Amérique du Nord 30 mai 2013 - APMEP
Corrigé du baccalauréat S Amérique du Nord 30 mai 2013 Exercice 1 5 points
Amérique du Nord 30 mai 2013 - APMEP
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Correction Baccalauréat S - Spé Maths Amérique du Nord - 30
Correction Bac S Spé Maths - Amérique du Nord - 30 Mai 2013 b Vérifier que la droite
S Amérique du Nord mai 2013 - Meilleur En Maths
es : n est un entier naturel u est un réel positif Initialisation : Demander la valeur de n Affecter à
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?Corrigé du baccalauréat S Amérique du Nord?2. a.Démontrons par récurrence que, pour tout entier natureln, 0
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?Corrigé du baccalauréat S Amérique du Nord?
30 mai 2013
Exercice15 points
Commun à tous lescandidats
On se place dans l"espace muni d"un repère orthonormé. On considère les points A(0; 4; 1), B(1; 3; 0), C(2 ;-1 ;-2) et D (7 ;-1 ; 4).1.Démontrons que les points A, B et C ne sont pas alignés.On a--→AB(1 ;-1 ;-1) et--→AC(2 ;-5 ;-3). On a :1
2?=-1-5.
Les coordonnées des vecteurs
--→AB et--→AC ne sont pas proportionnelles. Les vecteurs--→AB et--→AC ne sont pas colinéaires : les points ne sont pas alignés.2.SoitΔla droite passant par le point D et de vecteur directeur-→u(2 ;-1 ; 3).
a.Démontrons que la droiteΔest orthogonale au plan (ABC).On a--→AB·-→u=1×2+(-1)×(-1)+(-1)×3=0 et--→AC .-→u=2×2+(-5)×(-1)+(-3)×3=0. Les
vecteurs--→AB et--→AC sont orthogonaux à-→u. La droiteΔest orthogonale à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) : elle est orthogo- nale au plan (ABC). b.De ce qui précède, on déduit que-→uest un vecteur normal à (ABC). Une équation cartésienne de (ABC) est de la forme 2x-y+3z+d=0. Comme le point A appartient au plan (ABC), ses coordonnées vérifient :2×0+(4)×(-1)+(1)×3+d=0??d=1.
On en déduit une équation cartésienne du plan (ABC) : 2x-y+3z+1=0. c.Déterminons une représentation paramétrique de la droiteΔ. Comme la droiteΔa pour vecteur directeur-→u(2 ;-1 ; 3) et contient le point D (7 ;-1 ; 4), une représentation paramétrique deΔest :???x=2t+7 y= -t-1 z=3t+4,t?R. d.Déterminons les coordonnées du point H, intersection de la droiteΔet du plan (ABC). Les coordonnées de H sont les solutions du système : ?x=2t+7 y= -t-1 z=3t+42x-y+3z+1=0,t?R.
?x=2t+7 y= -t-1 z=3t+4 y= -t-1 z=3t+42(2t+7)-(-t-1)+3(3t+4)z+1=0
y= -t-1 z=3t+4 y=1 z= -2 t= -2Le point H a pour coordonnéesH(3; 1;-2)
3.SoitP1le plan d"équationx+y+z=0 etP2le plan d"équationx+4y+2=0.
a.Démontrons que les plansP1etP2sont sécants. Le planP1d"équationx+y+z=0 a pour vecteur normal-→n1(1 ; 1 ; 1). Le planP?d"équationx+4y+2=0 a pour vecteur normal-→n2(1 ; 4 ; 0).Les coordonnées des vecteurs-→n1et-→n2ne sont pas proportionnelles. Les vecteurs-→n1et-→n2
ne sont pas colinéaires. Les plans ne sont pas parallèles; ils sont sécants.Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.
