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Exercice 4 Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité 5 points

Parmi les ordinateurs d'un parc informatique, 60 % présentent des failles de sécurité. Afin de pailler ce problè-

me, on demande à un technicien d'intervenir chaque jour pour traiter les défaillances.

On estime que chaque jour, il remet en état 7 % des ordinateurs défaillants, tandis que de nouvelles failles appa-

raissent chez 3 % des ordinateurs sains. On suppose de plus que le nombre d'ordinateurs est constant sur la pé-

riode étudiée.

Pour tout entier naturel n, on note an la proportion d'ordinateurs sains de ce parc informatique au bout de n

jours d'intervention, et bn la proportion d'ordinateurs défaillants au bout de n jours.

Ainsi a0=0,4 et b0=0,6.

Partie A

1. Décrire la situation précédente à l'aide d'un graphe ou d'un arbre pondéré.

2. Déterminer a1 et b1.

3. Pour tout entier naturel n, exprimer an+1 et

bn+1 en fonction de an et bn.

4. Soit la matrice A=

(0,970,07

0,030,93). On pose Xn=(an

bn).

4.a. Justifier que pour tout entier naturel n, Xn+1=AXn.

4.b. Montrer par récurrence, que pour tout entier naturel n, Xn=AnX0

4.c. Calculer, à l'aide de la calculatrice, X30. En donner une interprétation concrète.

(Les coefficients seront arrondis au millième.)

Partie B

1. On pose D=

(0,90

00,9) et B=(0,07

0,03).

1.a. Justifier que, pour tout entier naturel n,

an+1+bn+1=11.b. Montrer que pour tout entier naturel n, Xn+1=DXn+B.

2. On pose, pour tout entier naturel n,

Yn=Xn-10B2.a. Montrer que pour entier naturel n, Yn+1=DYn

2.b. On admet que pour tout entier naturel n,

Yn=DnY0 En déduire que pour tout entier n,

Xn=Dn(X0-10B)+10B.

2.c. Donner l'expression de Dn puis en déduire an+1 et

bn+1 en fonction de n.

3. Selon cette étude, que peut -on dire de la proportion d'ordinateurs défaillants sur le long terme ?

S Antilles-Guyane semptembre 2016

CORRECTION

Partie A

1.a. On se propose de construire un graphe probabiliste.

On choisit au hasard un ordinateur dans le parc informatique.

On considère 2 états : S et ̄S.

S : " l'ordinateur choisi est sain »

̄S : " l'ordinateur choisi présente des failles de sécurité »

Chaque jour le technicien remet en état 7 % des ordinateurs défaillants donc le poids de l'arête

̄SS est égal

à 0,07 et 93 % des ordinateurs défaillants restent défaillants donc le poids de l'arête ̄S̄S est égal à 0,93.

Chaque jour 3 % des ordinateurs sains deviennent défaillants donc le poids de l'arête

S̄S est égal à 0,03 et

97 % des ordinateurs sains restent sains donc le poids de l'arête SSest égal à 0,97.

On obtient le graphe probabiliste suivant :

1.b. On propose de construire un arbre pondéré.

Pour tout entier naturel n, on note :

Sn : " l'ordinateur choisi est sain au bout de n jours d'intervention » Sn+1 : " l'ordinteur choisi est sain au bout de (n+1) jours d'intervention »

̄Sn : " l'ordinateur choisi présente des défaillances de sécurité au bout de n jours d'intervention »

̄Sn+1 : " l'ordinateur choisi présente des défaillances de sécurité au bout de (n+1) jours d'intervention ».

