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Lorsque le paramètre n est grand, et que p est ni trop proche de 0, ni trop proche de 1, on peut approcher la loi binomiale de paramètres n et p par la loi normale

3 1 Loi de Bernoulli, loi binomiale pose de l'approximation suivante p(n) ≃ 1 − e− vant chacune une loi de Poisson (de paramètre respectif λ et µ) suit

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En approchant cette loi par celle d'une loi normale adaptée, calculez la probabilité pour que X soit compris entre 48 et 52 Correction ▽ [006021] Exercice 3 On

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2°) On considère une variable aléatoire Y dont la loi de probabilité est la loi de b) Pour une série de 518 observations d'un phénomène suivant la loi de Poisson prob(240 < X < 252) : utilisant une approximation d'une loi Binomiale,

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Lorsque le paramètre n est grand, et que p est ni trop proche de 0, ni trop proche de 1, on peut approcher la loi binomiale de paramètres n et p par la loi normale

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Soit X une v a d suivant une loi binomiale de param`etres n ∈ N∗ et p ∈]0, 1[, i e Exercice 2 3 Approximation de la loi binomiale par la loi normale

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Comparer avec l'approximation par une loi de Poisson judicieusement choisie Exercice 8 Dans un atelier, le nombre d'accidents au cours d'une année est une

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La loi de Poisson est introduite comme correspondant au nombre de réalisations Exercices Exercice 1 Ladislaus von Bortkiewicz (1868 - 1931) a étudié le Dans ces conditions, les approximations de cette loi par une loi de Poisson ou

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1 8 Lois de la somme de variables indépendantes connues 10 Le nombre d'accidents suit une loi de Poisson de paramètre l La remarque suggère l'approximation de la loi hypergéométrique par la loi binomiale, approxi-

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l'approximation de Poisson de la loi binomiale, – l'approximation normale du χ2 • Le principe de l'estimation ponctuelle et celui de l'estimation par intervalles

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Par contre, P(X

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TS. DM

9-Correction|

Approximation d"une loi binomiale par une loi normale. de paramètresnetppar la loi normale de paramètresnpetpnp(1¡p).

Dans la pratique, comme l"approximation faite est une approximation d"une loi discrète par une loi continue,

nous devrons effectuerune correction de continuité, c"est à dire qu"à la valeurx0d"une valeur discrète, nous associerons

l"intervalle [x0¡0,5 ;x0Å0,5]pour la variable continue. Exemple :On considère une variable aléatoire X suivant la loi binomialeB(400 ; 0,5).

Onpeutapprochercetteloi parlaloinormaleN(200; 10).Ainsi,sil"onconsidèrelavariableY suivantcetteloinormale,

on approchera P(XAE190) par P(189,56Y6190,5).

En effectuant le changement de variable adéquat, on a P(189,56Y6190,5)AEP(¡1,056T6¡0,95)AE0,0242, ce qui

donne ici une très bonne approximation puisque le calcul direct donne P(XAE190)AE0,0242071389611. De même, P(X6210) sera approché par P(Y6210,5)AEP(T61,05)AE0,8531. Par contre, P(XÇ205)AEP(X6204), (X est une variable discrète),

il faudra donc approcher cette probabilité par P(Y6204,5).1Un revendeur de matériel photographique désire s"implanter dans une galerie marchande.

Il estime qu"il pourra vendre40appareils photographiques par jour et les ventes sont deux à deux indépendantes.

Une étude lui a montré que, parmi les différentes marques disponibles, la marqueAréalise38,6%du marché.

1.On noteXla variable aléatoire qui, un jour donné, associe le nombre d"appareils de marqueAvendus ce jour-là.

a.Expliquer pourquoiXsuit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.

On peut assimiler ces 40 ventes indépendantes à un schéma de Bernoulli où l"évènement "succès» est

"l"appareil de marque A est vendu», alors l av ariableal éatoireX suit la loi bin omiale de pa ramètres: nAE40 etpAE0,386(la marque A réalise 38,6% du marché).

b.Calculer la probabilité que, sur40appareils vendus par jour,20soient de la marqueA. En donner une valeur

arrondie à0,01près.

P(XAE20)AEÃ

40
20!

£(0,386)20£(0,614)20'0,04c.Calculer l"espérance deX. Calculer l"écart type deXet en donner une valeur approchée à1près.

E(X)AEnpAE40£0,386AE15,44 et¾AEpnp(1¡p)AEp40£0,386£0,614'32.On décide d"approcher cette loi par loi normale de paramètres m et¾.

a.Expliquer pourquoi mAE15,44et¾AE3

On peut approcher la loi binomiale de paramètresnAE40 etpAE0,386 par la loi normale de paramètres

mAEnpAE15,44 etpnp(1¡p)AE3 Dans ce qui suit, tous les résultats seront arrondis à0,01près.

b.On noteYla variable aléatoire suivant la loi normaleN(15,44 ; 3). Donner une approximation de la probabi-

calculerP(19,56Y620,5). En effectuant le changement de variable TAEY¡m¾

AEY¡15,443

T suit la loi normale centrée réduiteN(0 ; 1) et on a :

P(19,56Y620,5)AEP(1,356T61,68)AE0,9535¡0,9114AE0,0421'0,04c.Déterminerunevaleurapprochée de laprobabilitéde l"événement:"unjourdonné,20aumoinsdesappareils

vendus sont de marqueA», c"est-à-dire calculerP(Y>19,5).

P(Y>19,5)AEP(T>1,35)AE1¡P(TÇ1,35)AE1¡0,9114AE0,0886'0,09d.Déterminer une valeur approchée de la probabilité de l"événement : "un jour donné, le nombre d"appareils de

marqueAvendus est compris entre15et25», c"est-à-dire calculerP(14,56Y625,5).

2Dans une revue on peut lire : "On estime à60,5%le pourcentage de Français partant au moins une fois en vacances

dans le courant de l"année». On considère100personnes prises au hasard avec remise dans la population française.

Dans ce qui suit, tous les résultats seront arrondis à0,01.

1.On désigne parXla variable aléatoire mesurant, parmi ces100personnes, le nombre de celles qui ne partent pas en

vacances dans le courant de l"année. a.Expliquer pourquoiXsuit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.

On peut assimiler ces 100 personnes choisies au hasard de façon indépendantes à un schéma de Bernoulli

où l"évènement "succès» est "la personne ne part pas en vacances dans le courant de l"année»,

alors l av ariableal éatoireX s uitla loi bin omiale de pa ramètres:

nAE100 etpAE0,395(60,5% de Français partent au moins une fois en vacances dans le courant de l"année).

b.Calculer l"espérance et l"écart type deX. E(X)AEnpAE100£0,395AE39,5 et¾AEpnp(1¡p)AEp100£0,395£0,605'4,89c.CalculerP(XAE45).

P(XAE45)AEÃ

100
45!

£(0,395)45£(0,605)55'0,042.On décide d"approcher cette loi par la loi normaleN(39,5 ; 4,89). SoitYla variable aléatoire suivant cette loi.

a.Calculer une valeur approché de l"événement "45personnes parmi les100ne partent pas en vacances dans le

courant de l"année», c"est-à-dire calculerP(44,56Y645,5). En effectuant le changement de variable TAEY¡m¾

AEY¡39,54,89