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1

Chapter 1

Syst`emes de coordonn´ees

1.1 Rep`ere cart´esien

Un rep`ere cart´esien est d´efini par un point origineOet trois axes (Ox,Oy,Oz) perpendiculaires

entre eux. Les vecteurs unitaires port´es par les axes sont: ?ex,?ey,?ez. (voir figure 1.1a)) M"O z x y Mez ey ex r M"O z M ez eyex A( )M a)b) y x

Figure 1.1:

On doit bien noter la disposition relative des directions (Ox,Oy,Oz). Telles qu"elles sont

plac´ees, elles d´efinissent un tri`edre direct. Dans un teltri`edre, un bonhomme transperc´e des pieds

`a la tˆete parOy, regardant la directionOz, a la directionOx`a sa gauche. On peut noter aussi que

Ox,Oy,etOzsont respectivement orient´es selon les directions du pouce, de l"index et du majeur

de la main droite. Un pointMde l"espace est rep´er´e par les trois composantes du vecteur-→r

joignantO`aM(-→r=--→OM) (voir fig. 1.1a) : r(x,y,z) =x?ex+y?ey+z?ez M ?est la projection deMdans le plan (x0y). Les composantesxetyde-→rsont les coordonn´ees du pointM?dans ce plan. La composantezest obtenue en tra¸cant la parall`ele `aOM?passant par M. On dira indistinctement qu"un objet se trouve au pointMou en-→r.

1.1.1 Rep´erage d"un vecteur en coordonn´ees cylindriques

Quand il s"agit de rep´ererun vecteur

-→A(M) dont le point d"application est situ´e au pointM(x,y,z),

ou-→r(x,y,z), on peut d´ecrire ce vecteur avec le mˆeme base de vecteurs unitaires?ex,?ey,?ez(voir

fig.1.1b)). Nous appelons donc ?ex,?ey,?ez, un r´ep`ere orthonorm´eglobalparce qu"on peut l"utiliser `a d´ecrire un vecteur ayant n"importe lequel point d"application.

1.2. COORDONN´EES CYLINDRIQUES2

1.2 Coordonn´ees cylindriques

1.2.1 Rep´erage d"un point en coordonn´ees cylindriques

En coordonn´ees cylindriques, un pointMde l"espace est rep´er´e comme un point de cylindre (droit,

`a base circulaire) dont l"axeOzest g´en´eralement confondu avec l"axeOzdu rep`ere cart´esien.

Le pointM(ou-→r) est rep´er´e par

•le rayonρdu cylindre sur lequel il s"appuie •zsa cote par rapport au plan de r´ef´erencexOy •φl"angle (Ox,OM?) o`uM?est la projection deMsur le planxOy.

La notation

-→r(ρ,φ,z) vient se substituer `a-→r(x,y,z) du rep`ere cart´esien. Vous pouvez facile-

ment v´erifier que, pour un point donn´e, les composantes cart´esiennes et cylindriques sont li´ees par

x=ρcosφ y=ρsinφ z=z M" ?O z x y M e? ez e?

Figure 1.2:

1.2.2 Rep´erage d"un vecteur en coordonn´ees cylindriques

Nous nous posons la question de rep´erer un vecteur dont le point d"application est situ´e au point

M(ρ,φ,z), ou-→r(ρ,φ,z). Pour cela nous attachons `aMun rep`ere orthonorm´e local (?eρ,?eφ,?ez).

Nous l"appelonslocalparce qu"il n"est pas le mˆeme pour tous les pointsMde l"espace. Ce rep`ere local est fait de 3 vecteurs unitaires de base orthogonaux ( ?eρ,?eφ,?ez) : ?eρ(ou?uρou?ρ) est un vecteur parall`ele `a---→OM?. ?eφ(ou?uφou?φ) est parall`ele au vecteur tangent enM?au cercle de rayonOM?contenu dans le planxOy ?ez(ou?uzou?z) est parall`ele `a l"axeOz Dans ce rep`ere, le vecteur champ ´electrique a 3 composantes et s"´ecrit E(M) =Eρ?eρ+Eφ?eφ+Ez?ezou-→E(M) =(( E E E z))

1.2. COORDONN´EES CYLINDRIQUES3

Au pointM, la relation entre les vecteurs unitaires (?eρ,?eφ,?ez) et les vecteurs unitaires cart´esiennes

?ex,?ey,?ez) s"´ecrivent : eρ= cosφ?ex+ sinφ?ey eφ=-sinφ?ex+ cosφ?ey ez=?ez(1.1) On peut voir cette relation comme une relation matricielle (tensorielle) (?eρ eφ ez)) cosφsinφ0 -sinφcosφ0

0 0 1))

(?ex ey ez)) =T((?ex ey ez)) Les relation inverses sont obtenues en prenant l"inverse dela matriceT. Puisque les deux bases sont orthonorm´ees, on aT-1=Tto`uTtest la transpose de la matriceT. On obtient de cette mani`ere les vecteurs unitaires ( ?ex,?ey,?ez) en fonction des (?eρ,?eφ,?ez) : (?ex ey ez)) cosφ-sinφ0 sinφcosφ0

0 0 1))

(?eρ eφ ez)) c"est-`a-dire. ex= cosφ?eρ-sinφ?eφ ey= sinφ?eρ+ cosφ?eφ ez=?ez On peut ´egalement v´erifier ces relations avec de la g´eom´etrie.

