[PDF] [PDF] Bissectrices - Département de Mathématiques dOrsay

[PDF] Chapitre 26 : Bissectrices dun triangle - Blog Ac Versailles

Définition : Soit ABC un triangle et O le point de concours des bissectrices Le cercle de centre O tangent aux trois côtés du triangle ABC est appelé cercle inscrit 

[PDF] LES DROITES REMARQUABLES du triangle 1°) Médiatrices

de ce segment Médiatrices et triangles : Dans un triangle, les trois médiatrices sont concourantes Le point de concours s'appelle le centre du cercle circonscrit

[PDF] Bissectrices - Département de Mathématiques dOrsay

Revenons au théor`eme en montrant d'abord le concours des bissectrices intérieures Le point I est équidistant des droites (BC) et (AB) d'une part et (CA) et  

[PDF] Droites remarquables du triangle : bissectrices - capes-de-maths

Médiatrice d'un segment, bissectrice d'un secteur angulaire ; Théorème 1 : Les trois médiatrices de ABC sont concourantes en un point O équidistant des trois alors que le point de concours O des médiatrices est donc transformé en H, 

[PDF] Droites remarquables dans un triangle - Rappels

Les médiatrices d'un triangle sont concourantes ; leur point de concours ( point d' intersection ) s'appelle « centre du cercle circonscrit » Circonscrire ( verbe )

[PDF] Exposé 34 Droites remarquables : bissectrices, hauteurs, médianes

Théor`eme 1 : Les trois médiatrices d'un vrai (i e non aplati) triangle ABC sont concou- rantes Leur point de concours est le centre d'un cercle qui passe par les  

[PDF] Leçon 29 Droites remarquables du triangle

Ppté2 : Le point de concours des 3 bissectrices est le centre du cercle inscrit au triangle Démo: Soit ABC un triangle On trace la bissectrice issue du sommet A et 

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Bissectrices

Daniel Perrin

Introduction

Le but de ce texte est d'essayer de donner une reference able sur la question des bissectrices, pour traiter notamment l'expose de CAPES intitule Droites remarquables du triangle. Parmi les questions epineuses : quelle denition des bissectrices, bissectrices de quoi? de quelle nature : droites, demi-droites? en termes d'angles ou d'axes de symetrie?, etc. bissectrices interieures et exterieures, problemes de position, centre du cercle inscrit et barycentres, cercles exinscrits, etc.

1 Rappels

Tous les rappels sur les questions de position, les secteurs, etc., ainsi que les rappels sur les angles, sont dans mon cours de M1 et peuvent^etre consultes sur ma page web, a la rubriqueProjet de geometrie, Cours 1, axiomatique et convexite et Cours sur les angles. Au depart, on dispose des notions de points, droites, demi-droites et seg- ments.

1.1 Demi-plans

1.1 Axiome.Une droiteDpartage le plan en trois parties non vides dis-

jointes :Det deux demi-plans ouverts notesE+etE. Deux pointsa;bsont dans le m^eme demi-plan (on dit aussi \du m^eme c^ote deD") si et seulement si[ab]ne rencontre pasD.

1.2 Corollaire.SoitDune droite et soienta;b62D. Alors,aetbsont

dans des demi-plans dierents (on dit aussi \de part et d'autre" deD) si et seulement si[ab]rencontreD.

1.3 Proposition.1) SoitDune droite,oun point deDetaun point deE+.

Alors, la demi-droite[oa)(resp.]oa)) est entierement contenue dansE+[D (resp.E+).

2) La demi-droite opposee est contenue dansE[D.

1

1.4 Proposition.SoientD;D0des droites paralleles et distinctes et soit

a2D0. La droiteD0est toute entiere dans le demi-plan ouvert limite parD qui contienta.

