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La corrélation entre deux matrices de distances euclidiennes

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©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2022-20231

Espaces préhilbertiens réels

Dans tout ce chapitre, on ne considère que desR-espaces vectoriels.

I Produit scalaire et norme euclidienne

I.1 Produit scalaire

Définition 1SoitEunR-espace vectoriel. On appelleproduit scalairesurEtoute appli- cation deE×EdansRnotée<·,·>vérifiant : •<·,·>est bilinéaire •<·,·>est symétrique :?x,y?E,< x,y >=< y,x >. • pour toutx?E,< x,x >?0. De plus si< x,x >= 0, alorsx= 0. Un produit scalaire est donc une forme bilinéaire, symétrique définie positive. On appelleespace préhilbertienun espace vectoriel muni d"un produit scalaire. Si de plus Eest de dimension finie, on dit queEest unespace euclidien

Exemples à connaître :

• le produit scalaire canonique deRn, six= (x1,...,xn) ety= (y1,...,yn) sont dansRn, on pose < x,y >=x1y

1+···+xnyn=X?Y

oùXetYsont les matrices colonnes des coordonnées dexety.

Exercice : rgA= rg(A?A)

• le produit scalaire canonique deMn(R) (qui coïncide avec le produit scalaire canonique deRn2), siAetBsont dansMn(R), on pose < A,B >= Tr(A?B) =?

1?i,j?na

ijbij. • le produit scalaire canonique deC([a,b],R), sifetgsont dansC([a,b],R), on pose < f,g >=? b af(t)g(t)dt.

I.2 Normes euclidiennes

Définition 2 (Norme euclidienne)Soit(E,<·,·>)un espace préhilbertien. On pose pour x?E, ?x?= ⎷< x,x >. On dit que? · ?est la norme euclidienne associée au produit scalaire<·,·>. De plus, siyest un autre vecteur deE, on dit que?x-y?est la distance euclidienne entre xety. ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2022-20232 Proposition 3 (règles de calcul dans un espace préhilbertien)Soit(E,<·,·>)un es- pace préhilbertien et?·?la norme euclidienne associée. • homogénéité : pour toutx?Eet pour toutλ?R, on a?λx?=|λ|?x?. • identités remarquables : ?(x,y)?E2,?x+y?2=?x?2+?y?2+2< x,y >et?x-y?2=?x?2+?y?2-2< x,y > • identités de polarisation : ?(x,y)?E2, < x,y >=1

2(?x+y?2-?x?2-?y?2)et< x,y >=14(?x+y?2-?x-y?2).

Remarque : les identités de polarisation permettent de retrouver le produit scalaire à l"aide de la norme. Proposition 4 (Inégalité de Cauchy-Schwarz)Soit(E,<·,·>)un espace préhilbertien et?·?la norme euclidienne associée. ?(x,y)?E2,|< x,y >|??x??y?. De plus, il y a égalité dans l"inégalité ssixetysont colinéaires. Exercice : démontrer que (puis cas d"égalité)

II Orthogonalité

II.1 Généralités

Définition 5Soit(E,<·,·>)un espace préhilbertien et?·?la norme euclidienne associée.

• Deux vecteursxetydeEsont dit orthogonaux si< x,y >= 0. • Une famille(x1,...,xn)de vecteurs deEest dite orthogonale si ses vecteurs sont 2 à

2 orthogonaux. Elle est dite orthonormale si elle est orthogonale et si ses vecteurs sont

unitaires, c"est-à-dire de norme1. En particulier (x1,...,xn)orthonormale?? ?i,j??1,n?, < xi,xj>=δij(symbole de Kronecker).

Exemples :

• la base canonique deRn(resp. deMn(R)) est une famille orthonormale deRn(resp. de M n(R)) muni du produit scalaire canonique. On dit que ce sont des bases orthonormales (BON). • la base canonique deR[X] n"est pas une famille orthogonale deR[X] muni du produit scalaire< P,Q >=?1

0P(t)Q(t)dt.

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2022-20233 • les fonctions cos et sin sont orthogonales. Proposition 6Une famille orthogonale qui ne contient pas le vecteur nul est libre. En parti- culier, une famille orthonormale est libre. Exercice : on posefn:x?→cos(nx). La famille (fn)n?Nest libre en calculant?2π

0fpfq.

