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Espaceetgéométriecycle2etcycle3
BernadetteNGONO
1 • Marie-LisePeltier,LaboratoireA.RevuzUniversitéParis7; • JoëlBriand,DAESTUniversitéBordeaux2;• BernadetteNgono,LaboratoireCIRNEF,UniversitédeRouen;
• DanielleVergnes,LaboratoireA.RevuzUniversitéParis;
• MarcSampo,Professeurdesécoles. 2Cadrethéoriquedel'intervention
• Approchesocio-constructivistedel'apprentissage(Piaget,Vygotsky,Bruner...) • Approchedidactiqueentreenseignementet 3 4Obstacles-difficultés
5Mafalda-Quino)
• Ellespermettentd'illustrerdeslieuxdecertainesdifficultéspourlesélèves • Etd'envisagerdesactivitésspécifiquesdèsle cycle2 • Enliaisonaveclesprogrammesetlesocle commundesconnaissances. 6EvaluationsnationalesCE2
7Desdifficultés
• Résultats51,3% gauche»...) 8Exemple2.CE2-2005a.89,81%b.49,18%
Difficultés:
- avoirunereprésentationde cequ'estunrectangle,etle"voir »globalementpar sessommetsdanslespointscandidats. - lerectangleestpenché,positioninhabituellequiobligeàeff ectuerune rotationmentale,enangledroit(dontil fautaussiavoirune bonnereprésentation.)
• a.Relieenrougetroispointsalignés. • b.Quatrepointspermettentde 9Exemple3Leserreursrepérées:
- Erreurdedénombrementde carreauxpourconst ruirelecarrémaisrespectdela contrainte"à l'intérieurde» - Nonpriseencomptedelacontrainte"lestroisdoiventêtreàl'intérieurd'unseulcarré »etconstructionde3carrésouautrespolygonesrenfermantcesfigures,
- Nonpriseencomptedesnoeuds duquadrillage,etc. 10Lequadrillage
• Unautreob stacleestcel uidelacompréhension del'expression"surce quadrillage».Selon lescas,àl'école,dessinersurquadrillage peutsignifierdifférenteschoses:
quadrillage; duquadrillage. 11Exemple4-Aucycle3etaucollège
BC=10cm,AB=8cm.
ACDEestuncarréavec
CD=6cm.Quelleestlelongueurdu
segment[AC]? réponses10ans12ans14ans
Correcte-utilisationdepropriétés
36,4%71,8%66,9%
Correcte-utilisationd'unthéorème
-----------------18,5%Fausse-mesureàlarègle
8,4%2,1%-------
Fausse-opérationsarithmétiques
6%4,8%2,4%
12Analyse
• Pourréussir,lesélèvesdoivent: - (a)identifier,danslafigure - (b)"voir»quelesegment - (c)serappeleretappliquerla (Gagatsis,INRP,2010) 13Trouvelalongueurdu
segment[EB.]Expliquetaréponse réponses10ans12ans14ans
Correcte-utilisationdepropriétés
15,1%33,3%51,9%
Fausse-perceptionvisuelle(1)
6,6%16,5%9,3%
Fausse-perceptionvisuelle(2)
8,7%11,1%9%
Fausse-algorithmes
10,2%5,4%0,9%(Gagatsis,INRP,2010)
14Ex5-LessituationsdecommunicationCM1
15Desquestionsd'élèves
• "Commentfairepourdireà"L»quelecarrén'estpasdroit?» • "Commentças'appelleça(enpointantle diamètre)?Jenem'enrappelleplus». • "Jen'arrivepasàdécrirecetteéquerre» 16 (Extraitsdetravauxd'unestagiaireM2)L'élèveJdécrit,Lconstruit
17CdécritetFconstruit
18PdécritetMconstruit
19 20Conclusionprovisoire
• Lesconnaissan cesquedoiventmobiliserlesélèves s'effectuentdansl'espacedelafeuilledepapier.
• Or,ellessupposentdescompétencesspatialesnonprises encompteparlesprogrammesavant2002. • Depuislesprogrammes 2002,l'acce ntestmissurlanécessitédetravaillerlesc oncepts spatiauxetgéométriquesenprenantencomptelesrésultatsdelarecherche.
