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Equations logarithmiques et exponentielleslogax et ax sont des fonctions injectives:(1)x=yóax=ay(2)x=yólogax=logayavecx,y>0La résolution d'une équation simple revient donc à réécrire celle-ci sous la forme ax=ay ou logax=logay.Pour ce faire, il est souvent utile d'utiliser les propriétés des fonctions logarithmesRésoudre dans ! l'équation 31-x-19=0On réécrit l'équation sous la forme ax=ay, la base étant ici égale à 3 31-x=3-2en utilisant (1), on a alors1-x=-2et doncx=3Résoudre dans ! l'équation log2x+1=0On

réécrit l'équation sous la forme logax=logay, la base étant ici égale à 2 log2x=-1 sachant que logaax=x, log2x=log22-1 en utilisant (1), on a alors x=12Résoudre dans ! l'équation log3x-2log3Hx-2L=1Réécrivons l'équation sous la forme suivante log3x=2log3Hx-2L+1 Transformons chaque terme en un logarithme, sachant que log33=1 log3x=2log3Hx-2L+log33 En utilisant la proporiété logaxn=nlogax, on obtient log3x=log3Hx-2L2+log33 Ramenons-nous à la forme logax=logay en utilisant la propriété logax+logay=logaHx.yL log3x=log3I3Hx-2L2Men utilisant (1), on a alorsx=3Hx-2L2x=3Ix2-4x+4M3x2-13x+12

=0etx=3 ou x=43Les conditions d'existence sont !x>0x>2 donc il faut que x>2La solution finale est donc x=3

Réécrivons l'équation sous la forme suivante log3x=2log3Hx-2L+1 Transformons chaque terme en un logarithme, sachant que log33=1 log3x=2log3Hx-2L+log33 En utilisant la proporiété logaxn=nlogax, on obtient log3x=log3Hx-2L2+log33 Ramenons-nous à la forme logax=logay en utilisant la propriété logax+logay=logaHx.yL log3x=log3I3Hx-2L2Men utilisant (1), on a alorsx=3Hx-2L2x=3Ix2-4x+4M3x2-13x+12=0etx=3 ou x=43Les conditions d'existence sont !x>0x>2 donc il faut que x>2La solution finale est donc x=3 Dans le cas d'une équation plus compliquée, on peut parfois se ramener à une équation algébrique en posant y=ax ou y=logaxRésoudre dans ! l'équation 22x+2=17µ2x-4On réécrit l'équation sous la forme d'une équation du second degré4.22x-17.2x+4=0on pose alors y=2xet l'équation devient4y2-17y+4=0 cette équation a deux solutions: y=4ou y=14 c'est-à-dire2x=4ou 2x=142x=22 ou 2x=2-2etx=2 ou x=-2Résoudre dans ! l'équation ln2x-lnx=6On réécrit l'équation sous la forme d'une équation du second degréln2x-lnx-6=0on pose alors y=lnx et l'équation devienty2-y-6=0 cette équation a deux solutions: y=-2 ou y=3 c'est-à-direlnx=-2 ou lnx=3sachant que lnx=yóx=‰y, on ax=‰-2=1e2 ou x=‰32 Equations logarithmiques.nb

On réécrit l'équation sous la forme d'une équation du second degréln2x-lnx-6=0on pose alors y=lnx et l'équation devienty2-y-6=0 cette équation a deux solutions: y=-2 ou y=3 c'est-à-direlnx=-2 ou lnx=3sachant que lnx=yóx=‰y, on ax=‰-2=1e2 ou x=‰3Résoudre dans ! l'équation ‰x-4‰x+3=0On réécrit l'équation sous la forme d'une équation du second degré‰2x+3‰x-4=0on pose alors y=‰x et l'équation devienty2+3y-4=0 cette équation a deux solutions: y=1 ou y=-4 c'est-à-dire‰x=1ou ‰x=-4la 1ère égalité donne x=0 et la seconde est clairement impossible, l'image de la fonction ‰x étant !0+, elle ne peut prendre des valeurs négative.nous avons donc une seule solutionx=0Résoudre dans ! l'équation logHx+1L-logx=logHx-2LL'argument d'une fonction logarithme devant être strictement positif, nous avons comme CE:x+1>0H1Lx>0H2Lx-2>0H3L ou encorex>-1H1Lx>0H2Lx>2H3LC'est-à-dire qu'il faut que x>2.On réécrit l'équation sous la forme suivantelogHx+1L=logx+logHx-2L Ramenons-nous à la forme logax=logay en utilisant la propriété logax+logay=logaHx.yL logHx+1L=logIx2-2xM en utilisant l'injectivité, on a alors x+1=x2-2x x2-3x-1=0cette équation a deux solutions:x=3-132>-0.302776 ou x=3+132>3.30278Vu la C.E. x>2, la seule solution de l'équation est x=3+132>3.30278Equations logarithmiques.nb 3

L'argument d'une fonction logarithme devant être strictement positif, nous avons comme CE:x+1>0H1Lx>0H2Lx-2>0H3L ou encorex>-1H1Lx>0H2Lx>2H3LC'est-à-dire qu'il faut que x>2.On réécrit l'équation sous la forme suivantelogHx+1L=logx+logHx-2L Ramenons-nous à la forme logax=logay en utilisant la propriété logax+logay=logaHx.yL logHx+1L=logIx2-2xM en utilisant l'injectivité, on a alors x+1=x2-2x x2-3x-1=0cette équation a deux solutions:x=3-132>-0.302776 ou x=3+132>3.30278Vu la C.E. x>2, la seule solution de l'équation est x=3+132>3.302784 Equations logarithmiques.nb

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