1.2 Secteurs

1.5 Denition.Soient= [oa)et= [ob)deux demi-droites d'origineo,

non portees par la m^eme droite. SoientU+(resp.V+) le demi-plan (ferme) limite par(oa)contenantb(resp. par(ob)contenanta). On appellesecteur saillantdeni par ces demi-droites l'intersectionU+\V+. Le secteur saillant est note[caob]. Le pointoest lesommetdu secteur, les demi-droites[oa)et [ob)sont sesc^otes. On denit aussi le secteur nul (cas[oa) = [ob)) et plat (cas[oa)et[ob)opposees). Les deux lemmes suivants sont essentiels pour travailler avec les secteurs :

1.6 Lemme.Soientaetodeux points distincts etb;cdeux points situes

dans le m^eme demi-plan ouvertE+limite par(oa). Alors, sicn'est pas dans caob], on a deux proprietes :

1)[ac]coupe la demi-droite[ob),

2)b2[caoc].

1.7 Lemme.Soit[caob]un secteur saillant et soitcun point de ce secteur,

non situe sur les demi-droites[oa)et[ob). Alors, les pointsaetbsont situes de part et d'autre de la droite(oc)et, plus precisement, le segment[ab]coupe la demi-droite[oc).

1.3 Angles

On suppose qu'on a une distance dans le plan pour laquelle la ligne droite est le plus court chemin. La distance deaab, ou longueur du segment [ab], est noteeab.A partir de cette notion, on denit les longueurs d'arcs, ce qui se fait par la methode habituelle avec la borne superieure des lignes brisees (mais n'est pas totalement trivial). On peut alors denir les angles geometriques :

1.8 Denition.On considere un secteur[caob]. Quitte a changera;bsur les

demi-droites on peut supposer qu'on aoa=ob= 1.L'angle geometrique1 c aob, angle des demi-droites[oa)et[ob), est la longueur de l'arc de cercle_ab,

intersection du cercle de centreoet de rayon1et du secteur.1. Attention, les puristes parleraient de mesure de l'angle.

2 Si on appelle 2la longueur du cercle unite, les angles sont des elements de [0;]. L'angle du secteur nul (resp. plat) vaut 0 (resp.). L'angle droit est l'angle=2.

1.9 Proposition.Soient[caob]un secteur saillant etcun point du plan,

distinct deo. Les proprietes suivantes sont equivalentes :

1) On a la relation de Chasles geometrique :caob=caoc+ccob.

2) Le pointcest dans le secteur[caob].

3) Les pointsaetbsont de part et d'autre de(oc)et on acaoc+ccob.

On utilisera librement plusieurs autres proprietes des angles : i) les notions de complementaire et de supplementaire, ii) il y a deux demi-droites de part et d'autre d'une demi-droite donnee faisant le m^eme angle, mais une seule d'un c^ote donne, iii) les angles alternes-internes et correspondants (relativement a des pa- ralleles) sont egaux, iv) la somme des angles d'un triangle vaut.

1.4 Symetries, isometries

Nous aurons besoin des proprietes des symetries axiales, notamment le fait que la symetrie d'axeDxeD, conserve distance et angles et echange les demi-plans limites parD. Une possibilite alternative, souvent plus simple mais non conforme aux programmes actuels, est d'utiliser les triangles isome- triques.

2 Bissectrices de demi-droites

2.1 Denition a la maniere d'Euclide

2.1 Denition.Soient[Ox)et[Oy)deux demi-droites distinctes issues du

m^eme pointOet soit[dxOy]le secteur saillant ou plat deni par ces demi- droites. Une droiteDpassant parOest appeleebissectricedu secteur (ou des demi-droites) si les deux demi-droites[Oz)et[Oz0)portees parDverient dxOz=dzOyet\xOz0=\z0Oy.

2.2Remarques.

1) Il sut de verier l'une des egalites, l'autre s'en deduit par passage au

supplementaire.

2)A cause de cette remarque, certains auteurs denissent les bissectrices

comme des demi-droites (et il y en a deux opposees a ce moment la). 3

3) Si les demi-droites [Ox) et [Oy) sont egales, toute demi-droite [Oz) verie

l'egalite d'angles. On ne denit donc pas de bissectrice au sens d'Euclide dans ce cas.

