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366F´ısicapaso apaso.M´asde100 problemasresuel tos

Problema3.19.

rizontalrecorrida,usosedistin tossistemasde coordenadas. Elgol queJamesRodr´ıguezhizoen elpartidode octavos definalen treCol om- biayUrugua ydelm undialdeBrasil2014fue elegidomejorg oldeesea˜no. Jameslepeg´oalbal ´oncuandoel bal´onestabaca yendo,el bal´onpeg´oenel palo superiordela porter´ıadeM uslera(el arquerodeUruguay)ycruz´olal ´ıneade gol.Eltiempo quevol ´oelbal ´ondesdeque lepeg´oJames hastaquetoc´oelpal o fuedeaproximadamen te0.9segundos. Laalturasobreel pisodesdela cual lepeg´oJames fuedeaproximadamente31.5cen t´ımetros.Laal turaa laque est´aelpal osuperiores de2.44metros.Adem´as,James lepeg´oalbal ´oncuando estabaam ´asomenos 26.5metrosdel arco.Usandoun sistemade coordenadas cuyoorigen est´eenel prado justodebajodel puntodeimpacto,responda: (a)¿Cu´alfuela vel ocidadconla quesali´oelbal ´onalser impactadopor

James?

(b)Aproximadamenteaqu´edistancia horizontal(en X)delal´ıneadeg ol seencontr abaelbal´oncuando lleg´oa sualtur am´axima? (c)Respondaden uevo(a) perousandounsistemacuyoorigenest´ejusto enelpun tode impacto(noenelpr ado)yseg ´unelcual elejeY apunta haciaabajo. 10 Ca´ıdalibre,lanzamientover ticalymovimiento parab´olico367

Soluci´on

¿Qu´einformaci ´onnos dan?

(a),(b)La altura inicialdesdela cualsali´oelbal ´onfue aproximadamentede 31.5cent´ımetros.El

tiempodevuelodel bal´ondesdeque sali´odispar adohastaquetoc´oelpal oesde 0.9segundos. Ladistanciaen treel arcoyelpuntode impactoes dem´asomenos 26.5metros.La altura ala queest´aelpal oesde 2.44metros.Debemosusarunsistema decoordenadasen elpisojusto debajodelpun todeim pacto. (c)Debemos usarunsistema comoelde antespero coneleje Yapuntando haciaabajo.

¿Qu´enospiden?

(a)Debemosdecirla velocidad conla quesali´oelbal ´onal serimpactado porJames.

(b)Encontrarladistanciahorizontalentre lal ´ıneadeg olyel bal´oncuandoel bal´onest´aen

sualtur am´axima. (c)Responder(a)con unsistemade coordenadascuyoeje Yapunte haciaabajo. (a)Nodebemos escogerun sistemade coordenadasporqueenelenunciado nosdicenque usemosunocon elorigen enelpasto yjustodebajo debal ´on: 10 X Y Paradeterminarlavelocidadcon laquesali ´oelbal ´onal serpateado porJames, necesitamosencontr arlascomponentesXyY deestav elocidad.Unavez encontramosestascomponentes,podemoshallar lamagnitudy direcci´ondela velocidadinicial. Comencemosporhallarlav elocidaden Xdelbal ´on.Ladistancia totalrecorrida enXpor elbal´ones de26.5metros. Adem´as,elbal ´onrecorreesta distanciaen untiempo de0.9segundos.Porl otanto, comoenX distanciaes rapidezpor tiempo,tenemos (26.5m)=v x (0.9s).(1)

368F´ısicapaso apaso.M´asde100 problemasresuel tos

As´ıquela rapidezv

x es (26.5m) (0.9s) =29.44m/s =v x .(2) Parahallarlarapidezinicialen Ypodemosusar laecuaci´ondemovimien to enY, puesconocemoseltiempode vuelo,la posici´onfinal enYy laposici´on inicialenY .Seg´unnuestro sistemadecoordenadas,laposici´oninicialdel bal´on es(0.315m) ˆy(hemospasado31.5 cma metros).Laposici ´onfinales (2.44m)ˆy, queescuando elbal ´ontocael poste,laaceler aci´onesgyesneg ativa, yel tiempodevueloes de0.9 segundos.Por´ultimo,larapidezinicial enY debeser positiva(elbal´onsalehacia arriba).Por lotan to,laecuaci ´ondemovimien toen