• Parailleur sdesélèvesà lafindel'écolepri mair econtinuentàconcevoirlagéométriecommeportantsurdesobjetsmaté rielsoudesimpl esdessinsplutôtquecommesurdesobjetsthéoriquesavecdespropriétésspécifiques.(M.-H.Salin)
2122
Extraitsdesprogrammes
Cycle2Cycle3
23• Lemicro-espaceou"espacedesinteractionsliéesàlamanipulationdespetitsobjets» • Leméso-espaceou"espacedesdéplacementsdu • Lemacro-espaceou"espaceaccessibleuniquement 24
• leurgenèses'effectuedifféremment.• cesontlesproblèmesspatiauxquiontdonnénaissanceàlagéométrie.• Lesconnaissancesg éométriquessontdesoutilspourla résolutionde sproblème sspatiaux.
25Géométriesnonaxiomatiques
- Selonlanaturedesobjets:objetsphysiques,dessins,figures- Selonlesmodesdevalidation:perceptionglobale,instrumentée,ouraisonnement- Selonlelangageutilisé(Houdement,Kuzniak1999)
26Géométriesaxiomatiques
27Deuxaspectsàprendreencompte
• Deuxaspectsdoiventêtretravaillésprogressivement. 2829
- Lerepéragedansl'espace- Lesrelationsgéométriques
Lerepéragedansl'espace
30DèsleCP
• Aiderlesélèvesàlamaitrisedel'espaceàl'aidedejeux("Jacquesadit»,"oùestmaplace?»...)
• Passerdel'espacevécuàl'espacereprésenté 31(OpérationMaths,Hatier2019) 32
Phase3-Passerdel'espaceauplan
33Autressituations
• Positionsrelatives(devant,derrière,àsadroite,àsagauche,sur,sous,entre...) • quadrillages:coderdesdéplacements(jeu desobjetscachés) 3435
Jeudesobjetscachésdansunquadrillage
Phase2
3637
Pourdécriredespointsdevue
38Reproduireenrepérantlesnoeuds
39Importancedulangage
4041
42
Encoreimportantaucycle3
GestiondedonnéesProportionnalité
43Lesrelationsgéométriques
44• Alignementdepoints
• Angledroit,perpendicularité• Egalitédelongueurs• Milieu• Parallélisme• Axedesymétried'unefigure
4546
Intérêtsdutracéàmainlevée
• Lestracésàm ainlevéeparticip ent àlaconstructiond'imagesmentalesnécessaires pourpouvoirr econnaîtreetide ntifierdiversespropriétés(alignements, anglesdroits,égalitésdelongueurs,etc.).
• Ilsconstituentsouventunepremièreétape avantlestracésàl'aidederègles. 47Apprendreàutiliserlarègle
4849
Uneprogression
• Cesrelationsgéométriquesetlesconceptsfondamentauxsontétudiés:-D'aborddansl'espaceenvironnant(méso-espace)àpartirdelaperception,aucoursdejeux.- Puisdansl'espaceplandelafeuilledepapier(micro-espace)
- Enfin,ilssontutilisésdansl'analyse,lareproductionoula pointdevuesurcesobjets. 50DèsleCE1
• L'alignementdepointsestunepropriétégéométriquefondamentale,dontlamaîtriseconditionnelacompréhensiondesconceptsdedroite,desegment,demilieuetcontribueàl'analysepertinentedesfiguresgéométriques
51Lejeude"puissance4»
(OpérationMathsCE1-Hatier2017) 5253
Notiondedistance-CE2premièreapproche
5455
Milieud'unsegment(CE2)
• Etape1:jeudubéretdanslacour. 56Stratégiespossibles
• 1.Pourtracerlesegment: leuralignement; trace;-etc.• 2.Pourrechercherlemilieu:-mesurage;-pliageendeuxdelaficelle;-utilisationdespiedsmisboutàbout;-recherchevisuelleàl'oeil,puisapproximationssuccessives;-etc.
57Micro-espace:lemilieuenCE2
58L'angledroit,laperpendicularité
59DèsleCE1
• AuCE1,lesélèvesapprennentàconstruireunangledroitpardoublepliageetàutilisercetteéquerreenpapierouuneéquerreducommercepourrepérerdesanglesdroitsd'unefigure.
