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![[PDF] Résolution dune inéquation [PDF] Résolution dune inéquation](https://pdfprof.com/Listes/27/19436-27Resolution_d_une_inequation.pdf.pdf.jpg)
Exemples :
3 < 7 mais 3 < 3
2£ 6 et 2 £ 2
5 > -3 mais 5 > 5 10³ 8,37 et 10 ³ 10
Notion d"inéquation :
Une écriture du type " 2
x + 1 < 7 » s"appelle une inéquation. ( notion à rapprocher de la notion d"équation ) Equation Egalité Exemple : 2x + 1 = 7 Inéquation Inégalité Exemple : 2x + 1 < 7 Dans cette écriture, la lettre x s"appelle l"inconnue.Résoudre une inéquation ( comme une équation ) , c"est déterminer, si elles existent, les valeurs de
l"inconnue qui vérifient l"inégalité ( c"est à dire qui rendent vraie l"inégalité )
Par exemple, en reprenant l"inéquation 2x + 1 < 7, nous constatons que :· 1 est solution de l"inéquation , car, en remplaçant x par cette valeur 1, le premier membre est
égal à
3 soit , 1 2 soit , 1 1 2++´ et 3 est inférieur à 7 (7 3< )
· 5 est également solution car 9 - 1 10 - 1 ) 5 - ( 2=+=+´ et 7 -9<4 n"est pas une solution , car 9 1 8 1 4 2=+=+´ et 9 n"est pas inférieur strictement à 7 (
l"écriture7 9< est fausse )
· 3 n"est pas solution, car 7 1 6 1 3 2=+=+´ et 7 n"est pas strictement inférieur à 7 ( Remarquons
que 3 est solution de l"inéquation 2 x + 1 £ 7THEME :
RESOLUTION D"UNE
INEQUATION
? Propriétés utilisées dans la résolution d"une inéquation :Si on ajoute un même nombre aux
deux membres d"une inégalité, on obtient une inégalité de même sens.Si a < b alors a + c < b + c
Exemple :
2 < 5 , donc 2 + 8< 5 + 8
Si on retranche ( soustrait ) un même
nombre aux deux membres d"une inégalité, on obtient une inégalité de même sens.Si a < b alors a - c < b - c
Exemple :
7 < 10 , donc 7 - 3< 10 - 3
Si on multiplie ( ou divise ) les deux membres d"une inégalité par un même nombre strictement positif, on obtient une inégalité de même sens.Si a < b et c > 0 alors a ´ c < b ´ c
Si a < b et c > 0 alors c
a < c bExemple :
2 < 3 , donc 5 3 5 2´´< 10 < 15 , donc 5
15 5 10< Si on multiplie ( ou divise ) les deux membres d"une inégalité par un même nombre strictement négatif, on obtient une inégalité de sens contraire.Si a < b et c < 0 alors a ´ c > b ´ c
Si a < b et c < 0 alors c
a > c bExemple :
2 < 3 , donc ) 12 - 8 - car ( ) 4 - ( 3 ) 4 - ( 2>>´´ et 10 < 15 , donc ) 3 - 2 - ( 5-
15 5- 10>>Les expressions situées de part et
d"autre du symbole d"inégalité s"appellent, comme pour uneéquation , des membres.
Membre de gauche
Membre de droite
ATTENTION ! CHANGEMENT DE SENS DE L"INEGALITE
Remarque :Analogie avec la Physique
Une inégalité ( ou une inéquation )
Si a < b alors a + c < b + c
Si nous ajoutons aux objets de masses a et b , une même quantité c, alors le déséquilibre sera le même.