2.3 Proposition.SiDest bissectrice des demi-droites (distinctes)[Ox)et

[Oy), l'une des demi-droites portees parD, disons[Oz), est dans le secteur dxOy]. On en deduitdxOy= 2dxOz= 2dzOy. Les demi-droites[Ox)et[Oy) sont de part et d'autre deD. Demonstration.Si ce n'etait pas le cas, l'une des demi-droites deD, disons [Oz), serait dans le m^eme demi-plan limite par (Ox) que [Oy), mais pas dans le secteur. Alors, le lemme 1.6 montre que [Oy) est dans [dzOx] et, par Chasles geometrique 1.9, on en deduit dxOz=dzOy+dxOy=dxOz+dxOy, doncdxOy est nul, ce qui est absurde. L'egalite d'angles vient de 1.9, le fait que [Ox) et [Oy) sont de part et d'autre deDde 1.7.

2.2 La version axe de symetrie

2.4 Proposition.La droiteDest bissectrice des demi-droites (distinctes)

[Ox)et[Oy)si et seulement si elle est axe de symetrie de ces demi-droites. Demonstration.Supposons que la droiteDest axe de symetrie et soitcette symetrie. Soit [Oz) l'une des demi-droites portees parD. On a([Ox)) = [Oy) et([Oz)) = [Oz) (carxeD) et donc, par conservation des angles par les symetries, dxOz=dyOz, de sorte queDest bissectrice. Inversement, si on a l'egalite des angles, on appelle encorela symetrie par rapport aDet on note [Oy0) la demi-droite image de [Ox) par. Les demi-droites [Ox) et [Oy0) sont de part et d'autre deD, donc [Oy) et [Oy0) sont du m^eme c^ote deD. Par conservation des angles on adxOz=\zOy0, d'ou \zOy0=dzOyet on a le resultat en vertu de la proprieteii) des angles rappelee ci-dessus.

2.5Remarque.La proposition precedente permet de denir la bissectrice

lorsque l'on a [Ox) = [Oy) : c'est la droite (Ox).

2.3 Existence et unicite

2.6 Proposition.SoitS= [dxOy]un secteur saillant. Il existe une bissectrice

deSet une seule. Demonstration. (Existence)On choisit un pointAsur [Ox), dierent deO, et on considere le pointBde [Oy) deni parOA=OB. SoitMle milieu de 4 [AB] etDla droite (OM). Alors, elle convient. Voici deux pistes de preuves possibles, selon les programmes : Les trianglesOAMetOBMsont isometriques (trois c^otes), donc on a \AOM=\BOM. La symetried'axe (OM) echangeAetB(on regarde le cercle de centreOet de rayonOA, il est invariant, et le cercle de centreMet de rayon MA, il est invariant aussi. Ces cercles se coupent enA;Bqui sont echanges car ils sont de part et d'autre de (OM)). (Unicite)On prendA;BavecOA=OBcomme ci-dessus. La bissectrice coupe [AB] enM(c'est 1.7). Alors,Mest le milieu de [AB]. La encore plusieurs voies : les trianglesOAMetOBMisometriques, la formule d'Al- Kashi, la symetrie par rapport a (OM) (elle echange les demi-droites [OA) et [OB) doncAetB).

2.4 Propriete caracteristique

2.7 Proposition.Soient[Ox)et[Oy)deux demi-droites distinctes,[Oz)la

demi-droite portee par la bissectriceDet situee dans le secteurS= [dxOy]. L'ensemble des points deSequidistants des droites(Ox)et(Oy)est la demi- droite[Oz).