Yquedaas ´ı:

(2.44m)ˆy y f ˆy 1 2 (9.81m/s 2 )(0.9s t 2

ˆy+v

iy (0.9s t )ˆy+(0.315s)ˆy y i ˆy .(3) Siaplicamosla regladeoro, dejamoselt ´erminoquetiene v iy soloaladerecha ysumamostodo loque sepuedesumar ,estaecuaci´onqueda

6.10m=v

iy (0.9s).(4)

Finalmente,sidividimosentreeltiem poestoda

6.09m 0.9s =6.78m/s=v iy .(5) Ahoraqueconocemostanto larapidez enXcomo larapidezinicialen Y podemoshallarla rapidezinicial total.Recordemosque lamagnituddeun vectorest´adada porlar a´ızcuadr adadelasumadela magnituddecada componentealcuadrado,as´ıqueen estecasotenemos v= v 2 x +v 2 iy .(6) Siusamosla rapidez enXdada porlaecuaci´on(2)y lar apidezinicialen Y dadaporla ecuaci´on(5), laecuaci´on(6) queda v= (29.44m/s v x 2 +(6.78m/s v iy 2 =30.21m/s.(7) Enpalabras, larapidezconlaque sali´oelbal ´onfuede 30.21metros por segundo,quees iguala108.76 kil´ometrospor hora.S ´olonosfalta hallarla direcci´onenla cualsali´odisparado elbal´on. Ca´ıdalibre,lanzamientover ticalymovimiento parab´olico369 Ladirecci´onesf ´acilde hallarporqueconocemos ambascomponen tesytambi ´en conocemosla magnituddela velocidad inicial.Como yahemoshecho en variosproblemas,lacom ponenteX esadyacente al´angulodelanzamientoy la componenteYesopuestaal´angulo: (26.5m)=v x (0.9s) (1) t d x

Así que la rapidez v

x es: (26.5m) (0.9s) =29.44m/s=v x (2) Ahora debemos hallar la rapidez inicial en Y. Para hallar esta rapidez podemos usar la ecua- ción de movimiento en Y, pues conocemos el tiempo de vuelo, la posición final en Y y la

posición inicial en Y. Según nuestro sistema de coordenadas, la posición inicial del balón es

(0.315m)̂y (donde hemos usado que 31,5 centímetros es 0,315 metros). La posición final es (2.44m)̂y , la aceleración es g y es negativa, y el tiempo de vuelo es de 0.9 segundos. La rapidez inicial en Y no la conocemos pero sabemos que debe ser positiva. Por lo tanto, la ecuación de movimiento en Y queda: Si aplicamos la regla de oro y dejamos el término que tiene v iy sólo a la derecha (y suma- mos todo lo que se puede sumar), esta ecuación queda:

6.10m=v

iy (0.9s) (4)

Finalmente, si dividimos entre el tiempo esto da

6.09m 0.9s =6.78m/s=v iy (5) Ahora que conocemos tanto la rapidez en X como la rapidez inicial en Y podemos hallar la rapidez inicial total. Recordemos que la magnitud de un vector está dada por la raíz cuadra- da de la suma entre la magnitud de cada componente al cuadrado. Es decir: v=v 2 x +v 2 iy (6) Si usamos la rapidez en X dada por la ecuación (2) y la rapidez inicial en Y dada por la ecuación (5), la ecuación (6) queda: v=(29.44m/s) 2 +(6.78m/s) 2 =30.21m/s (7) v x v iy Es decir, la rapidez inicial con la que salió el balón fue de 30.2 metros por segundo (esto es

igual a 108.7 kilómetros por hora). Aún nos falta hallar la dirección en la cual salió el ba-

lón. Esta dirección es fácil de hallar porque conocemos ambas componentes y también co- nocemos la magnitud de la velocidad inicial. Como ya hemos hecho en varios problemas, la componente X es adyacente al ángulo θ de lanzamiento y la componente Y es opuesta al

ángulo:

v v iy v x Por lo tanto, la componente X sobre la magnitud de la velocidad inicial (que es la hipotenu- sa) nos da el coseno del ángulo: v x v

29.44m/s

30.21m/s

=0.97=cosθ (8)

