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Méca_C1 exercicesPC
Correction des exercices non corrigés en classeTraversée d'une rivière
Un nageur parti de A, se déplace à la vitesse constante ⃗Vpar rapport à l'eau d'une rivière de largeur d.
L'eau est animées d'un courant de vitesse constante ⃗v (v̂(⃗A1A,⃗V)=60° , et t0 = 1mn 45s
Solution :dA1
v dAA2Mouvement d'un point sur une tige en rotation
Soit le référentiel absolu R (O, X, Y, Z) de repère d'espaceR(O,⃗i,⃗j,⃗k). Dans ce référentiel, le plan , P(O,⃗k,⃗I)) tourne à
la vitesse angulaire constante ⃗Ω=Ω⃗k autour de l'axe OZ . Dans le plan P, une droite Δ fait un angle α < π/2 constant avec l'axe OZ .On note
⃗u le vecteur unitaire de Δ. Un point matériel (M) se déplace sur Δ telle qu' à t, ⃗OM=at⃗u , aétant une constante.
1) En considérant le plan P comme référentiel d'étude et
R1(O,⃗I,⃗J,⃗k) le repère d'espace associé, déterminer la vitesse ⃗Vr1(M) et l'accélération ⃗ar1(M) du point matériel exprimées dans la base (⃗I,⃗J,⃗k).2) En déduire
⃗Va(M) et ⃗aa(M) exprimées dans la base (⃗I,⃗J,⃗k).3) Retrouver
⃗Va(M) et ⃗aa(M) exprimées dans la base (⃗I,⃗J,⃗k) par un calcul direct.
Rep:⃗Va(M)=asinα⃗I+atΩsinα⃗J+acosα⃗k , ⃗aa(M)=aΩsinα(-Ωt⃗I+2⃗J)Solution
1) R1(O,⃗I,⃗J,⃗k)est en rotation uniforme autour de l'axe OZ à la vitesse angulaire ⃗Ω=Ω⃗k. ⃗OM=at⃗u; ⃗Vr1(M)=a⃗u=a(sinα⃗I+cosα⃗k) ; ⃗ar1(M)=⃗0 2)⃗Ve(M)=⃗Ω∧⃗OM=aΩtsinα⃗J; ⃗ae(M)=-Ω2⃗HM=-Ω2atsinα⃗I ;
⃗ac(M)=2⃗Ω∧⃗Vr1(M)=2Ωasinα⃗J ⃗Va(M)=⃗Vr1(M)+⃗Ve(M)=asinα⃗I+aΩtsinα⃗J+acosα⃗k⃗aa(M)=⃗ar1(M)+⃗ae(M)+⃗ac(M)=aΩsinα(-Ωt⃗I+2⃗J)3) Calcul direct : on se place dans le référentiel absolu R :
⃗OM=at⃗u=atsinα⃗I+atcosα⃗k.