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TSMardi 4 juin2012-2013
Suite du sujet Amérique du Nord 2013 :
Exercice 2 :
Q.2.a→On poseAn: 0< un?2,pour toutn?N.
•Initialisation:n= 0 etA0=IpetU0=IpU0doncP(0) est vraie. •Hérédité: Démontrons que pour toutn?NAnvraie impliqueAn+1vraie. A nestvraie?0< un?2 ?0<2un?4 ?0<⎷2un?⎷4
?0< un+1?2 doncAn+1est vraie.•Conclusion :Ainsi, d"après le principe du raisonnement par récurrence,pour tout entier natureln?N,
0< un?2 .
Q.2.b→Pour toutn?N, un+1-un=⎷
Ainsi, Pour toutn?N, un+1-un=un(2-un)
⎷2un+un Compte-tenu de ce qui précéde,un>0, 2-un?0(Q.2.a),⎷2un+un>0, on obtientun+1-un?0 et ainsi
(un) est croissante. Q.2.c→Croissante + majorée par 2 implique suite (un) convergente.Q.3.a→ ?n?N, vn= ln(un)-ln(2).
On exprime?n?N, vn+1= ln(un+1)-ln(2) = ln(⎷
2un)-ln(2) =12ln(2un)-ln(2) =12(ln(2)+ln(un))-ln(2)
Ce qui donnevn+1=1
2(ln(un)-ln(2)) =12vn, ce qui prouve que (vn) est géométrique de raison12. De plus,
v0= ln(u0)-ln(2) = ln(1)-ln(2) =-ln(2)
Q.3.b→ ?n?N, vn=v0?1
2? n =-ln(2)?12? nAvant d"exprimerunen fonction den, il est préférable d"exprimerunen fonction devn:vn= ln(un)-ln(2)
?ln(un) =vn+ ln(2)?eln(un)= evn+ln(2)?un= evn+ln(2)?un= evn×eln(2)?un= 2evn