P(Sn)=an

P(Sn+1)=an+1

P(̄Sn)=bn P(̄Sn+1)=bn+1 Chaque jour le technicien remet en état 7 % des orinateurs défaillants donc P̄Sn(Sn+1)=0,07

P̄Sn

(̄Sn+1)=1-0,07=0,93 Chaque jour 3 % des ordinateurs sains présentent des défaillances donc

PSn (̄Sn+1)=0,03 et PSn (Sn+1)=1-0,03=0,972. Pour n=0 En utilisant la formule des probabilités totales ou l'arbre pondéré :

P(S1)=P(S0)×PS0

(S1)+P(̄S0)×P̄S0

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a1=a0×0,97+b0×0,07=0,4×0,97+0,6×0,07=0,388+0,042= 0,43

P(̄S1)=P(S0)×PS0

(̄S1)+P(̄S0)×P̄S0 (̄S1) b1=a0×0,03+b0×0,93=0,4×0,03+0,8×0,93=0,012+0,558= 0,57

3. En utilisant la formule des probabilités totales ou l'arbre pondéré

an+1=an×0,97+bn×0,07=0,97an+0,07bn

P(̄Sn+1)=P(Sn)×PSn

(̄Sn+1)+P(̄Sn)×P̄Sn (̄Sn+1) bn+1=an×0,03+bn×0,93=0,03an+0,93bn4. A= (0,970,07

0,030,93) et Xn=(an

bn) (Dans cet exercice on utilise les matrices colonnes).

4.a. Pour tout entier naturel n

AXn=(0,970,07

0,030,93)(an

bn)=(0,97an+0,07bn

0,03an+0,93bn)=(an+1

bn+1)=Xn+1 donc

Xn+1=AXn4.b. On veut démontrer en utilisant un raisonnement par récurrence que pour tout entier naturel n,

Xn=AnX0 Initialisation

Pour n=0, on convient que

A0=I=(10

01) donc A0X0=X0.

La propriété est vérifiée pour n=0.

Héréditité

Pour démontrer que la propriété est héréditare pour tout entier naturel n, on suppose que

Xn=AnX0 et on

doit démontrer que Xn+1=An+1X0.

Or Xn+1=AXn=A(AnX0)=(AAn)X0=Xn+1X0

Conclusion

Le principe de récurrence nous permet de conclure que pour tout entier naturel n : Xn=AnX0

5.c. En utilisant la calculatrice, on obtient : A30=

(0,7130,67

0,2870,33) et X30=A30X0=(0,687

0,313) Au bout de 30 jours, il y aura dans le parc informatique 68,7 % d'ordinateurs sains.

Partie B

1. On pose

D=(0,90

00,9) et B=(0,07

0,03)1.a. Pour tout entier naturel n

an+1=P(Sn+1) et bn+1=P(̄Sn+1)=1-an+1 donc an+1+bn+1=1

1.b. Pour tout entier naturel n

DXn+B=

(0,90

00,9)(an

bn)+(0,07

0,03)=(0,9an+0,07

0,9bn+0,03) Or an+1=0,97an+0,07bn et bn=1-an

an+1=0,97an+0,07(1-an)=0,97an+0,07-0,007an=0,9an+0,07 bn+1=0,03an+0,93bn et an=1-bn

Conclusion

S Antilles-Guyane semptembre 2016

DXn+B=(an+1

bn+1)=Xn+12. Pour tout entier naturel n, on pose :

Yn=Xn-10B2.a. Pour tout entier naturel n

Yn=Xn-10B=(an

bn)-10(0,07

0,03)=(an-0,7

bn-0,3) Yn+1= (an+1-0,7 bn+1-0,3)=(0,9an+0,07-0,7

0,9bn+0,03-0,3)=(0,9an-0,63

0,9bn-0,27)

DYn=(0,90

00,9)(an-0,7

bn-0,3)=(0,9an-0,9×0,7

0,9bn-0,9×0,3)=(0,9an-0,63

0,9bn-027)=Yn+1 Conclusion

Yn+1=DYn2.b. On admet que pour tot entier naturel n, Yn=DnY0 Or Yn=Xn-10B donc Xn=Yn+10B et Y0=X0-10B On obtient Yn=Dn(X0-10B)+10B

