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Durée : 4 heures

?Corrigé du baccalauréat S Liban?

31 mai 2016

Exercice 14 points

Commun à tous lescandidats

On considère un solide ADECBF constitué de deux pyramides identiques ayant pour base commune le carré ABCD

de centre J. Une représentation en perspective de ce solide est donnéeen annexe (à rendre avecla copie). Toutes les

arêtes sont de longueur 1. L"espace est rapporté au repère orthonormé?

A ;--→AB ,--→AD ,--→AK?

1. a.Montrons que IE=?

2 2.

On sait que les deux pyramides ABCDE et ABCDF sont identiques, et que toutes les arêtes ont la même

longueur 1. Ce sont donc des pyramides régulières à base carrée et E comme F ont pour projeté orthogonal

sur ABCD le point I, centre du carré ABCD. I est le centre du carré ABCD de côté 1, c"est donc le milieu de [AC] et on a : AC=?

2 et AI=?2

2. Comme I est le projeté orthogonal de E sur ABCD, le triangle AEI est rectangle en I et on a : IE

2=AE2-AI2=1-?

2 2? 2 =12. Et finalement IE=? 2 2.

I est le milieu de [BD] et

AI=1

2--→AB+12--→AD , d"où : I?12;12; 0?.

On a :

AE=-→AI+-→IE , d"où : E?

2;12;?

2 2? Par raison de symétrie par rapport à ABCD : F?

12;12;-?

2 2? b.Montrons que le vecteur-→n?0 ;-2 ;?2?est normal au plan (ABE).

On a :

AB((100))

,-→AE((((1 2 1 2? 2 2)))) AB et AE ne sont pas colinéaires et on a :--→AB·-→n=0 et-→AE·-→n=0. nestorthogonalàdeuxvecteurs noncolinéaires duplan ABEdonc-→n(0;-2;?

2)est normalauplan(ABE).

c.Déterminons une équation cartésienne du plan (ABE).(ABE) passe par le point A(0; 0; 0) et a pour vecteur normal-→n(0 ;-2 ;?

2). On en déduit une équation cartésienne de (ABE) :-2y+? 2z=0.

2.On nomme M le milieu du segment [DF] et N celui du segment [AB].

a.Démontrons que les plans (FDC) et (ABE) sont parallèles.Dans le plan (FDC) considérons les vecteurs--→DC et--→DF qui ne sont pas colinéaires.

Comme ABCD est un carré on :

DC=--→AB et on a :--→DC((100))

D"autre part sachant que D(0 ; 1 ; 0), on a :

DF((((1

2 1 2 2 2)))) . On a :--→DC·-→n=0 et--→FD·-→n=0.

31mai 2016

-→nest orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (FDC):-→n?0 ;-2 ;?2?est normal au plan (FDC)

Les plans (FDC) et (ABE) admettent un même vecteur normal donc ils sont parallèles.

b.Déterminons l"intersection des plans (EMN) et (FDC).CommeMappartientà[EM]etqueMestlemilieu de[FD],Mappartient àl"intersection de(EMN)et(FDC).

Comme (FDC) et (ABE) sont parallèles, le plan (EMN) les coupesuivant deux droites parallèles. Or l"intersection de (EMN) et (ABE) est la droite (EN).

On en déduit que l"intersection de (EMN) avec (FDC) est la droite parallèle à (EN) passant par M.

c.Construisons (voir annexe) la section du solide ADECBF par le plan (EMN).

Soit Gl"intersection delaparallèle à(EN)passant par Mavecleplan (BCF):c"est l"intersection de(EM)avec

(CD). Le segment [GM] est la section de la face FCD par le plan (EMN). Par raison de symétrie, les plan (CDE) et (ABF) sont parallèles. Entenantle même raisonnement queprécédemment, onmontre queleplan (EMN)lescoupe suivant deux droites parallèles.

Or l"intersection de (EMN) avec le plan (CDE) est la droite (EG). Alors le plan(EMN) coupe le plan(ABF)

suivant la parallèle à (ERG) passant par N.

Cette droite coupe (AF) en H.

Le segment [NH] est la section de la face ABF par le plan (EMN). On en déduit que le polygone ENHMG est la section du solide parle plan (EMN).

Exercice 24 points

Commun à tous lescandidats

Sur un court de tennis, un lance-balle permet à un joueur de s"entraîner seul. Cet appareil envoie des balles une par

une à une cadence régulière. Le joueur frappe alors la balle puis la balle suivante arrive.