b.Vérifionsqueladroited,intersectiondesplansP1etP2,apour représentationparamétrique???x= -4t-2
y=t z=3t+2,t?R.Considérons le système :
x+y+z=0 x+4y+2=0 y=y,t?R. ?x+y+z=0 x+4y+2=0 y=t?????z= -x-t x= -4t-2 y=t?????z=3t+2 x= -4t-2 y=t On en déduit que la droited, intersection des plansP1etP2, a pour représentation paramé- trique???x= -4t-2 y=t z=3t+2,t?R. On peut également vérifier que la droite(d)est incluse dans le planP1et également dans le planP2.En effet, on a démontré que ces deux plans étaient sécants, ils sont donc sécants suivant
une droite qui appartientsimultanément auxdeux planset cette droite est unique. -4t-2+t+3t+2=0 donc (d) est contenue dans le planP1; -4t-2+4t+2=0 donc (d) est contenue dans la planP2c.Ondéduit dela représentation paramétrique précédente queladroiteda pour vecteur direc-
teur-→u?(-4 ; 1 ; 3). Le plan (ABC) a pour vecteur normal-→u(2 ;-1 ; 3).-→u.-→u?=0.-→uet-→u?sont orthogonaux : la droitedet le plan (ABC) sont parallèles.
Exercice25 points
CandidatsN"AYANT PASSUIVI l"enseignementde spécialitémathématiquesOn considère la suite
(un)définie paru0=1 et, pour tout entier natureln, u n+1=? 2un.1.On considère l"algorithme suivant :
Variables :nest un entier naturel
uest un réel positifInitialisation : Demander la valeur den
Affecter àula valeur 1
Traitement : Pourivariant de 1 àn:
| Affecter àula valeur?2uFin de Pour
Sortie : Afficheru
a.On a :u0=1,u1=?2u0=?2,u2=?2u1=?2?2 et u 3=?2u2=?2?2?2=1,8340 à 10-4près.
b.Cet algorithme permet le calcul du terme de rangn.c.D"après le tableau des valeurs approchées obtenues à l"aidede cet algorithme pour certaines
valeurs den, on peut conjecturer que la suite(un)est croissante et majorée par 2.2. a.Démontrons par récurrence que, pour tout entier natureln, 0 •Initialisation On au0=1 donc 0Amérique du Nord230 mai 2013 Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.
•Hérédité Soitn?N, et 0 On a : 0 2un?4??0 donc vrai au rangn+1. L"encadrement est vrai au rang 0, et s"il est vrai au rangn, il est vrai au rangn+1 : on a donc démontré par le principe de récurrence que pourn?N, 0On a :
un+1 un=? 2un un=? 2un u2n=? 2 un. Et comme on a démontré précédemment queun?2, alors2 un?1 et? 2 un?1. On en déduit que pour tout entier natureln, 0Ceci démontre que la suite
(un)est convergente. 3.On considère la suite(vn)définie, pour tout entier natureln, parvn=lnun-ln2.
a.Pour tout entier natureln, parvn=lnun-ln2 donc en particulier : u 0=ln(u0)-ln2=ln1-ln2=-ln2
On a aussi pour tout entier natureln,vn+1=lnun+1-ln2, maisun+1=? 2un. Alors :vn+1=ln?
Onpeut enconclureque lasuite
(vn)estla suite géométrique deraison1 2etdepremier terme
v 0=-ln2.
b.On déduit de ce qui précède que pour tout entier natureln,vn=-ln2?1 2? n v n=ln(un)-ln2??ln?un 2? =vn??un2=evn??un=2evn.unen fonction den. c.Comme1 2?[0 ; 1], limn→+∞?
12? n =0 et limn→+∞(vn)=0 On sait que lim
x→0?ex?=1, alors par composition des limites : limn→+∞?evn?=1 et finalement : lim n→+∞(un)=2 d.L"algorithme ci-dessous permet d" afficher en sortie la pluspetite valeur dentelle queun> 1,999.
Variables :nest un entier naturel
uest un réel Initialisation : Affecter ànla valeur 0
Affecter àula valeur 1
Traitement : Tant queu?1,999
Affecter àula valeur?2u
Affecter ànla valeurn+1
Sortie : Affichern
Exercice25 points
CandidatsAYANT SUIVI l"enseignementde spécialité mathématiques PartieA
On considère l"algorithme suivant :
Amérique du Nord330 mai 2013
Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.