Théorème 7 (Théorème de Pythagore)Soit(E,<·,·>)un espace préhilbertien et?·?la

norme euclidienne associée. On a ?(x,y)?E2, x?y? ?x+y?2=?x?2+?y?2. Plus généralement, si(x1,...,xn)est une famille orthogonale deE, on a

Sin?3, la réciproque est fausse.

Exercice : calculer la norme (ou énergie) du signalf:t?→2cos(t)-3cos(2t) + 5cos(4t) (réponse 38πd"énergie).

II.2 Sous-espaces vectoriels orthogonaux

Définition-Proposition 8Deux sous-espaces vectorielsFetGd"un espace préhilbertien(E,< ·,·>)sont dites orthogonaux si tout vecteur deFest orthogonal à tout vecteur deG. On note alorsF?G. LorsqueFetGsont de dimensions finies de bases respectivesBF= (f1,...,fp)etBG= (g1,...,gq), on a

F?G?? ?(i,j)??1,p?×?1,q?, < fi,gj>= 0.

Exemples :

•Ple plan deR3d"équation 2x+y+z= 0. AlorsP?Δ avec Δ = Vect(2,1,1). • SiE=Mn(R), on aAn(R)?Sn(R). Définition-Proposition 9 (Orthogonal d"une partie)SoitXune partie de(E,<·,·>) un espace préhilbertien. On appelle orthogonal deXl"ensemble X ?={y?E| ?x?X, < x,y >= 0}.

L"orthogonal deXest un sous-espace vectoriel deE.

Exemples :

• Si (i,j,k) est la base canonique deR3, et si on noteX={i,j}dansR3,X?= Vect{k}. • l"orthogonal du plan deR3d"équation 2x+y+z= 0 est la droite Δ = Vect(2,1,1). • l"orthogonal de l"espace des matrices diagonales deMn(R) est l"espace des matrices de M n(R) dont les coefficients diagonaux sont nuls. Remarque : si on aF?G, on a en particulier queF?G?, mais on n"a pas forcément F=G?. Par exemple dansR3, Vecti?Vectj, mais Vectj?n"est pas égal à la droite Vecti, mais égal au plan d"équationy= 0. ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2022-20234 II.3 Existence de bases orthonormales dans un espace euclidien Théorème 10Tout espace euclidien admet une base orthonormale.

On en déduit le théorème de la base orthonormée incomplète : soitEun espace euclidien.

Toute famille orthonormale deEpeut être complétée en une bas orthonormale deE. Proposition 11 (Règles de calcul dans les bases orthonormales)SoitB= (e1,...,en) une bon deEeuclidien, soitxetydansEde coordonnées(x1,...,xn)et(y1,...,yn)dansB. Alors

Pour touti??1,n?, on axi=< x,ei>. De plus,

< x,y >=x1y1+···+xnyn=tXYet?x?2=< x,e1>2+···+< x,en>2. Remarque : cette proposition montre que dans un espace euclidien, si l"on prend une base orthonormale, le produit scalaire et la norme se calcule selon le modèle du produit scalaire canonique deRn. Application : matriceAd"un endomorphismefdans une base orthonormaleB= (e1,...,en) : on aAi,j=< ei,f(ej)>. III Projection orthogonale sur un sous-espace de dimen- sion finie III.1 Supplémentaire orthogonal et projection orthogonale Proposition 12 (Supplémentaire orthogonal)SoitFun sous-espace vectoriel dedimen- sion finiedeEpréhilbertien. Alors : •FetF?sont supplémentaires dansE, c"est-à-direE=F?F?. • On a(F?)?=F. • Si de plusEest de dimension finie, on adimF?= dimE-dimF.

Application :Sn(R)?=An(R).

Remarque : la proposition ci-dessus est fausse siFn"est pas de dimension finie. En effet, siE=C([0,1],R) muni de son produit scalaire canonique, le sous- espaceF={f?E| f(0) = 0}vérifieF?={0}(cf feuille d"exos). SiFest de dimension finie,FetF?sont supplémentaires dansE, on peut donc définir la projection vectorielle surF, parallèlement àF?. Nous avons en plus Définition-Proposition 13SoitFun sous-espace vectoriel deEeuclidien. On appelle pro- jection orthogonale surFla projection vectorielle surF, parallèlement àF?. On la notepF. De plus si(e1,...,ep)est une bon deF, alors pour toutx?E, on a p

F(x) =< x,e1> e1+···+< x,ep> ep.