Suivant le manuel du constructeur, le lance-balle envoie auhasard la balle à droite ou à gauche avec la même proba-

bilité. Dans tout l"exercice, on arrondirales résultats à10-3près.

Partie A

Le joueur s"apprête à recevoir une série de 20 balles.

SoitXlenombre deballes envoyées àdroite.Comme le lance-balle envoie auhasard laballe àdroiteou àgauche avec

la même probabilité p, on ap=1

2. Comme d"autre part les lancers sont indépendants,Xsuit une loi binomiale de

paramètresn=20 etp=1 2.

1.Calculons la probabilité que le lance-balle envoie 10 balles à droite.

C"est :p(X=10)=?2010??

1 2? 10 1-12? 10 =0,002.p(X=10)≈0,1762≈0,176

2.Calculons la probabilité que le lance-balle envoie entre 5 et 10 balles à droite.

C"est :p(5?X?10)=p(X?10)-p(X?4).

À la calculatrice, on obtient :p(5?X?10)=0,582

Partie B

Le lance-balle est équipé d"un réservoir pouvant contenir 100 balles. Sur une séquence de 100 lancers, 42 balles ont

été lancées à droite. Le joueur doute alors du bon fonctionnement de l"appareil. Commen=100 etp=0,5, on a :n>30,np=50>5 etn(1-p)=50>5.

On appelleX100la variable aléatoire donnant le nombre de balles lancées à droite. Avec les mêmes hypothèses qu"au

A,X100suit une loi binomiale de paramètresn=100 etp=0,5. On peut alors calculer l"intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%. I n=? p-1,96? p(1-p)?n;p+1,96? p(1-p)?n? doncI100≈?

0,40; 0,60?

31mai 2016

0,42?I100donc l"hypothèse que l"appareil fonctionne correctement est acceptée, au risque de 5%.

Partie C

Pour augmenter la difficulté le joueur paramètre le lance-balle de façon à donner un effet aux balles lancées. Elles

peuvent être soit "liftées » (L) soit "coupées (C)». La probabilité que le lance-balle envoie une balle à droite est tou-

jours égale à la probabilité que le lance-balle envoie une balle à gauche. Les réglages de l"appareil permettent d"affirmer que :

la probabilité que le lance-balle envoie une balle liftée à droite est 0,24 doncp(L∩D)=0,24

la probabilité que le lance-balle envoie une balle coupée à gauche est 0,235doncp(C∩G)=0,235.

On peut construire deux arbres pondérés pour aider au raisonnement : G 0,5 ?CpG(D) ?LpG(L) ?D 0,5 ?CpD(C) ?LpD(L) C p(C) ?DpC(D) ?GpC(G) ?L p(L) ?DpL(D) ?GpL(G)

Si le lance-balle envoie une balle coupée, calculons la probabilité qu"elle soit envoyée à droite , c"est à direpC(D).

On a :pD(C)=1-pD(L)=1-p(D∩L)

p(D)=1-0,240,5=1-0,48=0,52.

On en déduit :p(C∩D)=p(D)×pD(C)=0,26

Et :p(C)=p(C∩D)+p(C∩G)=0,26+0,235=0,495.

Finalement :pC(D)=p(C∩D)

p(C)=0,260,495=0,525 à 10-3près.pC(D)=0,525

Exercice 34 points

Commun à tous lescandidats

On considère la fonctionfdéfinie sur l"intervalle [0; 1] par :f(x)=1

1+e1-x.

Partie A

1.Étudions le sens de variation de la fonctionfsur l"intervalle [0; 1].

fest dérivable sur [0 ; 1] avec pour toutx?[0 ; 1] :f?(x)=-(-1)e1-x (1+e1-x)2=e1-x(1+e1-x)2.

Pour toutx?[0 ; 1], e1-x>0 et (1+e1-x)2>0.

On en déduit que pour toutx?[0 ; 1],f?(x)>0 et donc quefest strictement croissante sur [0 ; 1].

2.En remarquant que e=e1, et que pour tout réelx, e-x×ex=1, on peut écrire :

f(x)=1

1+e×e-x=ex(1+e×e-x)ex=exex+e.

3.fest dérivable sur [0 ; 1] donc continue et est de la formeu?

u; elle admet donc comme primitive pour tout x?[0 ; 1] la fonctionFdéfinie par :F(x)=ln(ex+e).

On en déduit que :?

1 0 f(x)dx=? ln(ex+e)? 1

Partie B

Soitnun entier naturel. On considère les fonctionsfndéfinies sur [0; 1] par :fn(x)=1

1+ne1-x.