Demonstration.On notela re

exion par rapport aD. SoitM2[Oz). SoientP;Qses projetes sur les droites (Ox) et (Oy). On a(M) =M, ([Ox)) = [Oy), donc aussi((Ox)) = (Oy) donc la perpendiculaire a (Ox) passant parMest transformee en la perpendiculaire a (Oy) passant parM. Il en resulte qu'on a(P) =Q, doncMP=MQ. Une autre voie consiste a montrer que les trianglesOMQetOMPsont isometriques. Inversement, siMest un point du secteur, equidistant des droites (Ox) et (Oy), on appelleP;Qses projetes sur ces droites et on aMP=MQ. On considereD= (OM) et la symetriepar rapport aD. Le cercle de diametre [OM] est invariant paretPetQsont les intersections de avec les droites (Ox) et (Oy), mais aussi avec le cercle de centreMet de rayon MP, cercle lui aussi invariant par. Il en resulte que la pairefP;Qgest invariante paret on a(P) =Q(car les pointsP;Qsont de part et d'autre deDpuisqueMest dans le secteur). La encore on peut montrer { et c'est bien plus simple { que les trianglesOMQetOMPsont isometriques. 5

3 Bissectrices de droites

3.1 Denition

3.1 Proposition-Denition.SoientD1;D2deux droites secantes enO. Il

existe deux droites (et deux seulement)1et2, telles que les re exions associees echangent lesDi. Ces droites sont perpendiculaires enO. On les appelle lesbissectrices des droitesD1;D2. Demonstration.On xe deux demi-droites [Ox) et [Oy) sur lesDiet on considere leur bissectrice

1. La symetriepar rapport a 1echange donc

lesDi. Comme la symetrie centraleOles conserve, le produitO, qui est la symetrie par rapport a la droite

2perpendiculaire a 1enO, les echange.

Une preuve elementaire peut se faire en utilisant la relation de Chasles geometrique et les angles complementaires et opposes par le sommet. Montrons que ce sont les seules. Sinon, on aurait une autre droite , axe de symetrie desDi, faisant avec iun angle6= 0;=2. Mais alors le produit iserait une rotation d'angle 2autour deOqui laisserait stable chacune des droitesDiet hormis Id etOqui sont d'angles 0 et, aucune rotation ne laisse stable une droite passant parO.

3.2 Propriete caracteristique

3.2 Proposition.Un pointMest sur l'une des bissectrices des droitesDi

si et seulement si il est equidistant desDi. Demonstration.Le sens direct est evident. Pour la reciproque on utilise les demi-droites qui contiennent les projetes et on est ramene a 2.7.

4 Bissectrices d'un triangle

4.1 Denition.SoientA;B;Ctrois points non alignes du plan. On appelle

triangle pleinde sommetsA;B;Cet on noteT=ABCl'intersection des trois secteurs[\BAC],[\CBA]et[\ACB]. L'interieur du triangleTest egal a

Tprive des c^otes[BC],[CA]et[AB].

4.1 Denition et concours

4.2 Proposition-Denition.SoitABCun triangle,Dla bissectrice des

demi-droites[AB)et[AC),D0la perpendiculaire aDpassant parA. Alors, D;D

0sont les bissectrices des droites(AB)et(AC). Seule la droiteDcoupe

6 le segment[BC]enA0. On l'appellebissectrice interieurede l'anglebAet D

0en est labissectrice exterieure. La bissectrice exterieure ne rencontre

le secteur[\BAC]et le triangle plein qu'au pointA. On a l'egalite d'angles orientes de vecteurs :(!AB;!AA0) = (!AA0;!AC). Demonstration.On sait que l'une des demi-droites portees parD, disons [Ax), est dans le secteur [\BAC]. En vertu de 1.7, cette demi-droite coupe [BC]. L'autre bissectrice ne rencontre le secteur qu'enA. Sinon, elle porte- rait une demi-droite [Ay) contenue dans le secteur, donc dans l'un des sec- teurs [ \BAx] ou [\xAC]. Si elle est, disons, dans le premier, on a, par Chasles geometrique, \BAx=\BAy+dyAx. Mais, commedyAx==2 et\BAC= 2\BAx, l'angle \BACserait plus grand queet c'est absurde.