De même, si nous retranchons la même quantité , le déséquilibre restera le même.En ce qui concerne la multiplication ( et la division), l"analogie physique est plus difficile ( la multiplication
n"étant pas une opération " naturelle » ) ?Exemples ? Résoudre l"inéquation 2x + 1 < 72x + 1 < 7
2x < 7 - 1
2 x < 6
x < 2 6 x < 3Les solutions ont tous les nombres inférieurs strictement à 3. Par exemple -10 ; -2458,72 ; - 0,3 ; 2,57
sont des solutions . Il y a donc une infinité de solutions.Cet ensemble infini de solutions peut être représenté graphiquement ( représentation graphique ) :
Représentation graphique :
Considérons une droite graduée
La valeur limite déterminée par la résolution de l"inéquation est 3. Plaçons ce nombre.
Les solutions sont les nombres inférieurs strictement à 3. Ces nombres sont situés, sur cet axe , à
gauche du nombre 3. Résolution de l"équation " associée » :2x + 1 = 7
2 x = 7 - 1 2 x = 6 x = 2 6 x = 3La solution est
3Si ALORS
2 est un nombre positif
Dans notre exemple, les solutions sont les nombres x qui vérifient x < 3. Si nous avions comme ensemble
solution, les nombres qui vérifient x £ 3 , la représentation graphique serait identique.Pour différencier ces deux cas, nous allons préciser sur le dessin si le nombre limite ( ici 3 ) fait partie
des solutions ou non.Nous dessinerons un crochet de ce type ( voir dessin ) sur le nombre 3 pour préciser que 3 n"appartient
pas aux solutions ( pour préciser que 3 est en dehors des solutions )Remarque :
Si notre ensemble solution était x £ 3 ( nombres inférieurs ou égaux à 3 ) , le nombre 3 serait solution.
Pour le préciser sur la représentation graphique , il suffirait de mettre un crochet de ce type ( voir
dessin ci-dessous ). Ce crochet indique que 3 appartient aux solutions , c"est à dire que nous " prenons »
3 dans l"ensemble des solutions.
? Résoudre l"inéquation - 3x + 2 < 8Résolution :
Nous avons successivement :
- 3 x + 2 < 8 - 3 x < 8 - 2 - 3x < 6Nous devons, à ce stade, diviser par le nombre
situé devant l"inconnue x, c"est à dire - 3.Ce nombre est négatif.
La dernière propriété mentionnée ci-dessus , précise que : Si on divise les deux membres d"une inégalité par un même nombre strictement négatif , on obtient une inégalité de sens contraire.Nous pouvons donc diviser par - 3, mains attention , nous devons changer le sens de l"inégalité !
x > 3 - 6Nous obtenons donc :
x > - 2Représentation graphique :
? Résoudre l"inéquation 5x + 1 ³ 3x - 2Résolution :
- 3 est un nombre négatif . Il y a donc un changement de sens de l"inégalitéSolutions
Solutions
Précisez la couleur
représentant l"ensemble des solutions ou mieux,écrivez le mot
" Solutions »Solutions
Nous avons successivement ( comme pour une équation ) :5x + 1 ³ 3x - 2
5 x - 3x ³ - 2 - 1 Soit2x ³ - 3
Nous devons maintenant diviser par 2.
Ce nombre est positif
. Il n"y a donc aucun problème.On continue :
23 -³x
23-³x
Représentation graphique :
1,5 - 2
3=- ? Résoudre l"inéquation 2x - 1 £ 5x - 3Résolution 1 :
2x - 1 £ 5x - 3
2 x - 5x £ - 3 + 1 - 3 x £ - 2Nous devons maintenant diviser par - 3.
Ce nombre est négatif
. Nous pouvons donc diviser , mais il faut alors changer le sens de l"inégalité.Nous obtenons alors :
x 3 -2 -³
32³x
Résolution 2 :
La seule difficulté, dans la résolution d"une inéquation, est la présence d"un nombre négatif devant
l"inconnue. Nous pouvons y remédier en procédant comme suit : 2 x - 1 £ 5x - 3 - 1 + 3£ 5x - 2x
2£ 3x
Le nombre 3 situé devant l"inconnue x est positif. Nous devons donc , à ce stade, diviser par le nombre
positif . Il n"y a aucun problème. x£ 3 2 Pour une meilleure lecture, nous écrirons l"inconnue x en tête. Nous avons donc : 3