[PDF] Cours et Problèmes de Calcul Différentiel - Georges Comte

La matrice carrée n × n ci-dessus est appellée le Hessien de f en a relativement ` a la base B, d'inverse tP et une matrice diagonale Δ(a) telles que H(f) B Donato, Calcul différentiel pour la licence Cours, exercices et probl`emes résolus

Ce recueil d'exercices et examens résolus de mécanique des systèmes indéformables est issu de 3- Déterminer l'équation de l'axe central de [T2] et calculer le moment )P(M 2 о est une base principale d'inertie ⟹ la matrice d' inertie est diagonale : masse et inversement proportionnelle au carré de la distance qui

[PDF] Calcul Scientifique: Cours, exercices corrigés et - Ceremade

cherche des zéros ou le calcul d'intégrales de fonctions continues, la réso- lution de matrice carrée de dimension n+abs(m) dont la m-ème diagonale supé-

[PDF] Synthèse de cours exercices corrigés - ACCUEIL

simples, nous montrons comment réaliser des calculs économétriques avec un logiciel de type tableur, Excel, en Estimation par la méthode des moindres carrés ordinaires 29 qui n'est pas une matrice diagonale : e est donc autocorrélé

[PDF] Synthèse de cours exercices corrigés - Cours, examens et exercices

ment dans les cours de finance mais également des exercices portant sur des Dans ce cas, la formule de la variance est un carré parfait : le risque du Il s'agit d'un tableau carré symétrique reprenant les variances dans la diagonale et les

[PDF] Exercices Corrigés Matrices Exercice 1 – Considérons les matrices

Si elles ont un sens, calculer les matrices AB, BA, A2 , B2 et A + 2 Id2 Exercice 5 Les éléments de la diagonale de M étant non nuls, on peut conclure que M est inversible D'apr`es le cours, si une matrice carrée a un inverse `a droite, elle

[PDF] CALCUL DIFF´ERENTIEL ET ´EQUATIONS DIFF´ERENTIELLES

La matrice carrée n × n ci-dessus est appellée le Hessien de f en a relativement ` a la base B, d'inverse tP et une matrice diagonale ∆(a) telles que H(f)B Donato, Calcul différentiel pour la licence Cours, exercices et probl`emes résolus

[PDF] 80 Exercices corrig”s - webusersimj-prgfr

Corrigé cf l'exercice 1 du 14/11/1998 dans le paragraphe examens corrigés Exercice Pour le calcul d'une primitive de F(cos x,sinx) o`u F est une fraction Notons que pour f3, le carré de la norme L2 est majoré par diagonale, tPP = Id

[PDF] Module 2 : Lanalyse en composantes principales - Exercices

Module 2 : L'analyse en composantes principales - Exercices préparatifs On peut donc calculer les projections au sens des moindre carrés (parallèlement à Dans cette matrice R, on a sur la diagonale les variances des variables, or dans

[PDF] corrigé des TP de Fortran 90 (pdf) - Institut de Mathématiques de

1 Exercices de base Exercice 1 Exercice 2 calculer la somme des carrés des éléménts de A, la moyenne pour extraire la diagonale de A (matrice carrée)

