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2 4 Seconde loi de Newton : principe fondamental de la dynamique de temps t = 0, les forces s'appliquant sur le skateur et sa planche sont la gravité et la Comme on vient de le voir, la hauteur du saut est liée à h2 − h1 (qui est limitée par approximons donc la trajectoire du skateboard à l'aide de la méthode d' Euler

Le sujet comporte trois exercices présentés sur 12 pages numérotées de 12/12 EXERCICE II – QUAND NEWTON VIENT EN AIDE AUX SKATEURS (5 points)

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La mécanique du longboard et du skateboard

Clément Legrand et Florian Sanchez

Janvier 2014

Sujet :La mécanique du longboard et du skateboard du longboard ou du skateboard et de résoudre les équations correspondantes?

Thème national choisi :La mesure

Matières concernées :

Physique : pour compr endreles dif férentesfor ceset les mettr een équations. Informatique (ISN) : pour résoudr enumériquement les équations n"ayant pas de solution algébrique et représenter graphiquement les trajectoires 1 2

Table des matières

1 Introduction 5

2 Pré-requis de physique et de mathématiques 5

2.1 Dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3 Vitesse et accélération d"un objet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4 Seconde loi de Newton : principe fondamental de la dynamique de

translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.5 Troisième loi de Newton : principe d"action réaction . . . . . . . . . . . .

2.6 Notions de base sur le frottement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6.1 Frottement statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6.2 Frottement cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.7 Saut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Early grab 9

3.1 Physique du early grab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2 Simulation Informatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3 Pour aller plus loin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Ollie13

4.1 Physique du ollie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2 Pour aller plus loin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Slide15

5.1 Modélisation mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2 Simulation informatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3 Pour aller plus loin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 Conclusion 22

7 Bibliographie 23

3 4

1 Introduction

tail wheelbase (empattement)nose roues griptape (surface anti-dérapante) deck (planche en bois) trucks (composants métallique permettant la rotation)FIGURE1 - schéma des composés d"une longboard Leskateboardest une planche d"environ 80 cm montée sur des trucks courts et des roues très dures et petites. Leur dimension les rend particulièrement adaptées à la pratique du skate enBowlet sur d"autres modules spécialisés. Elles sont plutôt utili- sées pour enchaîner des sauts et des figures que comme moyen de déplacement. Ces planches sont donc généralement très rigides afin de permettre les meilleurs rebonds possible. Lelongboardest une planche a roulette mesurant de 70 a 150 cm de long avec des roues plus tendres, de diamètre plus élevé et avec des trucks plus longs pour per- mettre tourner plus facilement. Les longboards sont plus adaptés à la descente et aux grandes vitesses. En effet, le deck étant plus large et l"empattement plus important, ces planches assurent une plus grande stabilité. En contrepartie, ces planches étant plus lourdes, plus encombrantes et moins rigides, les figures sont moins sautées. Le re- cord actuel de vitesse sur un longboard a été établi en 2012 par Mischo Erban à 129,94 km/h [11]. Ce type de planche est une adaptation du skateboard qui a été inventée dans les discipline quelque soitle temps etl"état de lamer. Il existede nombreux facteurs,aussi bien dans les dimensions que dans les matériaux employés dans la fabrication de la planche ou de ses composés, qui influent directement sur les différentes performances du skate. Dans ce dossier, nous présentons les différentes modélisations physiques des fi- gures de bases du skateboard et du longboard. Pour cela, nous commeçons (section 2) par la présentation de quelques notions de physique et de mathématique que nous ne

maitrisions pas a début de ce TPE et qui nous ont été très utiles. Nous présentons en-

suite une réponse à notre problématique pour les figures suivantes : early grab (section

3), ollie (section 4) et slide (section 5).