On noteCnla courbe représentative de la fonctionfndans le plan muni d"un repère orthonormé. On considère la suite de terme généralun=? 1 0 fn(x)dx.

1.On a tracé en annexe les courbes représentatives des fonctionsfnpournvariant de 1 à 5.

Pour toutx?[0;1], on a :f0(x)=1

1+0×e1-x=1.

La courbeC0représentative de la fonctionf0est le segment d"équationy=1 avecx?[0;1] . 3

31mai 2016

2.Soitnun entier naturel.

Pour toutx?[0;1], on a :fn(x)=1

1+ne1-x>0. On en déduit queunreprésente l"aire sous la courbeCn

délimitée par l"axe des abscisses, et les droites d"équationsx=0 etx=1.

On a en particulieru0=?

1 0

1dx=[x]10=1

3.Il semble que la suite(un)soit décroissante car les aires sont de plus en plus petites.Démontrons-le.

Soitnun entier naturel.

Pour tout réelx?[0;1], on a :fn+1(x)-fn(x)=1

On en déduit que pour tout réelx?[0;1], on a :fn+1(x) l"ordre est conservé, on a pour tout entier natureln,? 1 0 fn+1(x)dx4.Soitnun entier naturel.

Pour tout réelx?[0;1], on a :fn(x)=1

1+ne1-x>0 et donc?

1 0 fn(x)dx>0 Ce qui prouve que la suite (un) est minorée par 0.

Lasuite (un)est décroissanteetminorée par0doncelleconvergeetparconséquent elleadmetune limite finie.

Exercice 45 points

Candidats n"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

Un point est attribué par réponse exacte justifiée. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte et l"absence de

réponse n"est pas pénalisée.

Sur le schéma ci-dessous on a représenté la courbe de densitéd"une variable aléatoireXqui suit une loi nor-

male d"espéranceμ=20. La probabilité que la variable aléatoireXsoit comprise entre 20 et 21,6 est égale à

0,34.

14 16 18 20 22 24 26

0,34

Affirmation 1 :La probabilité que la variable aléatoireXappartienne à l"intervalle [23,2 ;+∞[ vaut environ

0,046.

Réponse :FAUX

Commep[20;21,6]=0,34,p[20-1,6;21,6]=2×0,34, c"est à direp[18,4;21,6]=0,68. On en déduit qu"il s"agit d"un intervalle à un-σ. Doncσ≈1,6. On sait alors que pour l"intervalle deux-σ, on a : p[20-2×1,6; 20+2×1,6]≈0,95 et par conséquentp[23,2;+∞[=0,5×0,05≈0,025. Soitzun nombre complexe différent de 2. On pose :Z=iz z-2.

Affirmation2 :L"ensemble des points du plan complexe d"affixeztels que|Z|=1 est une droite passant par le

pointA(1 ; 0).

Réponse :VRAI

Pour tout nombre complexez,z?=2, on a :|Z|=1??|iz| |z-2|=1??|z||z-2|=1?? |z|=|z-2|. Le pointOa pour affixe 0; soitIle point d"affixe 2, etMle point d"affixez:|z|=|z-2| ??OM=IM. Autrement dit|Z|=1 si seulement siMappartient à la médiatrice de [OI] dontAest le milieu. Affirmation3 :Zest un imaginaire pur si et seulement sizest réel.

Réponse :VRAI

31mai 2016

Pour tout nombre complexez,z?=2, on a :

Zest un imaginaire pur??Z+

Z=0??izz-2+

?iz z-2? =0 Pour tout nombre complexez,z?=2, d"après les propriétés des conjugués, on a : ?iz z-2? iz z-2=-i z z-2.

Pour tout nombre complexez,z?=2,

Zest un imaginaire pur??iz

z-2+-i z z-2=0??iz( z-2)-iz(z-2) |z-2|2=0?? -2iz+2iz=0?? -2i(z-z)= 0 Et finalement, pour tout nombre complexez,z?=2, on a :Zest un imaginaire pur??z- z=0??zréel.

Soitfla fonction définie surRpar :f(x)=3

4+6e-2x.

Affirmation4 :L"équationf(x)=0,5 admet une unique solution surR.

Réponse :VRAI

La fonctionfdéfinie surRparf(x)=3

4+6e-2xest dérivable surRetf?(x)=36e-2x?4+6e-2x?2.

On a pour tout réelx,f?(x)>0 doncfest strictement croissante surR.

