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Loi Binomiale Exercice n°17 Dans une académie, les élèves candidats au baccalauréat série ES se répartissent en 2003 selon les trois enseignements de

Exercice 2

Corrigé

Antilles

Guyane 201

Bac - Maths - 201

8 - Série ESfreemaths . frfreemaths . fr

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

Session 2018

MATHÉMATIQUES - Série ES

ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE

MATHÉMATIQUES - Série L

ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ

SUJET

ÉPREUVE DU MARDI 19 JUIN 2018

EXERCICE 2(5 points)

Candidats ES n"ayant pas suivi l"enseignement de spécialité et candidats L Dans tout cet exercice les résultats seront arrondis au centième si nécessaire.

Les parties A et B sont indépendantes

Partie A

Victor a téléchargé un jeu sur son téléphone. Le but de ce jeu est d"affronter des obstacles à

l"aide de personnages qui peuvent être de trois types : "Terre», "Air» ou "Feu». Au début de chaque partie, Victor obtient de façon aléatoire un personnage d"un des trois types et peut, en cours de partie, conserver ce personnage ou changer une seule fois de type de personnage. Le jeu a été programmé de telle sorte que : ²la probabilité que la partie débute avec un personnage de type "Terre» est 0,3; ²la probabilité que la partie débute avec un personnage de type "Air» est 0,5;

²si la partie débute avec un personnage de type " Terre », la probabilité que celui-ci soit

conservé est 0,5; est 0,4;

²si la partie débute avec un personnage de type " Feu », la probabilité que celui-ci soit

conservé est 0,9.

On note les évènements suivants :

²T: la partie débute avec un personnage de type "Terre»; ²A: la partie débute avec un personnage de type "Air»; ²F: la partie débute avec un personnage de type "Feu»; ²C: Victor conserve le même personnage tout au long de la partie.

1.Recopier et compléter l"arbre de probabilités ci-dessous.??

?2.Calculer la probabilité que Victor obtienne et conserve un personnage de type "Air».

3.Justifier que la probabilité que Victor conserve le personnage obtenu en début de par-

tie est 0,53.

4.On considère une partie au cours de laquelle Victor a conservé le personnage obtenu

en début de partie. Quelle est la probabilité que ce soit un personnage de type "Air»?

18MAELAG1Page 3/6

Partie B

On considère 10 parties jouées par Victor, prises indépendamment les unes des autres. On rappelle que la probabilité que Victor obtienne un personnage de type "Terre» est 0,3. Y désigne la variable aléatoire qui compte le nombre de personnages de type "Terre» obte- nus au début de ses 10 parties.

1.Justifier que cette situation peut être modélisée par une loi binomiale dont on préci-

sera les paramètres. au début de ses 10 parties.

3.Calculer la probabilité que Victor ait obtenu au moins une fois un personnage de type

"Terre» au début de ses 10 parties.

18MAELAG1Page 4/6

1 freemaths frCorrigé - Bac - Mathématiques - 2018 1. Recopions et complétons l'arbre de probabilités:

D'après l'énoncé, nous avons:

T = " la partie débute avec un personnage

de type Terre " .

A = " la partie débute avec un personnage

de type Air " .

F = " la partie débute avec un personnage

de type Feu " .

C = " Victor conserve le même personnage

tout au long de la partie " C = " Victor ne conserve pas le même personnage tout au long de la partie " .

P ( T ) = 0, 3

P ( A ) = 0, 5

P ( F ) = 1 - 0, 3 - 0, 5 = 0, 2 .

P T ( C ) = 0, 5 P T ( C ) = 1 - 0, 5 .

EXERCICE 2

Partie A:

[ Antilles - Guyane 2018 ] 2 freemaths frCorrigé - Bac - Mathématiques - 2018 P A ( C ) = 0, 4 P A ( C ) = 1 - 0, 4 = 0, 6 . P F ( C ) = 0, 9 P F ( C ) = 1 - 0, 9 = 0, 1 . Nous avons ainsi l'arbre de probabilité suivant: a c e b d f T C C C A FC , avec: . a = 0, 5 b = 0, 5 c = 0, 4 d = 0, 6 e = 0, 9 f = 0, 1C C 0, 5 0, 3 0, 9 2. Calculons la probabilité que Victor obtienne et conserve un personnag e de type " Air ": C ) .

C ) = P

A ( C ) x P ( A )

Ainsi: C ) = 0, 4 x 0, 5 cad: C ) = 0, 2 .

Au total, la probabilité que Victor obtienne et conserve un personnag e de type " Air " est de: 20% . 3.