2 Pré-requis de physique et de mathématiques

2.1 Dérivées

La dérivée en un point d"une fonction est égale au coefficient directeur de la droite tangente à la fonction en ce point. La dérivée première dfdx d"une fonctionfest notéef0 5 et est définie par : f

0(x) = limh!0f(x+h)f(x)h

En physique les grandeurs sont souvent des fonctions du temps et la dérivée par rap- port au temps est notée _fplutôt quef0. De même la dérivée secondef00=d2fdt

2est notée

2.2 Intégrales

La primitiveFd"une fonctionfest la transformée inverse de la dérivée, c"est-à-dire

queF0=f. La dérivée d"une constante étant égale à0, la primitive est définie à une

constante près. L"interprétation graphique de la primitive est queF(a)F(b)(égale- ment appelée intégrale entreaetbdef) correspond à l"aire comprise entre la fonction f, l"axe(Ox)et entre les pointsaetb. Dans la suite, il sera courant que l"on détermine une primitive d"une fonction véri- fiant une condition initiale donnée afin de déterminer des trajectoires.

2.3 Vitesse et accélération d"un objet

On suppose que l"on s"est placé dans un repère orthonormé(O;x;y;z). On s"intéresse alors à un objet de positionM(t)et représenté par le vecteur!OM(t). Pour alléger les notations, on écrira par la suite!OMau lieu de!OM(t). La vitesse instantanée d"un corps est définie par la dérivée de sa positionMpar rapport au temps [5] : v=d!OMdt De même, l"accélération d"un corps représente sa variation de vitesse au cours du temps. L"accélération instantanée d"un corps est donc définie par : a=d!vdt =d2!OMdt 2

2.4 Seconde loi de Newton : principe fondamental de la dynamique

de translation La seconde loi de Newton permet de relier le mouvement d"un objet aux forces qui s"exercent sur ce dernier. Formellement, elle s"écrit [5] : m: !a=X!F Ainsi, si la somme des forces est nulle, l"accélération aussi. La vitesse reste donc constante et un objet continue donc sur sa lancée. 6

2.5 Troisième loi de Newton : principe d"action réaction

SoitAetBdeux corps en interaction. Si le corpsAexerce une force surB, il subit en re- tour une force de celui ci d"intensité et de direction identique mais de sens opposé [5] :

FA=B=!FB=A

2.6 Notions de base sur le frottement

On distingue deux types de frottements différents : le frottement statique et le frotte- ment cinétique [9]. Durant tout ce TPE, on négligera les frottements dûs à l"air et les frottement intervenant dans les roulements à billes des roues. On considérera unique- ment les frottements des roues avec le sol.

2.6.1 Frottement statique

Le frottement statique s"exerce entre deux corps en contact et ne glissant pas l"un sur l"autre. C"est le cas par exemple lorsqu"il y a roulement de la roue sur le sol. Cette force tend à conserver les corps dans un état de contact. Cette force est d"intensité et de direction identique mais de sens opposée à la force appliquée. Ainsi, l"intensité du frottement statique est variable et dépend de la force appliquée (voir Figure 2). Toutefois il existe pour cette force une intensité maximale au delà de laquelle le corps se met en mouvement. Cette intensité maximale dépend de la force normale appliquée par le corps en contact et d"un coefficient de frottement propre à la nature des deux surfaces en contact : F s6s:N:FIGURE2 - Illustration de la force statique : ici, l"objet n"est soumis qu"à son propre poids. C"est la raison pour laquelle plus un objet est lourd plus il est difficile à faire glisser. de l"aire de la surface de contact des deux corps, mais du rapport entre l"aire de contact réelle et l"aire de contact apparente. C"est aussi pourquoi le coefficient de frottement statique est exprimé sans unité. Le coefficient de frottement statique entre deux types de matériaux est donc une grandeur macroscopique déterminée expérimentalement.

