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Exercice 1

Pythagore, Thalès, cosinus

ABC est un triangle tel que BC = 6 cm ; AC = 7,5 cm et AB = 4,5 cm. E est le point de [AB] tel que AE = 1,2 cm. La perpendiculaire à (AB) en E coupe (AC) en F. a.Prouver que le triangle ABC est rectangle.

AC2 = 7,52 = 56,25

AB2  BC2 = 4,52  62 = 56,25

donc AC2 = AB2  BC2 donc le triangle ABC est rectangle en B d'après la réciproque du théorème de

Pythagore.

b.Calculer l'arrondi au degré de la mesure de l'angle BAC.

Dans BAC rectangle en B, cos

BAC = AB

AC = 4,5

7,5 donc BAC ≈ 53° à 1° près.

c.Démontrer que les droites (EF) et (BC) sont parallèles puis calculer EF et l'aire du triangle ABF.

Comme ABC est rectangle en B, (AB) ⊥ (BC) de plus (EF) ⊥ (AB)

or si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles.

Donc (EF) // (BC).

De plus E ∈ [AB] et F ∈ [AC] donc les triangles AEF et ABC ont leurs longueurs proportionnelles.

AE AB=AF AC=EF

BC Soit

1,2

4,5=AF

7,5=EF

6 donc EF=1,2×6

4,5=1,6cm.

Aire(ABF) = AB×EF

2 = 4,5×1,6

2 = 3,6 cm²

d.Calculer BF (arrondir au dixième).

EB = AB - AE = 4,5 cm - 1,2 cm = 3,3 cm

Dans le triangle EBF rectangle en E, on a, d'après le théorème de Pythagore : BF2 = EB2  EF2 = 3,32  1,62 = 13,45 cm² donc BF ≈ 3,7 cm.ACB E F

Exercice 2

Pythagore, Thalès, cosinus, milieux, droites remarquables

e.Tracer un demi-cercle () de centre O et de diamètre [AB] tel que AB = 6 cm.

Placer M sur () tel que BM = 3,6 cm.

Justifier la nature du triangle ABM puis calcule AM.

M est un point du cercle de diamètre [AB] donc ABM est rectangle en M.

D'après le théorème de Pythagore, on a : AB2 = AM2  BM2 donc AM2 = AB2 - BM2

AM2 = 62 - 3,62 = 23,04

donc AM = 23,04 = 4,8 cm. f.Calculer la valeur arrondie au degré de la mesure de l'angle ABM.

ABM est rectangle en M donc cos

ABM = BM

BA = 3,6

6 donc ABM ≈ 36° à 1° près.

g.Placer P sur [AB] tel que PA = 4,5 cm. La parallèle à (BM) passant par P coupe [AM] en R.

Calculer AR et RP.

Dans le triangle ABM, P ∈ [AB] et R ∈ [AM] tels que (PR) soit parallèle à (BM) donc les triangles ABM et

APR ont leurs longueurs proportionnelles.

AR AM=AP AB=RP

BM Soit AR

4,8=4,5

6=RP 3,6 donc

AR=4,8×4,5

6=3,6cm et RP=3,6×4,5

6=2,7cm.

h.On note I le milieu de [AM]. Que peut-on dire des droites (OI) et (PR) ? Justifier. Dans le triangle ABM, O est le milieu de [AB] et I le milieu de [AM]

or si dans un triangle une droite passe par les milieus de deux côtés alors elle est parallèle au troisième

côté donc (OI) // (BM).

De plus (BM) // (PR) or si deux droites sont parallèles à une même troisième alors elles sont parallèles

entre elles.

Donc (OI) // (PR)

i.(OM) et (BI) se coupent en G. Calculer MG.

[OM] est la médiane issue de l'angle droit du triangle ABM donc sa longueur est la moitié de la longueur

de l'hypoténuse [AB] donc OM = 3 cm.

(OM) et (BI) sont deux médianes du triangles ABM respectivement issue de M et de B.

Dans un triangle les trois médianes sont concourantes, leur point d'intersection est situé au deux tiers du

sommet du triangle.

Donc MG=2

3OM=2

3×3=2cm.

Exercice 3 (cf corrigé en classe)OABM

PR I G

Exercice 4

Extrait du brevet

Funiculaire : chemin de fer à traction par câble pour la desserte des voies à très forte pente.

La longueur AD de la voie du funiculaire est de 125 m. De quelle hauteur AH s'est-on élevé à l'arrivée ? Lorsque le funiculaire a parcouru 42 m, il s'est élevé d'une hauteur MP. Dans le triangle DAH rectangle en H, d'après le théorème de Pythagore, on a :

DA² = AH² + HD²

125² = AH² + 100²

AH² = 125² - 100²

AH² = 15 625 - 10 000

AH² = 5 625

AH = 5625= 75

On s'est donc élevé de 75m.

Faire un dessin à l'échelle 1/1 000.

A l'échelle 1/1 000, on doit diviser les longueurs par 1 000. Les m dans la réalité deviennent donc des mm

sur le schéma.

Il faut alors que :

AH = 75mm = 7,5cm ; DH = 100mm = 10cm

DA = 125mm = 12,5 cm ; DM = 42mm = 4,2cm

Que peut-on dire des droites (MP) et (AH) ? Justifier la réponse.

Comme (MP) et (AH) sont perpendiculaires à la même droite (DH), alors (MP) et (AH) sont parallèles.

Calculer MP.

Dans le triangle DAH, les points M et P appartiennent respectivement à [DA] et à [DH]. De plus (MP) et

(AH) sont parallèles, donc d'après la proportionnalité des longueurs dans un triangle, on a :

DP DH=DM DA=MP

AH d'où

100=42

125=MP

75
Donc MP = (75×42) : 125 = 25,2m. (départ) D A (arrivée) 100 m
42 mM
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