1.2.3 Position et d´eplacement (diff´erentielle) en coordonn´ees cylindriques

On se rappelle qu"en coordonn´ees cart´esiennes, le vecteur position s"´ecrit

OM=x?ex+y?ey+z?ez

et la diff´erentielle de cette position s"´ecrit d

OM≡∂--→OM

En coordonn´ees cylindriques par contre, on ´ecrit

OM=ρ?eρ+z?ez

et la diff´erentielle s"exprime : d

OM=∂--→OM

Si l"on veut exprimerd--→OMen coordonn´ees cylindriques, il faut tenir compte du fait que le vecteur

unitaire local ?eρd´epend de la coordonn´eeφ(voir eq.(1.1)) : OM OM

∂φ=ρ∂?eρ∂φ=ρ∂∂φ(cosφ?ex+ sinφ?ey) =ρ(-sinφ?ex+ cosφ?ey) =ρ?eφ

Un d´eplacement en coordonn´ees cylindriques s"exprime donc

1.3. COORDONN´EES SPH´ERIQUES4

Cette formule est tr`es utile afin d"en d´eduire des volumes et des surfaces ´el´ementaires. Par exemple,

un ´el´ement de volume ´el´ementaire en coordonn´ees cylindriques s"exprime dV= (dρ)(ρdφ)(dz) =ρdρdφdz(1.3) Exemple :On peut utiliser ce r´esultat `a d´eriver la formule pour un cylindre de rayonRet de coteL:

Volume

cylindreR,L=??? cylindre dV=? R 0 dρ? 2π 0

ρdφ?

L 0 dz=L? R 0

ρdρ?

2π 0 dφ = 2πL? R 0

ρdρ=πR2L

1.2.4 Gradient en coordonn´ees cylindriques

La diff´erentielle en coordonn´ees cylindriques d"un champscalaire Φ s"exprime : dΦ =∂Φ Le gradient en coordonn´ees cylindriques est d´efinie telleque : dΦ =---→gradΦ·d--→OM(1.5) Une comparaison entre (1.2), (1.4) et (1.5) montre que l"expression du gradient en coordonn´ees cylindriques s"´ecrit : gradΦ =∂Φ Exemple : Lorsque le potentiel ´electriqueV(M) est exprim´e en coordonn´ees cylindriques

(ρ,θ,z), les composantes du champ ´electrique dans le rep`ere cylindrique attach´e au pointMsont

donn´ees par:-→E(ρ,φ,z) =----→gradV(ρ,φ,z)

E=Eρ?eρ+Eφ?eφ+Ez?ezE

ρ=-∂V

E

φ=-1

ρ∂V∂ρ

E z=-∂V ∂z

Le potentiel cr´e´e par une distribution lin´eique de charge avec une densit´e par unit´e de longueur

λest donn´e parV(ρ) =-λ

2π?0ln(ρ) +Cte. On obtient imm´ediatement le champ ´electrique par

E(ρ) =----→gradV(ρ) =λ

2π?0ρ?eρ

1.3 Coordonn´ees sph´eriques

1.3.1 Rep´erage d"un point en coordonn´ees sph´eriques

En coordonn´ees sph´eriques, un pointM(r) est consid´er´e comme un point d"une sph`ere centr´ee sur

O. Le pointMest rep´er´e

•par le rayonrde la sph`ere `a laquelle il appartient •L"angleθentre la direction-→Ozet la direction--→OM.θ= (-→Oz,--→OM)

•l"angleφentre la direction-→Oxet la direction---→OM?o`uM?est la projection deMdans le

planxOy.:φ= (-→Ox,---→OM?)

1.3. COORDONN´EES SPH´ERIQUES5

M" ?O z x y r M e ere? M""

Figure 1.3:Coordonn´ees sph´eriques

Un pointM(r) ´etant donn´e, on trouve que ses coordonn´ees cart´esiennes s"´ecrivent en fonction

des coordonn´ees sph´eriques; ainsi: x=rsinθcosφ y=rsinθsinφ z=rcosθ

En g´eographie, o`u on est amen´e `a rep´erer un point sur la sph`ere terrestre, l"angleθindiquerait

la latitude par rapport au pˆole nord et l"angleφ, la longitude est par rapport au m´eridien de

r´ef´erence.