Comme lim

x→+∞-2x=-∞, et que limt→-∞et=0, par composition, limx→+∞e-2x=0 donc limx→+∞f(x)=3

Comme lim

x→-∞-2x=+∞, et que limt→+∞et=+∞, par composition, limx→-∞e-2x=+∞et limx→-∞f(x)=0.

SurR,fest continue strictement croissante etf(x) décrit? 0 ;3 4? . De plus 0,5??

0 ;34?

Enappliquant lethéorème desvaleurs intermédiaires pour les fonctions continues strictement monotones sur

un intervalle, on peut affirmer que l"équationf(x)=0,5 n"a qu"une seule solution réelle. On peut aussi résoudre dans [0; 1] l"équationf(x)=0 et on trouve une solution uniquex=ln3 2. Affirmation5 :L"algorithme suivant affiche en sortie la valeur 0,54.

Variables:XetYsont des réels

Initialisation:Xprend la valeur 0

Yprend la valeur310Traitement:Tant queY<0,5

Xprend la valeurX+0,01

Yprend la valeur34+6e-2XFin Tant que

Sortie :AfficherX

Réponse :FAUX

Si on demande à la calculatrice de donner les valeurs def(x) avecxqui varie à partir de 0 et avec un pas de

0,01, on constate quef(0,54)≈0,4969<0,5 maisf(0,55)≈0,5002>0,5.

On sort de la boucle dès queYdoncf(x) est strictement plus grand que 0,5.

Alors la valeur de sortie est 0,55.

Exercice 45 points

Candidats ayantsuivi l"enseignementde spécialité

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraieou fausse en justifiant la réponse.Un point estattribué par

réponse exacte justifiée. Une réponse non justifiée ne serapas prise en compte et l"absence de réponse n"est pas pénalisée.

On considère le système?n≡1 [5]

n≡3 [4]d"inconnuenentier relatif. Affirmation1 :Sinest solution de ce système alorsn-11 est divisible par 4 et par 5.

• Sinest solution du système, alorsn≡1 [5]; doncn-11≡ -10 [5]. Or-10=5×(-2)≡0 [5], donc

n-11≡0 [5], doncn-11 est divisible par 5. 5

31mai 2016

• Sinest solution du système, alorsn≡3 [4]; doncn-11≡-8 [4]. Or-8=4×(-2)≡0 [4], doncn-11≡

0 [4], doncn-11 est divisible par 4.

On a donc démontré que sinest solution du système, alorsn-11 est divisible par 4 et par 5.

Affirmation1vraie

Affirmation2 :Pour tout entier relatifk, l"entier 11+20kest solution du système.

• 11=2×5+1 donc 11≡1 [5]; 20k=5(4k)≡0 [5]. Par somme, on peut dire que 11+20k≡1 [5].

• 11=2×4+3 donc 11≡3 [4]; 20k=4(5k)≡0 [4]. Par somme, on peut dire que 11+20k≡3 [4].

11+20k≡1 [5] et 11+20k≡3 [4] donc 11+20kest solution du système.

Affirmation2vraie

Affirmation3:Siun entier relatifnest solution dusystème alors ilexiste un entier relatifktel quen=11+20k.

Onavuque sinest solution dusystème, alorsn-11 était divisible àlafois par 4et par 5.Or 4 et5sont premiers

entre eux donc, d"après le théorème de Gauss, le nombren-11 est divisible par 4×5=20; donc il existe un

entier relatifktel quen-11=20k.

Affirmation3vraie

On a démontré que l"ensemble solution du système est?

11+20k?

k?Z.

Un automate peut se trouver dans deux états A ou B. À chaque seconde il peut soit rester dans l"état où il se

trouve, soit en changer, avec des probabilités données par le graphe probabiliste ci-dessous.

Pour tout entier natureln, on noteanla probabilité que l"automate se trouve dans l"état A aprèsnsecondes et

nla probabilité que l"automate se trouve dans l"état B aprèsnsecondes. Au départ, l"automate est dans l"état

AB0,30,2

0,7 0,8

On considère l"algorithme suivant :

Variables:aetbsont des réels

Initialisation:aprend la valeur 0

bprend la valeur 1

Traitement:Pourkallant de 1 à 10

aprend la valeur 0,8a+0,3b bprend la valeur 1-a

Fin Pour

Sortie :Affichera

Afficherb

Affirmation4 :En sortie, cet algorithme affiche les valeurs dea10etb10. D"après le graphe, on peut dire que?an+1=0,3a+0,8b b n+1=0,7a+0,2bavec?a0=0 b 1=1

Dans l"algorithme, on a "aprend la valeur 0,8a+0,3b» et il faudrait avoir "aprend la valeur 0,3a+0,8b».