6061
Apprendreàutiliseruneéquerre(CE1)
62Découverteducodagedel'angledroit(CE2)
6364
Desconceptionserronées
• "Deuxlignesquisecoupentformentunangledroit.» • "Deuxlignesdontl'uneestsoitverticaleou soithorizontaleformentunangledroit.» • Uneligneverticaleestune"perpendiculaire»• Desdéfinitionslacunairesduesaussiàla 65Nécessitédeséquences
• Pourmettreenévidencelesconceptionsdesélèves; • Leurpermettrederemettreencauseleurs conceptionserronées; • Leurpermettrededévelopperunecertaine expertiseenreconnaissancedel'angledroit, • Enrencontrantunediversitéde configurations. 66Unediversitédeconfigurations
Prendreencomptedesvariables:- Figuresouvertesoufermées- Anglesisolésouàisoler- Orientationdel'angle.Lesupportpeutêtreuniouquadrillé.
67• auconceptd'angledroit; • auconceptdedistance:- distanced'unpointàunedroite• auconceptdeparallélisme(droites • Auconceptdesymétrieaxiale.• théorèmedePythagoredansuntriangle rectangle(collège) 68
69
Droitesperpendiculaires
7071
Maisaussi
• L'ensembledespointssitués àunemêm edistanced'unedroite(d)estdéfinipardeuxdroitesparallèlesà(d) situéesdepartetd'autrede(d).(implicitedanslesactivités).
(CM) 72Conception1
73• Définitionlacunaire: ettraitdessiné; parallèles» 74
Exempled'activitédanslacour(CM1)
• Matériel-pargroupe: - Unecorde;30jetons- Unerègleetuneéquerregrandformat;unmètreruban • Dessinersurlesoldelacourunelignedroited(entre5et 10m). • Lesélèvesdoiventplacerleplusvitepossible30jetons 75(OpérationMaths-CM1-Hatier2016) 76
77
Lasymétrieaxiale
78Lasymétrieaxiale
7980
81
Compléterunefigureparsymétrie
82Uneprogression
8384
Aucycle2:Deuxvisionsd'unefigure
• Lesassemblagesétudiéspeuventêtreconstitués: - Depiècessuperposées,lareconnaissancedes - Lavisionparjuxtapositions'avèreunobstacleau cycle3. 85Illustration
Visionpuzzle(parjuxtaposition)
Visionparsuperposition
VuecommeVuecomme
86AssemblagedesurfacesenCP
• parjuxtaposition:dansunefigure,onpeutvoirautantdeformesquedecontoursfermés. • Parsuperposition:dans formeseffectivement reconnues. 87AssemblagesdesurfacesenCP
88Tracéàmainlevée
• DèsleCP • But:favoriserlaréflexiondel'élèvesurl'activitéavantutilisationdesinstruments • Exemple:"Reproduisce 89OpérationMathsCE1Hatier2017
90Reconnaîtreunefigure
9192
93
94
Lesjeuxdeportrait
• Situationdecommunication • Buts:- aiderlesélèvesàcomprendrequ'unefigure - favoriserlamiseenplaceetl'emploid'un 95Exemples
• "C'estuntriangle.Ilaunangledroit.C'estlafigure...» • "C'estunquadrilatère.Ilaquatreanglesdoits 96Lejeuxde"quiest-ce»
Matériel:uneplanchedefigures
97DèsleCE2
98Intérêtdujeude"quiest-ce?»
• Ilnécessite:-d'analyserlesfiguresafind'identifierlespropriétéséventuelles-deposerdesquestionsrelativesàcespropriétés-d'écouterlesquestionsdesautres-d'écouterlesréponsesauxquestions-deserappelerlesquestionsposéesetlesréponsesprécédentes-decombinercesinformationsentreellespourréduirelenombredepossibilités-depenseràunenouvellequestion.
• Cetteactivitéestdoncaprioricomplexe:analyse 99Avecdessolides
100101
Distinction
• Restaurationdefigure:ondisposed'unmodèle,c'estreproduireunefiguresuperposableàunefiguredonnéeouàuneéchelledifférente;ondisposedéjàd'unepartiedelafigure.