4.3 Theoreme.Les bissectrices interieures deABCsont concourantes en un

pointI. Ce point est equidistant des c^otes du triangle et centre de l'unique cercle inscrit dans le triangle. Il est interieur au triangle. Les bissectrices exterieures enB;Cet la bissectrice interieure enAsont concourantes en un pointJ, centre d'un cercle tangent aux trois c^otes du triangle, mais a l'exterieur de celui-ci (cercle exinscrit dans l'anglebA).

Demonstration.On montre d'abord :

4.4 Lemme.Les bissectrices interieures issues deBetCse coupent en un

pointI. Demonstration.En eet, on a vu que la bissectrice interieure issue deB (resp.C) coupe ]AC[ enB0(resp. ]AB[ enC0). Par rapport a (BB0) les pointsAetCsont donc de part et d'autre, disons dans les demi-plansE+et E . Mais alors, en vertu de 1.3, la demi-droite [BA) est tout entiere dansE+, en particulierC0est dansE+. Il en resulte que [CC0] coupe (BB0). Le m^eme raisonnement dans l'autre sens montre que [BB0] coupe (CC0), de sorte que lessegmentsse coupent enI. Revenons au theoreme en montrant d'abord le concours des bissectrices interieures. Le pointIest equidistant des droites (BC) et (AB) d'une part et (CA) et (BC) d'autre part, donc aussi de (AB) et (CA). Il est donc situe sur l'une des bissectrices des droites (AB) et (AC). Il sut alors de montrer que (AI) rencontre [BC] etIsera sur la bissectrice interieure. Pour cela on regarde les deux demi-plans limites par (AI). Comme les segments [BB0] et [CC0] se coupent enI, on voit queB;B0sont de part et d'autre de (AI). Mais alors, la demi-droite [AC) est toute entiere du m^eme c^ote, doncB0et Csont du m^eme c^ote. Il s'ensuit queBetCsont de part et d'autre et on a gagne. 7 SiP;Q;Rsont les projetes orthogonaux deIsur les c^otes, on aIP= IQ=IRet le cercle de centreIpassant parP;Q;Rest tangent aux c^otes (car la tangente enPest la droite perpendiculaire a (IP) passant parP). Considerons alors la bissectrice interieure (AI) deAet la bissectrice exterieure deB. Elles ne sont pas paralleles, sinon (AI) serait perpen- diculaire

2a la bissectrice interieure (BI), mais alors dans le triangleABI,

la somme des angles enAetBserait egale a=2 et, leurs doubles, qui sont les angles enAetBdeABCauraient pour somme, ce qui est absurde. SoitJle point d'intersection de (AI) et . On montre comme ci-dessus qu'il est equidistant de (CA) et (CB, donc sur l'une des bissectrice de\ACB. Si c'etait la bissectrice interieure on auraitI=J, ce qui est absurde car ne rencontre le triangle qu'enB. L'assertion sur le cercle exinscrit se montre comme dans le cas inscrit.

4.5 Commentaire.C'est sur la demonstration de 4.3 (et notamment de 4.4)

qu'on voit l'inter^et des notions de position. Le raisonnement de 4.4 fonctionne d'ailleurs aussi dans le cas des medianes.

4.2 Les proprietes de barycentres

4.2.1 Rappels

4.6 Proposition.SoitABCun triangle (i.e. trois points non alignes) etI

un point du plan, barycentre deA;;B;;C; . On suppose que les droites (AI),(BI),(CI)coupent respectivement(BC),(CA),(AB)enA0;B0;C0.

Alors,A0est barycentre deB;etC;

et de m^eme pour les autres par per- mutation circulaire.

Demonstration.On ecrit!AI+!BI+

!CI=~0 et on introduitA0: !AI+(!BA0+!A0I) + (!CA0+!A0I) =~0 ou encore (!AI+!A0I+!A0I) + (!BA0+ !CA0) =~0:

Le premier terme est colineaire a

!AIet le second a!BCet comme ces vecteurs sont independants (sinon (AI) ne coupe pas (BC)), on a!BA0+ !CA0=~0 et le resultat.