Affirmation4fausse

Affirmation5 :Après 4 secondes, l"automate a autant de chances d"être dansl"état A que d"être dans l"état B.

On cherchea4:?a1=0,3a0+0,8b0=0,3×0+0,8×1=0,8 b

1=1-a1=0,2?

a2=0,3a1+0,8b1=0,3×0,8+0,8×0,2=0,4 b b

3=1-a3=0,4?

a4=0,3a3+0,8b3=0,3×0,6+0,8×0,4=0,5 b

4=1-a4=0,5

4=0,5 donc après 4 secondes, l"automate a autant de chances d"être dans l"état A que dans l"état B.

Affirmation5vraie

quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

[PDF] [PDF] Corrigé du baccalauréat S Liban 31 mai 2016 Exercice 1 4 points

Durée : 4 heures

31 mai 2016

Exercice 14 points

Commun à tous lescandidats

A ;--→AB ,--→AD ,--→AK?

1. a.Montrons que IE=?

2 et AI=?2

2=AE2-AI2=1-?

I est le milieu de [BD] et

2--→AB+12--→AD , d"où : I?12;12; 0?.

On a :

AE=-→AI+-→IE , d"où : E?

2;12;?

12;12;-?

On a :

AB((100))

2)est normalauplan(ABE).

2.On nomme M le milieu du segment [DF] et N celui du segment [AB].

Comme ABCD est un carré on :

DC=--→AB et on a :--→DC((100))

D"autre part sachant que D(0 ; 1 ; 0), on a :

DF((((1

31mai 2016

Cette droite coupe (AF) en H.

Exercice 24 points

Commun à tous lescandidats

Partie A

2. Comme d"autre part les lancers sont indépendants,Xsuit une loi binomiale de

1.Calculons la probabilité que le lance-balle envoie 10 balles à droite.

C"est :p(X=10)=?2010??

2.Calculons la probabilité que le lance-balle envoie entre 5 et 10 balles à droite.

C"est :p(5?X?10)=p(X?10)-p(X?4).

À la calculatrice, on obtient :p(5?X?10)=0,582

Partie B

0,40; 0,60?

31mai 2016

0,42?I100donc l"hypothèse que l"appareil fonctionne correctement est acceptée, au risque de 5%.

Partie C

On a :pD(C)=1-pD(L)=1-p(D∩L)

On en déduit :p(C∩D)=p(D)×pD(C)=0,26

Finalement :pC(D)=p(C∩D)

Exercice 34 points

Commun à tous lescandidats

1+e1-x.

Partie A

1.Étudions le sens de variation de la fonctionfsur l"intervalle [0; 1].

Pour toutx?[0 ; 1], e1-x>0 et (1+e1-x)2>0.

2.En remarquant que e=e1, et que pour tout réelx, e-x×ex=1, on peut écrire :

1+e×e-x=ex(1+e×e-x)ex=exex+e.

3.fest dérivable sur [0 ; 1] donc continue et est de la formeu?

On en déduit que :?

Partie B

1+ne1-x.

1.On a tracé en annexe les courbes représentatives des fonctionsfnpournvariant de 1 à 5.

Pour toutx?[0;1], on a :f0(x)=1

1+0×e1-x=1.

31mai 2016

2.Soitnun entier naturel.

Pour toutx?[0;1], on a :fn(x)=1

1+ne1-x>0. On en déduit queunreprésente l"aire sous la courbeCn

On a en particulieru0=?

1dx=[x]10=1

3.Il semble que la suite(un)soit décroissante car les aires sont de plus en plus petites.Démontrons-le.

Soitnun entier naturel.

Pour tout réelx?[0;1], on a :fn+1(x)-fn(x)=1

Pour tout réelx?[0;1], on a :fn(x)=1

1+ne1-x>0 et donc?

Exercice 45 points

14 16 18 20 22 24 26

0,046.

Réponse :FAUX

Réponse :VRAI

Réponse :VRAI

31mai 2016

Pour tout nombre complexez,z?=2, on a :

Zest un imaginaire pur??Z+

Z=0??izz-2+

Pour tout nombre complexez,z?=2,

Zest un imaginaire pur??iz

Soitfla fonction définie surRpar :f(x)=3

On considère le système?n≡1 [5]