale de paramètresμ=110etσ=2,6alors P(104?Y?116)≈0,979. Si on prendσ=2,5on trouve P(104?Y?116)≈0,984. Enfin en prenantσ=2,7on trouve P(104?Y?116)≈0,974.

La valeur approchée à10-1près deσqui donne la probabilité la plus proche de 0,98 est2,6.

PartieC

Une étude réalisée en l"an 2000 a permis de montrer que le pourcentage de Français consommant réguliè-

rement des glaces était de 84%.

L"intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% d"un pourcentagepdans une population de taille

nest : I=? p-1,96? p(1-p)?n;p+1,96? p(1-p)?n? On an=900 etp=0,84 donc l"intervalle de fluctuation asymptotique au seuilde 95% du pourcentage de Français consommant régulièrement des glaces en 2000 est : I=?

0,84-1,96?

0,84×0,16?900; 0,84+1,96?

0,84×0,16?900?

≈[0,816; 0,864]

Nouvelle-Calédonie217 novembre2014

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

En 2010, sur 900 personnes interrogées, 795 d"entre elles déclarent consommer des glaces, ce qui fait une

proportion def=795

900≈0,883.

Orf??Idonc on ne peut pas affirmer, au niveau de confiance de 95%, que le pourcentage de Français consommant régulièrement des glaces est resté stable entre2000 et 2010.

Nouvelle-Calédonie317 novembre2014

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

Exercice 25 points

Commun à tous lescandidats

1. Affirmation1 : vraie

Le point d"affixe (-1+i)10est situé sur l"axe imaginaire.

Explication

z=(-1+i)10=?(-1+i)2?5; (-1+i)2=-2i doncz=(-2i)5=-32i5 i

2=-1 donc i4=1 et donc i5=i; on en déduit quez=-32i qui est un imaginaire pur.

2. Affirmation2 : fausse

Dans l"ensemble des nombres complexes, l"équationz- z+2-4i=0 admet une solution unique.

Explication

On écritzsous la formea+iboùaetbsont des réels et on résout l"équation (E) :z- z+2-4i=0 (E)??a+ib-( a+ib)+2-4i=0??a+ib-(a-ib)+2-4i=0 ??a+ib-a+ib+2-4i=0??2ib+2-4i=0??(2b-4)i=-2 ce qui est impossible.

3. Affirmation3 : vraie

ln e7? +ln?e9?ln?e2?=eln2+ln3eln3-ln4

Explication

ln? e7? =12ln?e7?=72; ln?e9?=9 et ln?e2?=2 doncln?e9?ln?e2?=92

Donc ln

e7? +ln?e9?ln?e2?=72+92=162=8 ln2+ln3=ln(2×3)=ln6 donc eln2+ln3=eln6=6; ln3-ln4=ln3

4donc eln3-ln4=eln3

4=34 Donc eln2+ln3 eln3-ln4=63

4=6×4

3=8

4. Affirmation4 : vraie

?ln3 0e x ex+2dx=-ln?35?

Explication

Soitula fonction définie surRparu(x)=ex+2; cette fonction est dérivable surRetu?(x)=ex. De plus cette fonction est strictement positive surR.

Donc l"expression

ex ex+2est de la formeu?(x)u(x)qui a pour primitive ln(u(x)). La fonctionfdéfinie surRparf(x)=ex ex+2a pour primitive surRla fonctionFdéfinie parF(x)=ln(ex+2). Donc ln3 0e x ex+2dx=F(ln3)-F(0) 0e x ex+2dx=ln5-ln3=-(ln3-ln5)=-ln35

5. Affirmation5 : fausse

L"équation ln(x-1)-ln(x+2)=ln4 admet une solution unique dansR.

Explication

L"expression ln(x-1)-ln(x+2) n"existe que six-1>0 etx+2>0 donc on va résoudre l"équation ln(x-1)-ln(x+2)=ln4 dans l"intervalleI=]1;+∞[.

Nouvelle-Calédonie417 novembre2014

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

x-1-4x-8 x+2=0??-3x-9x+2=0??x=-3 etx?=-2 Mais-3??Idonc l"équation n"a pas de solution dansR.

Exercice 35 points

Commun à tous lescandidats

L"espace est rapporté à un repère orthonormé?

O,-→ı,-→?,-→k?

On donne les points A(1 ; 0 ;-1), B(1 ; 2 ; 3), C(-5 ; 5 ; 0) et D(11 ; 1 ;-2). Les points I et J sont les milieux

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