Si l"intensité de la force appliquée est supérieure à cette intensité maximale, il y a

glissement et la force de frottement statique est remplacée par la force de frottement cinétique. 7

2.6.2 Frottement cinétique

Le frottement cinétique s"exerce sur un corps en mouvement par rapport à u autre. Elle correspond au cas où il y a glissement et tend a réduire la vitesse de l"objet. Cette force de frottement est de même direction mais de sens opposé au mouvement du corps. L"intensité de la force de frottement cinétique est constante et dépend encore d"un coefficient de frottement cinétique et de l"intensité de la force normale exercée entre les deux corps : F c=c:N: Attention : la force de frottement statique est de sens opposé à la force appliquée tandis que la force de frottement cinétique est de sens opposé à la vitesse du corps. Remarque : le coefficient de frottement statique est, sauf pour quelques matériaux aux

propriétés très particulières, supérieur ou égal au coefficient de frottement cinétique.

s>c Tout comme le coefficient de frottement statique, le coefficient de frottement ciné- tique entre deux matériaux est déterminé expérimentalement. premier est bien entendu le diamètre de la roue et le second est la dureté de la gomme. La dureté des roues est classée sur une échelle allant d"environ 70 A à 100 A. Les roues en 70A sont des roues extrêmement tendres, confortables sur revêtement de moyenne

qualité, avec un coefficient de frottement très élevé : la roue se déforme légèrement et

le rapport aire de contact réelleaire de contact apparente est ainsi plus élevé. Au contraire des roues en 100A seront très dures, moins confortables mais très faciles à faire déraper.

2.7 Saut

Dans le cas d"un saut, la seule force s"exerçant sur le sauteur est la gravité. Plus géné-

ralement, notons!F,la somme des forces. Si!Fest de direction verticale, les équations décrivent la trajectoire du sauteur. On applique donc la seconde loi de Newton pour obtenir l"accélération : x(t) = 0 y(t) =fm En intégrant on obtient la vitesse. Si on note(v0x;v0y)la vitesse à l"instantt= 0, on a donc : _x(t) =v0x _y(t) =fm t+v0y En intégrant une nouvelle fois, si on note(x0;y0)la position à l"instantt= 0, on obtient la position :( x(t) =v0xt+x0 y(t) =f2mt2+v0yt+y0 Ce type de trajectoire correspond à une parabole et sera obtenue pour les deux figures suivantes. 8

3 Early grab

Leearly grabest la façon la plus simple d"effectuer un saut en skateboard. Leearly grab est praticable avec des planches plus lourdes et plus longues comme les longboards. Comme son nom l"indique, leearly grabest ungrab, figure consistant à attraper sa planche avec une ou deux mains lors d"un saut (voir Figure 3). Cette figure est relati- vement simple, il existe donc des robots effectuant desearly grab[?].

FIGURE3 - early grab 180 [3]

3.1 Physique du early grab

Leskateurattrape avec sa main droite (si regular) l"arrière de sa planche entre ses deux pieds. Il va ensuite faire un saut, emportant avec lui sa planche dans les airs [4]. Au tempst= 0, les forces s"appliquant sur le skateur et sa planche sont la gravité et la réaction du sol (on suppose là encore que le skateur est sur un sol plat pour simplifier les calculs). Toutes ces forces se compensent (voir Figure 4). On se place dans le repère(O;!ex;!ey). Leearly grabétant un saut, la trajectoire dé- crite par le skateur est une parabole. Notonst1le moment où le skateur commence à appliquer une force supérieure à la gravité avec ses jambes. Cette force additionnelle va élever son centre de gravité et lui communiquer une certaine vitesse. Cette vitesse verticale va le faire s"élever dans les airs. Comme le skateur tient sa planche avec sa main, la hauteurh2qu"il va pouvoir ainsi atteindre est limitée par la longueur de son bras. Notonst2l"instant où cette hauteur est atteinte. Det1= 0àt2, les forces appliquées sur le skateur sontP!F=!P+!f. En utilisant la seconde loi de Newton, on obtient : y(t) =g+fm 9 Détente maximale du sauteurFIGURE4 - shema des forces lors d"un saut On en déduit donc les équations du mouvement suivante : x(t) =v0t y(t) = (g+fm ):t22 +h1 Le tempst2est donc atteint quandy(t) =h2, d"où : t