Le resultat suivant est un cas particulier du theoreme de Ceva :2. On utilise le postulat d'Euclide ici.

8

4.7 Proposition. (Ceva)SoitABCun triangle etA0;B0;C0des points

situes respectivement sur les segments ouverts]BC[,]CA[,]AB[. On suppose qu'on a la relation : A0BA

0CB0CB

0AC0AC

0B= 1. Alors, les droites(AA0),BB0),

(CC0)concourent enI. Demonstration.Les droites (BB0) et (CC0) sont secantes enI(carB;B0 sont de part et d'autre de (CC0)). De m^eme, les droites (AI) et (BC) sont secantes enA002[BC] (on montre, avec les lemmes habituels, queBetC sont de part et d'autre de (AI)). On ecritIcomme barycentre deA;B;C avec les coecients;; . On en deduit queA00est barycentre deB;Cavec les coecients; et on a doncA00BA 00C= et de m^eme pour les autres : B 0CB 0A= etC0AC 0B= .Avec l'hypothese il s'ensuit qu'on aA0BA

0C=A00BA

00C et, commeA0etA00sont tous deux dans [BC], on en deduitA0=A00et le resultat.

4.8 Corollaire.SoitABCun triangle etA0;B0;C0des points situes respec-

tivement sur les segments ouverts]BC[,]CA[,]AB[. On suppose qu'il existe positifs tels queA0,B0etC0sont barycentres deB;C;C;A;A;B avec les coecients; ;et;. Alors, les droites(AA0),BB0),(CC0) concourent enIetIest barycentre deA;B;Cavec les coecients;; Demonstration.Que les droites soient concourantes resulte de Ceva. SiIest barycentre avec les coecients;;, les calculs ci-dessus donnent et et on en deduit

4.2.2 Les bissectrices

On obtient une autre preuve du concours des bissectrices en utilisant

Ceva :

4.9 Proposition.SoitABCun triangle,A0;B0;C0les points d'intersection

des bissectrices interieures deABCavec les c^otes opposes. On posea=BC, b=CA,c=AB. On a la formule :A0BA

0C=ABAC

.Le pointA0est barycentre des pointsB;Cmunis des coecientsb;c. Les bissectrices interieures sont concourantes enI, qui est barycentre deA;B;Cmunis des coecientsa;b;c. Demonstration.Pour l'egalite des rapports, le plus simple est d'utiliser les aires. On aA(ABA0) =12

AB:AA0sinbA2

et de m^eme pourACA0. Le lemme 9 des proportions (voir [ME] Ch. 7) conclut. La propriete de barycentre deA0 en decoule et on en deduit le concours des bissectrices avec le theoreme de Ceva. On applique le corollaire precedent pour avoir la propriete deI.

4.2.3 Une autre voie

Voici une autre preuve, a la fois du concours des bissectrices et de la relation barycentrique. Avec une intuition fulgurante, on denitIcomme le barycentre deA;a;B;betC;c, puisMcomme le barycentre deA;a+cet B;bet ennNcomme le barycentre deA;a+betC;c. On montre queAMIN est un parallelogramme. En eet, on a (a+b+c)!IM= (a+c)!IA+b!IBet aveca!IA+b!IB+c!IC=~0 on en deduit (a+b+c)!IM=c!CA. Cela montre que (IM) et (CA) sont paralleles, donc aussi (IM) et (AN). Le raisonnement est identique pour les autres c^otes. En fait, le parallelogramme est un losange. En eet, on a (a+b+c)!AM= b!AB, donc (a+b+c)AM=bcet de m^eme pourAN. Il en resulte que la diagonale (AI) est bissectrice de\MAN=\BAC. On fait le m^eme travail avecB;Ca la place deAet on a gagne. Je ne dirai pas ce que je pense de cette preuve ...

5 Reference

[ME] PERRIN Daniel,Mathematiques d'ecole, Cassini, 2011. 10quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34