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Solution :
COMMANDEMENT Noooo1 :
Toujours faire un dessin.
Position des droites (OK) et (BD) :
Dans le triangle ADB :
D1 passe par le milieu du côté [AD] ( hypothèse )
D1 est perpendiculaire à (AD ) ( hypothèse )
Donc D
1 est la médiatrice de [AD]
Dans le triangle ADB :
D2 passe par le milieu du côté [AB] ( hypothèse )
Exercice 11 :
ABCD est un parallélogramme de centre O.
Soient I est le milieu de [AD] et J celui de [AB].Soit D
1 la droite passant par I et perpendiculaire à [AD].
Soit D
2 la droite passant par J et perpendiculaire à [AB].
Les deux droites D
1 et D2 se coupent en K.
Que peut-on dire des droites (OK) et (BD) ?
( Aide : Utiliser le triangle ABD )Un dessin vaut mieux
qu"un long discours Définition :La médiatrice d"un segment
est la droite perpendiculaire à ce segment qui passe par le milieu du segment.THEME :
DROITES REMARQUABLES DANS UN
TRIANGLE - EXERCICES CORRIGES
SERIE 2
D2 est perpendiculaire à (AB ) ( hypothèse )Donc D
2 est la médiatrice de [AB]
Ces deux médiatrices D
1 et D2 se coupent en K. Donc K est le
centre du cercle circonscrit ( point de rencontre des médiatrices ) au triangle ABD . La troisième médiatrice de ce triangle passe par le milieu du troisième côté [BD] et par le point de rencontre des médiatrices K. Or O est milieu de [BD] ( O est le centre du parallélogrammeABCD et donc milieu des diagonales )
Donc ( OK) est la médiatrice du côté [BD].Par définition de la médiatrice
(BD) (OK)^Autre rédaction
K est le centre du cercle circonscrit. ( les médiatrices D1 et D2 se coupent en K ) O est le milieu de [BD] ( O est le centre du parallélogramme ABCD ) Donc ( OK) est la médiatrice du côté [BD]Par définition de la médiatrice
(BD) (OK)^Constante de taille :
Le grand monstre court-
il après le petit monstre ?Le carré du damier dans
lequel est inscrit A est-il du même gris que celui où est inscrit B ?Solution :
Dans le triangle OAB :
? O est un sommet (AB) (OH)^ ( hypothèse - la droite D est perpendiculaire à (AB) ) donc (OH) est la hauteur issue de O ? A est un sommet (OB) )(AA"^ ( hypothèse ) donc (AA") est la hauteur issue de A Les deux hauteurs (OH) et (AA") se coupent en H, donc H est l"orthocentre ( point de rencontre des hauteurs d"un triangle ). La troisième hauteur de ce triangle passe par le troisième sommetB et par ce point de rencontre H.
Donc (HB) est la hauteur issue de B.
Par définition de la hauteur, la droite (HB) est perpendiculaire au côté [AO]Les droites (OA) et (BH) sont perpendiculaires
Que voyez-vous entre les
carrés ? Du gris ?Quelle est le plus long des
segments ?Quel " rond » rouge est plus
gros ? Celui du haut ?Exercice 12 :
Soient A et B deux points . Soit D une droite perpendiculaire à la droite (AB).Considérons sur cette droite un point O.
La perpendiculaire à la droite (OB) passant par A coupe (OB) en A". Soit H le point d"intersection de la droite (AA") avec la droite D. Démontrer que les droites (OA) et (BH) sont perpendiculaires.Solution :
Exercice 13 :
Soit ABC un triangle rectangle en A.
Une droite perpendiculaire à l"hypoténuse de ce triangle coupe la droite (BC) en D , la droite (AB) en E et la droite (AC) en F . Démontrer que les droites (CE) et (BF) sont perpendiculaires. Tout d"abord, je ne peux que vous encouragez à mettre sur le dessin les symboles de perpendicularité ( petits carrés représentant les angles droits ). Ils seront utiles dans la démonstration. Maintenant, vous confondez segment et droite. Dans le texte on précise que la perpendiculaire à l"hypoténuse coupe , non pas le segment [AC] en F , mais la droite (AC)Mais la droite perpendiculaire à
l"hypoténuse ne coupe pas le côté [AC] ????Dans le triangle CFB :
? Nature de la droite (AB) :B est un sommet.
(AC) (AB)^ ( ABC est un triangle rectangle ) et donc (AF) (AB)^ donc la droite (BA) est la hauteur issue de B. ? Nature de la droite (FD) :F est un sommet.
(BC) (FD)^ ( hypothèse ) donc la droite (FD) est la hauteur issue de F. ? Nature de la droite (CE) : Les deux hauteurs (BA) et (FD) se coupent en E, donc E est l"orthocentre du triangle (les trois hauteurs du triangle sont concourantes en ce point ). La droite (CE) passe par le sommet C et par l"orthocentre E, donc la droite (CE) est la hauteur issue de C. ? Conclusion :La droite (CE) est la hauteur issue de C. Par conséquent, elle est perpendiculaire au côté opposé à