2=s2(h2h1)

g+fm La vitesse verticale du skateur au tempst2est donc : _y(t2) = g+fm :t

2=s2:(h2h1)

g+fm À partir de l"instantt2, la seule force s"appliquant sur le skateur et sa planche est la gravité. On a doncy(t) =g, ce qui nous donne l"équation mouvement suivante : x(t) =v0t y(t) =g(tt2)22 + _y(t2)(tt2) +h2 Notonst3l"instant où le skateur est le plus haut. Cet instant corrspond au moment où sa vitesse verticale s"annule, soit : t

3=t2+_y(t2)g

La hauteurh3ainsi atteinte vaut après simplification : h

3=h2+h2h12

fmg 1 On retrouve bien l"intuition queh3est limité par(h2h1)la longueur du bras du skateur, et directement croissant avec la force du skateurf. DE plus on retrouveaussi le fait que plus le skateur est lourd, moins il saute haut... L"instantt4où le skateur atterri correspond au moment oùy(t) =h2, d"où : 10 t

4=t2+ 2_y(t)g

3.2 Simulation Informatique

Pour obtenir la trajectoire du skateur, nous utilisons les bibliothèquesnumpyet matplotlib[?] qui permettent de tracer simplement des courbes. Le programme suivant utilise directement les formules précédentes pour tracer la trajectoire. import os from math import import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt v_0 = 3 # en m *s^-1 g = 9.81 # en m *s^-2 f = 800 # en N m = 60 # en kg

X = []

Y = []

h_1 = 0.3 h_2 = 0.5 y = h_1 dt = 0.001 if(-g + f/m<0): print "Pas assez de force pour decoller...\n" exit(0) ############## Calcul des positions ################# t_1 = 0 t_2 = sqrt(2 *(h_2-h_1)/(-g+f/m)) v_t2 = (-g + f/m) *t_2 #vitesse en y a l"instant t_2 t_3 = t_2 + v_t2/g h_3 = (-g)/2 *(t_3-t_2)**2 + v_t2*(t_3-t_2) + h_2 t_4 = t_2 + 2 *v_t2/g t = np.arange(t_1,t_2,dt)

X = v_0

Y = (-g+f/m)/2

*t**2 + h_1 t = np.arange(0,t_4-t_2,dt)

X2 = v_0

*(t + t_2)

Y2 = (-g)/2

*t**2 + v_t2*t + h_2 ############## Affichage ########################### 11 fig = plt.figure() font = {"family" : "serif", "color" : "darkred", "weight" : "normal", "size" : 16, } #fixe la police des anotations sur la courbe ax = fig.add_subplot(111, aspect="equal") ax.plot(X,Y) ax.plot(X2,Y2) ax.set_title("Trajectoire du early grab") #ax.set_xticks([0, 1]) #ax.set_xlim([-0.5, 1.5]) ymax = 1 ax.set_ylim([0, ymax]) #trace la ligne pointillee verticale passant par h_2 lx = np.array( [t_2 *v_0,t_2*v_0] ) ly = np.array( [0,ymax] ) plt.plot(lx,ly,"k--") #trace la ligne pointillee horizontale passant par h_2 lx = np.array( [0,t_4 *v_0] ) ly = np.array( [h_2,h_2] ) plt.plot(lx,ly,"k--") plt.text(0, h_1 *1.1, "$h_1$",fontdict=font) plt.text(v_0 *t_2*0.92, h_2*1.1, "$h_2$",fontdict=font) plt.text(v_0 *t_3*0.98, h_3*1.05, "$h_3$",fontdict=font) plt.text(v_0 *t_4*0.98, h_2*0.9, "$h_2$",fontdict=font) plt.text(v_0 *t_2*0.92, 0.05, "$t_2$",fontdict=font) plt.text(v_0 *t_4*0.98, 0.05, "$t_4$",fontdict=font) plt.savefig(filename) os.system("pdfcrop " + filename + " " + filename + \ " >/dev/null 2>&1") La Figure 5 est le résultat du programme précédent. De l"instantt1à l"instantt2, le skateur se relève. À partir de l"instantt2, il décolle. Il atteint sa hauteur maximale à l"instantt3et retouche le sol à l"instantt4. On voit que la hauteur dont il a décollé (entre la ligne pointillée horizontale et le maximum de la courbe) est assez faible.

