III Opposé d'un vecteur Définition 3 Quels que soient les points A et B, le vecteur −−→ BA est appelé vecteur opposé au vecteur −−→ AB My Maths Space
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[PDF] I Définition II Égalité de vecteurs III Opposé dun vecteur
III Opposé d'un vecteur Définition 3 Quels que soient les points A et B, le vecteur −−→ BA est appelé vecteur opposé au vecteur −−→ AB My Maths Space
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Deux vecteurs sont opposés lorsque leur somme est égale au vecteur nul, ils ont alors même longueur et même direction mais des sens différents KB 2 sur 4 A B
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BA sont opposés On écrit : BA=− AB d) Soustraction des vecteurs Pour soustraire un vecteur il suffit d'ajouter son opposé Quels que soient les points A
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Le vecteur somme est représenté par la flèche qui a comme point de départ l' origine des deux vecteurs initiaux et le sommet opposé du parallélogramme
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sont des vecteurs opposés On note BA = - AB Exercices conseillés En devoir Exercices conseillés En devoir p172 n°8 et 9 p171 n°7
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vecteur nul et est noté Å0 • On dit que deux vecteurs sont opposés lorsqu'ils ont la même direction, des sens contraires et même norme L'opposé d'un vecteur
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Définition 3 vecteurs particuliers : 1) Vecteur nul noté 0⃗ : Translation qui transforme un point en lui-même 2) Vecteurs opposés : Le vecteur opposé au vecteur
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D est l'image de C par la translation de vecteur si et seulement si les vecteurs et sont égaux Vecteurs opposés : Deux vecteurs opposés sont deux vecteurs qui
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Le couple (A; B) détermine ce qu'on appelle vecteur et qu'on note Le point Le vecteur opposé d'un vecteur AB est le vecteur BA et on écrit : AB BA
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SecondeVecteurs2011-2012
I Définition
quadrilatèreABCDest un parallélogramme. AB.Translation de vecteur
ABtransformantDenC:
On remarque que :
•(AB) et (DC) sont parallèles (même direction), •ABetDCsont de même longueur, •--→ABet--→DCvont dans le même sens.Les vecteurs seront souvent notés
-→u,-→v,-→w... AB DC -→u-→ u Remarque 1Le vecteur-→un"est pas fixe, on peut le dessiner n"importe où sur une feuille : -→u -→u -→u -→uII Égalité de vecteurs
Définition 2Deux vecteurs--→ABet--→DCsont égauxsi et seulement si le quadrilatèreABCDest un parallélogramme
(éventuellement aplati). On note alors--→AB=--→DC.Aucun des vecteurs ci-contre ne
sont égaux deux à deux. -→u -→x -→v -→w Remarque 2•--→AB=-→0 si et seulement siA=B,•Si on fixe un pointO, alors pour tout vecteur-→u, il existe un unique pointMvérifiant-→u=--→OM.
III Opposé d"un vecteur
Définition 3Quels que soient les pointsAetB, le vecteur--→BAest appelé vecteur opposéau vecteur--→AB.
My Maths Space1 sur 3
SecondeVecteurs2011-2012
Remarque 3Si-→u=--→AB, alors--→u=--→BA. -→u -u AAB=-→v
B -vIV Somme de deux vecteurs
Définition 4Soient-→uet-→vdeux vecteurs, on définit le vecteur-→w=-→u+-→vde la façon suivante :
SoitAun point du plan, on trace le représentant de-→ud"origineA: il a pour extrémitéB, puis on trace le représentant de-→vd"origineB: il a pour extrémitéC. Le vecteur-→ACest un représentant du vecteur-→w. -→u -→v A -→u B -→vC-→w=-→u+-→v
Relation de Chasles :Pour tous pointsA,BetCdu plan, on a--→AB+--→BC=-→AC. Propriété 1Quels que soient les vecteurs-→u,-→vet-→wdu plan, on a : -→u+-→v=-→v+-→u, ©(-→u+-→v) +-→w=-→u+ (-→v+-→w), -→u+-→0 =-→u. V Multiplication d"un vecteur par un nombre réelDéfinition 5Soit-→u=--→ABun vecteur non nul etkun réel non nul, on définit le vecteur-→v=k-→u=-→ACpar :
Remarque 4Si-→u= 0 ouk= 0 alors-→v=-→0My Maths Space2 sur 3
SecondeVecteurs2011-2012
-→u -→v= 2-→u -→w=-3-→u -→x=12-→u
-→y=-43-→u
Propriété 2Quels que soient les vecteurs-→u,-→vet les réelsketl, on a :©k(-→u+-→v) =k-→u+k-→v
©(k+l)-→u=k-→u+l-→u
©k(λ-→u) = (kλ)-→u
©k-→u=-→0??k= 0 ou-→u=-→0
VI Colinéarité de deux vecteurs
Définition 6Deux vecteurs-→uet-→vsont colinéairess"il existe un réelknon nul tel que-→v=k-→u.
Autrement dit, les vecteurs
-→uet-→vont la même direction. Sur le dessin précédent, tous les vecteurs dessinés sont colinéaires entre eux.Propriété 3©Trois pointsA,BetCsont alignés si et seulement si les vecteurs--→ABet-→ACsont colinéaires,
©deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs--→ABet--→CDsont colinéaires.
AB ABCAB-→AC
AB C D AB CDVII Vecteurs et coordonnées
Définition 7Deux vecteurs non colinéaires et un point du plan définissentun repère. Si les vecteurs sont
orthogonaux , le repère est ditorthogonal ; si de plus les longueurs (normes) des vecteurs valent 1, le repère
est dit orthonormal . On note un repère de la manière suivante :(O;-→i;-→j)VII.1 Coordonnées d"un vecteur
Définition 8Dans un repère(O;-→i;-→j), on dit qu"un vecteur-→ua pour coordonnées-→u?a
b? si et seulement si -→u=a-→i+b-→j