[PDF] Cours et Problèmes de Calcul Différentiel - Georges Comte - CNRS

CALCUL DIFF´ERENTIEL

EQUATIONS DIFF´ERENTIELLES

LICENCEDEMATH´EMATIQUES ANN´EES 2000-2004

Georges COMTE

Laboratoire J. A. Dieudonn´e,

UMR CNRS 6621,

Universit´e de Nice-Sophia Antipolis,

28, avenue de Valrose,

06108 Nice Cedex 2,

e-mail : comte@unice.fr bureau : 821

I-CALCULDIFF´ERENTIEL

Introduction1

Chapitre 0- Rappels d"alg`ebre multilin´eaire4

0.1-Continuit´eetalg`ebre multilin´eaire4

0.2-Graphe d"une application6

Chapitre 1- Applications diff´erentiables 8

1.1-Insuffisance de la d´eriv´ee suivant un vecteur8

1.2-Diff´erentielle en un point et sur un ouvert10

1.3-D´eriv´ees partielles11

1.4-Diff´erentielles d"ordres sup´erieurs12

1.5-Exemples d"applications diff´erentiables13

Exercices du Chapitre 1 14

Corrig´e des exercices du Chapitre 1 15

Chapitre 2- Calculs sur les diff´erentielles 21

2.1-Th´eor`eme des applications compos´ees21

2.2-Structure d"espace vectoriel22

2.3-Applications `a valeurs dans un produit, matrice jacobienne23

2.4-Th´eor`eme de la moyenne24

2.5-Th´eor`emesC

k 28

Exercices du Chapitre 2 33

Corrig´e des exercices du Chapitre 2 35

Chapitre 3- Isomorphismes topologiques et diff´eomorphismes 45

3.1-Isomorphismes topologiquesd"espaces vectoriels norm´es45

3.2-

´Etude deIsom(E;E) au voisinage deId

E 46
3.3-

´Etude deIsom(E;F)47

3.4-Diff´eomorphismes48

3.5-Classe de diff´erentiabilit´e d"un diff´eomorphisme48

Exercices du Chapitre 3 49

Corrig´e des exercices du Chapitre 3 49

Chapitre 4- Th´eor`emes limites. Points critiques et extrema 52

4.1-Rappels sur la convergence uniforme52

4.2-Suites de fonctions diff´erentiables53

4.3-Formules de Taylor57

4.3.1-Formule de Taylor-Young57

4.3.2-Formule de Taylor avec reste int´egral58

4.4-Points critiques et extrema60

Exercices du Chapitre 4 64

Corrig´e des exercices du Chapitre 4 65

Chapitre 5- Fonctions implicites. Inversion locale 73

5.1-Diff´erentielles partielles73

5.2-Famille de contractions d´ependant uniform´ement d"un param`etre74

5.3-Le th´eor`eme de la fonction implicite76

5.4-La g´eom´etrie du th´eor`eme de la fonction implicite79

5.5-Th´eor`eme d"inversion locale et d"inversion globale85

5.6-La dimension finie: des preuves sans th´eor`eme du point fixe88

Exercices du Chapitre 5 89

Corrig´es des exercices du Chapitre 5 90

II -´EQUATIONS DIFF´ERENTIELLES

Chapitre 6-´Equations diff´erentielles ordinaires 96

6.1-D´efinitions g´en´erales. R´eduction au cas r´esolu du premier ordre96

6.2-Solutions maximales98

6.3-Interpr´etation g´eom´etrique. Champs de vecteurs99

6.4-Le probl`eme de Cauchy100

6.5-Th´eor`eme de Cauchy-Lipschitz : existence et unicit´elocalepourleprobl`eme de Cauchy

100

6.6-Th´eor`eme de Cauchy-Arzel`a : existence locale pour le probl`eme de Cauchy103

6.7-Solutions maximales et feuilletage deU103

6.8-Retour sur l"´equation (?)104

Exercices du Chapitre 6 105

Corrig´e des exercices du Chapitre 6 105

R´ef´erences108

III - SUJETS ET CORRIG´ES D"EXAMENS

Tests corrig´es109

Probl`eme : G´eom´etrie du graphe d"une application diff´erentiable 110

´Enonc´es ann´ee 2000-2001 111

´Enonc´es ann´ee 2001-2002 115

´Enonc´es ann´ee 2002-2003 119

´Enonc´es ann´ee 2003-2004 127

Corrig´es ann´ee 2000-2001 134

Corrig´es ann´ee 2001-2002 140

Corrig´es ann´ee 2002-2003 145

Corrig´es ann´ee 2003-2004 153

I- Calcul Diff´erentiel

Introduction

Nous commen¸cons par des rappels sur la notion de d´eriv´ee, et tout d"abord dans le cas le plus simple des

fonctions `a variables et valeurs r´eelles (le cas des fonctions `a variables et valeurs complexes est plus sp´ecifiquement

trait´e dans le cours de variable complexe.)

D´efinition (fonction r´eelle d´erivable).SoitIun intervalle ouvert deRetf:I→Rune fonction r´eelle.

On dit quefestd´erivable ena?Issi le rapportf(x)-f(a) x-a, admet une limite lorsquextend versadans I\{a}. Cette limite, comme toute limite de fonction si elle existe est alors unique; on la notef (a). Il s"agit d"un nombre r´eel. On dit quef (a)estla d´eriv´ee defena.Sifest d´erivable en tout pointadeI,onen d´eduit une fonctionI?a?→f (a)?R,appel´eela fonction d´eriv´ee def. Remarquons que dire quefest d´erivable ena´equivaut `a dire qu"il existe un r´eelf (a)(quis"av`ere etre unique en tant que limite), tel que la fonctionI\{a}?x?→1 (x-a)[f(x)-f(a)-f (a)(x-a)]?Rtende vers

0lorsquextend versa. Ceci revient encore `a dire qu"il existe un r´eelf

(a)(quis"av`ere etre unique) et une fonction? a :I→Rqui tend vers 0 lorsquextend versatels que : pour toutx?I:f(x)-f(a)-f (a)(x-a)=(x-a)? a (x)(?).

Dans cette introduction, on se concentre sur l"aspectg´eom´etriquede la d´efinition de la d´erivabilit´e: le

graphe de l"applicationI?x?→f(a)+f (a)(x-a) est la partie de la droite Δ deR 2 (au-dessus des abscisses x?I)depentef

(a) et passant par (a,f(a)). Ce que nous apprend l"´egalit´e(?)surlag´eom´etrie du graphe

Γdefau voisinage de (a,f(a)) est que la distanceδ x repr´esent´ee sur la figure ci-dessous est de l"ordre de |(x-a)? a

(x)|, et donc tend vers 0 plus vite que|x-a|(). Autrement dit le graphe Γ vient "s"´ecraser" sur la

droite Δ au point (a,f(a)). f(x) f(a)+f"(a)(x-a) f(a)δx=|(x-a)εa (x)| ax |x-a| ()Soientu 1 etu 2 deux fonctions d´efinies sur un intervalleI,a?Iet supposons queu 2 ne s"annule pas surI\{a}et que lim x→0 u 1 (x) = lim x→0 u 2 (x)=0.Onditalorsqueu 1 tend vers 0 plus vite queu 2 lorsquex tennd versassi le rapportu 1 /u 2 tend vers 0 ena.

2Introduction

Consid´erons maintenant le cas un peu plus g´en´eral des fonctions `a variables dans le corpsK=R(ouC)et

quotesdbs_dbs4.pdfusesText_8

[PDF] [PDF] Cours et Problèmes de Calcul Différentiel - Georges Comte - CNRS