Así que θ será

240
(2.44m)̂y=- 1 2 (9.81m/s 2 )(0.9s) 2

̂y+v

iy (0.9s)̂y+(0.315m)̂y (3) y f

̂yy

̂ytt

Larapidez inicialenYeselca tetoopuestoy larapidez inicialenX eselca teto adyacente. Porlotan to,lacomponenteX sobrelamagnituddelavelocidadinicial (quees lahipotenusa) nosdaelcosenodel ´angulo: v x v

29.44m/s

30.21m/s

=0.97=cos✓.(8)

As´ıque✓es

✓=arccos(0.97)=12.88 .(9) As´ı,lav elocidad inicialtienemagnitudde30.21metrosporsegundoy apunta endirecci´onde12.88 gradoscon respectoal ejeX,medidosenelsen tido contrarioalasmanecillasdelreloj. (b)Par ahallarladistanciahorizontalentre elbal´onyla l´ıneadeg olcuando elbal´onalcanza sualturam´axima,debemosdeterminar cu´antadistanciaha recorridoelbal ´onal olargo deXcuandollegaa sualturam´axima.Par ahallar estadistancia,necesitamos larapidez enXque yaconocemosy eltiempode alturam´aximaqueno conocemos.Recordemos(nota 3.10)queeste tiempode alturam´aximaest´adadopor v iy g =t m .(10)

Seg´unla ecuaci´on(5), v

iy es6.78m/s. As´ıqueel tiempo dealtur am´aximaes v iy

6.78m/s

9.81m/s

=0.69s.(11)

370F´ısicapaso apaso.M´asde100 problemasresuel tos

ComoenXdistanciaes rapidezpor tiempo,en estetiempo ladistanciarecorri- daes d x =(29.44m/s v x )(0.69s t )=20.31m.(12) Entrelal´ıneademeta yelpun todeim pactohay unadistanciade 26.5metros enX.Seg ´unlaecuaci ´on(12),el bal´onharecorrido 20.31metrosen X.Por lo tanto,elbal´onest´aa26.5 m-20.31m =6.19mde lal´ıneadeg ol.Esdecir , cuandollega asualtura m´aximaelbal ´oncasiest ´aenel ´areapeque ˜nadel arquero(en lascincocon cincuenta),l oqueexplica lodif ´ıcilqueer apara el arqueroatajar lo. (c)Ahora debemosusarunsistemacuyoorig enest´eenel puntode impacto delbal´onycuyo ejeYapun tehaciaabajo, talcomose indicaacon tinuaci´on: 10 X Y Larapidez enXeslamismaporque ladistanciarecorrida enXsigue siendola mismayporque eltiempo siguesiendoel mismo.As´ıquela ecuaci´on(1)sigue siendov´alida.Ahora, parahallarlarapidez inicialenYdebemosvol vera usar laecuaci´ondemovimien toenY ,s´oloqueahoraesta ecuaci´ontieneotr aforma. Primero,laposici ´oninicialen Yes ceroconel nuevo sistema.Ensegundo luga r, lav elocidadinicialenYesnegativ aporqueahor ahaciaarriba esnega tivoy la aceleraci´ondela grav edadesahor apositiva.Finamente,conrespectoaeste sistemanuev olaalturafinalesde2.44 m-0.15m=2.125m,como seapreciaa continuaci´on: Ca´ıdalibre,lanzamientover ticalymovimiento parab´olico371 Y X

2.44 m

0.315 m

2.125 m

Así, la ecuación de movimiento en Y para el balón, según este sistema, quedaquotesdbs_dbs13.pdfusesText_19

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366F´ısicapaso apaso.M´asde100 problemasresuel tos

Problema3.19.

James?

Soluci´on

¿Qu´einformaci ´onnos dan?

¿Qu´enospiden?

368F´ısicapaso apaso.M´asde100 problemasresuel tos

As´ıquela rapidezv

Yquedaas ´ı:

ˆy+v

6.10m=v

Finalmente,sidividimosentreeltiem poestoda

Así que la rapidez v

6.10m=v

Finalmente, si dividimos entre el tiempo esto da

ángulo:

29.44m/s

30.21m/s

Así que θ será

̂y+v

̂yy

̂ytt

29.44m/s

30.21m/s

As´ıque✓es

Seg´unla ecuaci´on(5), v

6.78m/s

9.81m/s

370F´ısicapaso apaso.M´asde100 problemasresuel tos

2.44 m

0.315 m

2.125 m