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2022-20235 Exercice : siF= Vect{a}est une droite etH=F?l"hyperplan orthogonal àF, alors commepF+pF?= id, on a : ?x?E, pF(x) =< x,a >a ?a?2etpH(x) =x-< x,a >a?a?2.

Exercice : soitx?E. Démontrer que?pF(x)???x?.

III.2 Application à la construction de BON

Il faut savoir mettre en pratique l"algorithme de Gram-Schmidt, qui permet une construc- tion explicite d"une bon à partir d"une base. En voici le principe : soit (e1,...,en+1) une base deE. Supposons que l"on a déjà construit une famille orthonormaledeE, (f1,...,fn) telle que F= Vect{f1,...,fn}= Vect{e1,...,en}. On construit alors un vecteurgn+1orthogonal àF en projetant le vecteuren+1surF?. On pose ainsi g n+1=en+1-pF(en+1) =en+1-(< en+1,f1> f1+···+< en+1,fn> fn). Il ne reste plus qu"à le normer en posantfn+1=gn+1 ?gn+1?. Proposition 14 (Algorithme de Gram-Schmidt)SoitB= (e1,...,en)une base deEeu- clidien. Alors on peut construire une base orthonormée deEB∫= (f1,...,fn)telle que pour touti??1,n?, Vect{e1,...,ei}=Vect{f1,...,fi}. Exemple : On munitR2[X] du produit scalaire défini par< P,Q >=?1

0P(t)Q(t)dt. En

appliquant l"algorithme de Gram-Schmidt à la base canonique(1,X,X2), on obtient la base (1,⎷

12(X-1/2),⎷180(X2-X+16)).

III.3 Distance d"un vecteur à un sous-espace vectoriel de dimension finie

Voici le théorème qui généralise un résultat de géométrie du collège : une version du collège :

la distance d"un pointAà une droite Δ est égale à la distance du pointAau pointHle projeté

orthogonal deAsur Δ. Attention ce résultat peut être faux pour des normes non euclidiennes, cf section sur les normes. Penser à la normeN1et à sa sphère unité. Théorème 15 (de la projection orthogonale)SoitFun sous-espace vectoriel de dimen- sion finie deEpréhilbertien etx?E. On appelle distance euclidienne dexàFle réel : d(x,F) = inf{?x-y? |y?F}. Alors d(x,F) =?x-pF(x)? oùpF(x)est le projeté orthogonal dexsurF. ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2022-20236 Formulation équivalente : l"application :φ:F→Rdéfinie parφ(y) =?x-y?admet un minimum atteint au pointy=pF(x).

Exemples :

•E=R2,F=]0,1[2etu= (2,1/2). Que vautd(u,F)? •E=R2,G={(x,y)?R2|x2+y2?1}etO= (0,0). Que vautd(O,G)? •E=R4etFle sev d"équations?x+y+z+t= 0 x-y+z-t= 0Montrer qued(e1,F) =1 ⎷2? • Calcul de la distance de la matriceA=?1 0 -1 2? au sous-espace vectoriel des matrices triangulaires supérieures. IV Complément : les normes euclidiennes sont des super- normes Les normes euclidiennes sont en fait un cas particulier de normes. Définition 16 (Norme)On dit qu"une applicationN:E→R+est une norme surE, si elle vérifie : •?x?E,(N(x) = 0?x= 0)(séparation). •?x?E,?λ?R, N(λx) =|λ|N(x)(homogénéité). •?(x,y)?E2, N(x+y)?N(x) +N(y)(inégalité triangulaire) Exemple : la normeN1surRndéfinie par : six= (x1,...,xn)?Rn, on poseN1(x) = |x1|+···+|xn|. Dessin de la boule unité deR2. Proposition 17Une norme euclidienne est bien une norme. Proposition 18 (identité du parallélogramme)Si?·?est une norme euclidienne surE, alors elle vérifie ?(x,y)?E2,?x+y?2+?x-y?2= 2(?x?2+?y?2).

Cette propriété exprime que dans un parallélogramme, la somme des carrés des diagonales est

égale à la somme des carrés des côtés. Il existe des normes non euclidiennes, par exemple la normeN1car elle ne vérifie pas l"identité du parallélogramme. Les normes euclidiennes sont donc des "super-normes».quotesdbs_dbs5.pdfusesText_10