3.3 Pour aller plus loin

Comme on vient de le voir, la hauteur du saut est liée àh2h1(qui est limitée par la longueur des bras du skateur) et à la forcefqu"il impulse (qui est limitée par sa masse musculaire). Une technique permettant de sauter plus haut consiste à d"abord se laisser tomber sur sa planche afin de profiter de l"énergie renvoyée par la planche

(élastique). L"énergie ainsi renvoyée se traduit par une force supplémentaire à la force

f, ce qui permet de sauter plus haut. Une autre technique consiste à s"affranchir de la limitation imposée parh2h1, c"est ce qu"on appelle le Ollie. 12

h1h2h3h2t2t4Trajectoire du early grabFIGURE5 - Illustration de la trajectoire d"unearly grabgrâce au programme précédent.

À partir de l"instantt2, le skateur décolle. Il atterrit à l"instantt4.

4 Ollie

Le ollie est la plus connue et la plus utilisée des figures de skateboard et a été inventée

dans les années 1980 par Allan Ollie Gefland [?]. Cette figure consiste à utiliser le rebond du sol pour s"élever avec sa planche dans les airs (voir Figure 6). Elle est ainsi l"ancêtre de la plupart des figures nécessitant un saut comme les flip ou le kickflip (ollie + rotation de la planche en l"air) par exemple, c"est aussi la figure la plus simple dans la plupart des jeux vidéos. Ces figures sont toutefois bien plus difficiles à réaliser avec un longboard car la planche est plus lourde et letailplus court. Nous reviendrons plus tard sur ce point. Le record actuel de ollie, détenu par Aldrin Garcia [?], est de

114.3 cm de hauteur!

FIGURE6 - Étapes une à quatre du Ollie [2]

On notera qu"il n"existe a ce jour aucun robot capable d"effectuer un ollie pour la 13 raison suivante : des paramètres tels que l"équilibre du robot en l"air et la précision nécessaire des mouvements sont trop compliqués pour un simple robot.

4.1 Physique du ollie

La réalité est hélas bien différente et plus complexe que les jeux vidéos. Pour faire

décoller sa planche, le skateur fait en réalité appel à la troisième loi de Newton : le

principe d"action réaction. Au début le skateur est immobile, les forces s"appliquant sur lui et sa planche sont : La gravité terr estrequi ramene le skateur contr esa planche, La poussée de la pl anchesur les pieds du skateur , La gravité terr estresui ramène le skateur et sa planche vers le sol,

La poussée du sol su rla planche.

La somme de ces deux forces est nulle. Dans la suite on noterams+pla masse du ska- teur et de sa planche,mscelle du skateur etmpde sa planche. On a alors :

Fg=ms+p!g

Dans un premier temps, il déplace l"intégralité de son poids sur son pied arrière et donc sur le tail faisant ainsi basculer la planche vers l"arrière. Si le skateur décolle de sa planche en sautant au même instant, cela signifie qu"il y a une force s"exercant sur la planche d"intensité et de direction egale à la force nécessaire pour son saut mais de sens opposé. S"applique alors la troisième loi de Newton :

Fskateur/planche=!Fplanche/skateur

Le skateur fait en même temps un bond dans les airs, allégeant ainsi sa planche de son poids. La force gravitationnelle clouant la planche au sol est plus faible que la force de rebond du skateur et de sa planche ensemble : j !Fgj6j!Fskateur et de sa planchej

La force du rebond étant dirigée en sens inverse à la gravité, la planche s"élève dans

les airs sous les pieds du skateur. Du moins jusqu"à ce que la gravité les ramène tout les deux au sol... Quoi qu"il en soit, cette manoeuvre est un saut et conduit donc à une trajectoire parabolique, se résumant donc à : x(t) =v0xtquotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

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