Justifions que P ( C ) = 0, 53:

Calculons:

P ( C ) .

3 freemaths frCorrigé - Bac - Mathématiques - 2018 F ) . F ) = P T ( C ) x P ( T ) + P A ( C ) x P ( A ) + P F ( C ) x P ( F ) .

Ainsi:

P ( C ) = 0, 5 x 0, 3 + 0, 4 x 0, 5 + 0, 9 x 0, 2 => P ( C ) = 0, 53 .

Au total:

il y a bien 53% de chance pour que Victor conserve le personnage obtenu en début de partie 4. Déterminons la probabilité que ce soit un personnage de type " Air sachant que Victor a conservé le personnage obtenu en début de par tie:

Nous devons calculer:

P C ( A ) P C ( A ) = P ( C )

PA ( C ) x P ( A )

P ( C )

Ainsi:

P C ( A ) =

0, 4 x 0, 5

0, 53 => P C ( A )

37, 73%

Au total:

la probabilité que ce soit un personnage de type " Air " sachant que Victor a conservé le personnage obtenu en début de la partie est d e 37, 73%

Partie B:

1. Justifions que la situation peut être modélisée par une loi bin

ômiale:

Soit l'expérience aléatoire consistant à prendre au hasard 1

0 parties jouées

par Victor: les 10 parties sont prises indépendamment les unes des autres . 4 freemaths frCorrigé - Bac - Mathématiques - 2018 On suppose que le nombre de parties est suffisamment grand pour que l' on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec r emise Soient les événements T = " la partie débute avec un personnage de type Terre ", et T = " la partie ne débute pas avec un personnage de type Terre ". On désigne par Y la variable aléatoire égale au nombre de perso nnages de type " Terre " obtenus par Victor au début de ses 10 parties Nous sommes en présence de 10 épreuves aléatoires identiques et indépendantes La variable aléatoire discrète Y représentant le nombre de ré alisations de T suit donc une loi binômiale de paramètres: n = 10 et p = 0, 3 .

Et, nous pouvons noter:

Y B ( 10 ; 0, 3 ) .

En fait, on répète 10 fois un schéma de Bernoulli 2.

Calculons P ( Y = 3 ):

P (

Y = 3 ) =

10 3 ( 0, 3 ) 3

1 - 0, 3 )

7 => P ( Y = 3 ) 27% .
Au total: il y a 27% de chance pour que Victor ait obtenu exactement

3 personnages de type " Terre " au début de ses 10 parties

= 1 - 10 0 ( 0, 3 ) 0

1 - 0, 3 )

10 97% .
Au total: il y a 97% de chance pour que Victor ait obtenu au moins une fois un personnage de type " Terre " au début de ses 10 partiesquotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

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Exercice 2

Corrigé

Antilles

Guyane 201

Bac - Maths - 201

8 - Série ESfreemaths . frfreemaths . fr

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MATHÉMATIQUES - Série L

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ÉPREUVE DU MARDI 19 JUIN 2018

EXERCICE 2(5 points)

Les parties A et B sont indépendantes

Partie A

On note les évènements suivants :

1.Recopier et compléter l"arbre de probabilités ci-dessous.??

3.Justifier que la probabilité que Victor conserve le personnage obtenu en début de par-

4.On considère une partie au cours de laquelle Victor a conservé le personnage obtenu

18MAELAG1Page 3/6

Partie B

1.Justifier que cette situation peut être modélisée par une loi binomiale dont on préci-

3.Calculer la probabilité que Victor ait obtenu au moins une fois un personnage de type

18MAELAG1Page 4/6

D'après l'énoncé, nous avons:

T = " la partie débute avec un personnage

A = " la partie débute avec un personnage

F = " la partie débute avec un personnage

C = " Victor conserve le même personnage

P ( T ) = 0, 3

P ( A ) = 0, 5

P ( F ) = 1 - 0, 3 - 0, 5 = 0, 2 .

EXERCICE 2

Partie A:

C ) = P

Ainsi: C ) = 0, 4 x 0, 5 cad: C ) = 0, 2 .

Justifions que P ( C ) = 0, 53:

Calculons:

P ( C ) .

Ainsi:

Au total:

Nous devons calculer:

PA ( C ) x P ( A )

Ainsi:

0, 4 x 0, 5

37, 73%

Au total:

Partie B:

ômiale:

0 parties jouées

Et, nous pouvons noter:

Y B ( 10 ; 0, 3 ) .

Calculons P ( Y = 3 ):

Y = 3 ) =

1 - 0, 3 )

3 personnages de type " Terre " au début de ses 10 parties

1 - 0, 3 )