1.3.2 Rep´erage d"un vecteur en coordonn´ees sph´eriques

En coordonn´ees sph´eriques, un vecteur-→E(M) (ou simplement-→E(-→r)) attach´e au pointM(r) est

rep´er´e par trois composantes (Er,Eθ,Eφ) dans un rep`ere orthonorm´elocal(?er,?eθ,?eφ) :

E(M) =Er?er+Eθ?eθ+Eφ?eφ

avec ?er(ou?urou?r) est un vecteur parall`ele `a--→OM. ?eθ(ou?uθou?θ) est parall`ele au vecteur tangent enMau cercle de rayonrd´ecrit dans le plan qui contient `a la fois les directions-→Oz,--→OMetOM?. ?eφ(ou?uφou?φ) est tangent enMau cercle de centreM??et de rayonM??M=OM?, contenu dans le plan perpendiculaire `a-→Oz. Au pointM, la relation entre les vecteurs unitaires (?er,?eθ,?eφ) et les vecteurs unitaires cart´esiennes ( ?ex,?ey,?ez) s"´ecrivent : er= sinθcosφ?ex+ sinθsinφ?ey+ cosθ?ez eθ= cosθcosφ?ex+ cosθsinφ?ey-sinθ?ez eφ=-sinφ?ex+ cosφ?ey(1.7) On peut voir cette relation comme une relation matricielle (tensorielle) (?er eθ eφ)) sinθcosφsinθsinφcosθ cosθcosφcosθsinφ-sinθ -sinφcosφ0)) (?ex ey ez)) =T((?ex ey ez))

1.3. COORDONN´EES SPH´ERIQUES6

ainsi que les relation inverses (?ex ey ez)) =T-1((?er eθ eφ)) =Tt((?er eθ eφ)) sinθcosφcosθcosφ-sinφ sinθsinφcosθsinφcosφ cosθ-sinθ0)) (?er eθ eφ)) o`u nous avons encore utilis´e le fait que les deux bases sontorthonom´es donne implique T -1=Tt. Exemple de coordonn´ees sph´eriques :Consid´erons le potentiel et le champ ´electriques

cr´e´espar une charge ponctuelleqplac´ee `a l"origineO. En coordonn´eessph´eriques, ceux-ci s"expriment

enti`erement en fonction du vecteur radial-→ret du coordonn´ee radialr=??-→r??:

V(r) =q

4π?01r-→E(-→r) =q4π?0?

err2=q4π?0-→ rr3 ce qui est plus simple et "naturel" que les expressions en coordonn´ees cart´esiennes :

V(x,y,z) =q

4π?01?x2+y2+z2-→E(x,y,z) =q4π?0x

?ex+y?ey+z?ez(x2+y2+z2)3/2

1.3.3 Position et d´eplacement (diff´erentielle) en coordonn´ees sph´eriques

En coordonn´ees sph´eriques, le vecteur position s"´ecritsimplement

OM=r?er

La diff´erentielle,d--→OM, en coordonn´ees sph´eriques s"´exprime: d

OM=∂--→OM

Afin d"exprimerd--→OMen coordonn´eessph´eriques, il faut tenir compte du fait que le vecteur unitaire

local ?erd´epend des coordonn´eesθ, etφ(mais pas surr) : OM ∂r=?er+r∂?er∂r=?er OM ∂θ=r∂?er∂θ=r?eθ OM Un d´eplacement en coordonn´ees sph´eriques s"exprime donc

Cette formule est tr`es utile afin d"en d´eduire des volumes et des surfaces ´el´ementaires. Par exemple,

un ´el´ement de volume ´el´ementaire en coordonn´ees cylindriques est dV= (dr)(rdθ)(rsinθdφ) =r2drsinθdθdφ(1.9) Exemple :On peut utliser ce r´esultat `a d´eriver la formule pour le volume d"une sph`ere de rayonR:

Volume

sph`ere de rayonR=??? sph`ere dV=? R 0 dr? 0 dθ? 2π 0 r2sinθdφ=? R 0 r2dr? 0 sinθdθ? 2π 0 dφ = 2π? R 0 r2dr? 1 -1d(cosθ) = 4π? R 0 r2dr=4π 3R3

1.3. COORDONN´EES SPH´ERIQUES7

1.3.4 Gradient en coordonn´ees sph´eriques

La diff´erentielle en coordonn´ees sph´eriques s"´ecrit : dΦ =∂Φ

Une comparaison entre cette ´equation et l"´eq.(1.8) montre que l"expression du gradient en coor-

donn´ees sph´eriques est donn´ee par : gradΦ =?er∂Φ Exemple :Pour une charge ponctuelle situ´ee `a l"origine par exemple, si on se rappelle que

son potentiel ´electrique, s"´ecritV(r) =q/(4π?0r), on obtient toute suite son champ ´electrique en

coordonn´ees sph´eriques :

E(-→r) =----→gradV(r) =-?er∂V

∂r=-q4π?0?er∂∂r1r q

4π?0?

err2 alors que le calcul est plus on´ereux en coordonn´ees cart´esiennes

E(x,y,z) =----→gradV(x,y,z) =-q

4π?0?

q

4π?0?

q

4π?0x

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