2.c. Pour tout entier naturel n Dn=

(0,9n0

00,9n) (on peut facilement vérifier de résultat par récurrence

X0-10B=(a0-0,7

b0-0,3)=(0,4-0,7

0,6-0,3)=(-0,3

0,3) Xn+1=Dn+1(X0-10B)+10B

(an+1 bn+1)=(0,9n+10

0,9n+10)(-0,3

0,3)+(0,7

0,3) {an+1=-0,3×0,9n+1+0,7 bn+1=0,3×0,9n+1+0,33. 0 < 0,9 <1 donc limn→+∞

0,9n+1= 0 et limn→+∞bn+1= 0,3

Pour n grand (à long terme) la proportion d'ordinateurs d éfaillants sera voisine de 30 %.quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

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S Antilles-Guyane semptembre 2016

Ainsi a0=0,4 et b0=0,6.

Partie A

1. Décrire la situation précédente à l'aide d'un graphe ou d'un arbre pondéré.

2. Déterminer a1 et b1.

3. Pour tout entier naturel n, exprimer an+1 et

4. Soit la matrice A=

0,030,93). On pose Xn=(an

4.a. Justifier que pour tout entier naturel n, Xn+1=AXn.

4.b. Montrer par récurrence, que pour tout entier naturel n, Xn=AnX0

4.c. Calculer, à l'aide de la calculatrice, X30. En donner une interprétation concrète.

Partie B

1. On pose D=

00,9) et B=(0,07

0,03).

1.a. Justifier que, pour tout entier naturel n,

2. On pose, pour tout entier naturel n,

2.b. On admet que pour tout entier naturel n,

Xn=Dn(X0-10B)+10B.

2.c. Donner l'expression de Dn puis en déduire an+1 et

3. Selon cette étude, que peut -on dire de la proportion d'ordinateurs défaillants sur le long terme ?

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CORRECTION

Partie A

1.a. On se propose de construire un graphe probabiliste.

On considère 2 états : S et ̄S.

S : " l'ordinateur choisi est sain »

̄SS est égal

S̄S est égal à 0,03 et

97 % des ordinateurs sains restent sains donc le poids de l'arête SSest égal à 0,97.

On obtient le graphe probabiliste suivant :

1.b. On propose de construire un arbre pondéré.

Pour tout entier naturel n, on note :

P(Sn)=an

P(Sn+1)=an+1

P̄Sn

P(S1)=P(S0)×PS0

S Antilles-Guyane semptembre 2016

P(̄S1)=P(S0)×PS0

3. En utilisant la formule des probabilités totales ou l'arbre pondéré

P(̄Sn+1)=P(Sn)×PSn

0,030,93) et Xn=(an

4.a. Pour tout entier naturel n

AXn=(0,970,07

0,030,93)(an

0,03an+0,93bn)=(an+1

Xn=AnX0 Initialisation

Pour n=0, on convient que

A0=I=(10

01) donc A0X0=X0.

La propriété est vérifiée pour n=0.

Héréditité

Xn=AnX0 et on

Or Xn+1=AXn=A(AnX0)=(AAn)X0=Xn+1X0

Conclusion

5.c. En utilisant la calculatrice, on obtient : A30=

0,2870,33) et X30=A30X0=(0,687

0,313) Au bout de 30 jours, il y aura dans le parc informatique 68,7 % d'ordinateurs sains.

Partie B

1. On pose

D=(0,90

00,9) et B=(0,07

0,03)1.a. Pour tout entier naturel n

1.b. Pour tout entier naturel n

DXn+B=

00,9)(an

0,03)=(0,9an+0,07

0,9bn+0,03) Or an+1=0,97an+0,07bn et bn=1-an

Conclusion

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DXn+B=(an+1

Yn=Xn-10B2.a. Pour tout entier naturel n

Yn=Xn-10B=(an

0,03)=(an-0,7

0,9bn+0,03-0,3)=(0,9an-0,63

0,9bn-0,27)

DYn=(0,90

00,9)(an-0,7

0,9bn-0,9×0,3)=(0,9an-0,63