• Reproduction:ondisposed'unmodèle,on 102Lesupportpapierquadrillé
• Ilprésentel'avantagededévelopperchezlesélèvesdescompétencesenrepéragedecasesoudenoeuds,etl'inconvénientdeprivilégierlesdirectionshorizontalesetverticales,
• cequirésoutàlaplacedel'élèveleproblèmedes • Ilestprivilégiéjusqu'enCE2.EnCM,ilestune aideàl'analyse. 103CE1 104
Analyserunefigure:2emevoie
• Lespropriétésgéométriquesconnuesprennentlepassurlesformesvisuellementreconnuespouranalyserunefigure.
• Lareprésentationvisuelledevient 1053emevoie
• Celledesinstrumentstrèsvariésquipeuventêtreutiliséspourreproduireoupourconstruireunefigure:l'analysedelafiguredépenddesprocéduresdereproductionoudeconstructionquel'instrumentutiliséimpose.
106DèsleCE1
107But surpapierunienutilisantlesinstruments. 108
• analyser:identifierlesprincipauxélémentsquicomposentlafigure,fairedeshypothèsessurleurspositions,puislescontrôleravecdesinstruments.
109AlignementsutilisablesCM2
110Pourquoi?
Difficulté:lesélèvesnepensentpasspontanémentàagirsurlafigurepourrepérerlesrelationsentreseséléments.Ilestnécessairedepasserpardesactivitésconsistantàretrouvercequiaétéeffacéetquiaserviàconstruirelafigure:-prolongerdessegments,- Relierdespoints,- tracerdesdiagonales,desmédianes,descercles,etc..- Envuederepérerdesalignements,desmilieux,desanglesdroits....
111CM1-OpérationMaths
• ABCDestuncarré.a.VérifiequelepointFestlemilieu b.Àvued'oeil,quelpointdela figureteparaitalignéavecAetF?Quelpointdelafigureteparait
alignéavecAetG? 112Décrireunefigure-suite
113Décriredespolygones-CE1
114Dictéesoralesdefigures
Ou 115Dictéedefigures
116Variables
• Onpeutexploiterdesvariablesliées: - àlatâchedel'élèveet- àlaformedeladescription. 117Latâchedel'élève
• Apartirdeladescription,l'élèvepeutavoirà: - construirelafigureàmainlevéeouaux instruments, - acheveruneconstruction. 118Laformedeladescription
• ladescriptiondesfigurespeutêtreglobale,oucorrespondreàunprogrammedeconstructiontraditionnel.
• Unedescriptionglobalepourraitêtre"mafigure • Unprogrammedeconstructionclassique 119Lamiseenoeuvre
• Afind'aiderlesélèvesàmémoriserlesétapes,ilestpossibledevarier: -lacomplexitédesmessages,- leurlongueur,- delesrépéter,detraiterpasàpasleseffetsdu programme. - Lafréquencedecesdictéesestunfacteur 120Lesdictéesoralesdefigures
• Objectifs: - apprendreàinterpréterunvocabulairespatial etgéométriqueadapté. - mémoriserlesinformations,anticipersur 121Ellesuppose:
- d'identifierlesinformationsàgérer,dediscernercellesqui - seredéfinirleproblèmeàrésoudre(lasituation,lebutàatteindre, lesmoyenspourl'atteindre)- Anticiperlesactionsàentreprendre- organisercesactionsdemanièrepertinenteUnecertitude:Lafamiliaritéavecunesituationfavorise
l'anticipation 122Construireunefigure-verslecycle3
123124
125
126
Cycle3
127Synthèse:desvariables
128Conclusion
129Deseffetschezlesélèves
• Lagéométrie,par:- lesproblèmesqu'ellepropose,- lematérieldemanipulationutilisé,- lespossibilitésd'auto-évaluation,permetauxélèvesdedévelopperdesstratégies
130Expériences,manipulation
• Lerôledel'expérienceetdelamanipulation,activitésindispensablespour: -aideràdévelopperdiversmodesde fondamentauxCesactivitéssontfondamentaleset
indispensables 131quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25