Variables :aest un entier naturel
best un entier naturel cest un entier naturel Initialisation : Affecter àcla valeur 0
Demander la valeur dea
Demander la valeur deb
Traitement : Tant quea?b
Affecter àcla valeurc+1
Affecter àala valeura-b
Fin de tant que
Sortie : Afficherc
Affichera
1.En faisant tourner l"algorithme aveca=13 etb=4, on obtient :
Variablesabc
Initialisation0
Entrées1340
Traitement941
542
143
SortieOn affiche la valeur dec: 3
On affiche la valeur dea: 1
2.Dans cet algorithme, on retire le nombrebdu nombreaautant de fois que l"on peut et on fait
afficher le nombre de fois que l"on a retirébet ce qui reste dansa; cet algorithme fournit donc le
quotient (dansc) et le reste (dansa) de la division deaparb. PartieB
À chaque lettre de l"alphabet, on associe, grâce au tableau ci-dessous, un nombre entier compris entre
0 et 25.
ABCDEFGHIJKLM
0123456789101112
NOPQRSTUVWXYZ
13141516171819202122232425
On définit un procédé de codage de la façon suivante : Étape1 : À la lettre que l"on veut coder, on associe le nombremcorrespondant dans le tableau. Étape2 : On calcule le reste de la division euclidienne de 9m+5 par 26 et on le notep. Étape3 : Au nombrep, on associe la lettre correspondante dans le tableau. 1.On va coder la lettre U.
Étape1 : La lettre U correspond àm=20.
Étape2 : 9m+5=9×20+5=185; le reste de la division de 185 par 26 estp=3. Étape3 : Au nombrep=3, on associe la lettre D.
Donc la lettre U se code en D.
2.Onmodifie l"algorithme delapartie Apour qu"à une valeur dementrée par l"utilisateur, il affiche
la valeur dep, calculée à l"aide du procédé de codage précédent : Amérique du Nord430 mai 2013
Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.
Variables :mest un entier naturel
pest un entier naturel Initialisation : Demander la valeur dem
Affecter àpla valeur 9m+5
Traitement : Tant quep?26
Affecter àpla valeurp-26
Fin de tant que
Sortie : Afficherp
PartieC
1.On sait que 9×3=27≡1 [26]; donc pourx=3, on a 9x≡1 [26].
2.9m+5≡p[26]=?27m+15≡3p[26]??27m≡3p-15 [26]
Or 27≡1 [26] donc 27m≡m[26]
27m≡3p-15
27m≡m[26]?
=?m≡3p-15 [26] Réciproquement :
m≡3p-15 [26]??m+15≡3p[26]=?9m+135≡27p[26] Or 27≡1 [26] donc 27p≡p[26]; de plus 135=5×26+5 donc 135≡5 [26]. 135≡5 [26]=?9m+135≡9m+5 [26]
9m+135≡9m+5 [26]
27p≡p[26]
9m+135≡27p[26]???
=?9m+5≡p[26] On peut donc dire que : 9m+5≡p[26]??m≡3p-15 [26]. 3.Pour décoder une lettre, on procèdera donc ainsi :
Étape1 : À la lettre que l"on veut décoder, on associe le nombrepcorrespondant dans le tableau. Étape2 : On calcule le reste de la division euclidienne de 3p-15 par 26 et on le notem. Étape3 : Au nombrem, on associe la lettre correspondante dans le tableau. Pour décoder la lettre B :
Étape1 : À la lettre B, on associe le nombrep=1. Étape2 : 3p-15=-12≡14 [26] doncm=14.
Étape3 : Au nombrem=14, on associe la lettre O. Donc la lettre B se décode en la lettre O.
Amérique du Nord530 mai 2013
Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.
Exercice35 points
Commun à tous lescandidats
Les parties A B et C peuvent être traitées indépendamment lesunes des autres Une boulangerie industrielle utilise une machine pour fabriquer des pains de campagne pesant en moyenne 400 grammes. Pour être vendus aux clients, ces painsdoivent peser au moins 385 grammes. Un pain dont la masse est strictement inférieure à 385 grammes est un pain non-commercialisable, un
pain dont la masse est supérieure ou égale à 385 grammes est commercialisable. La masse d"un pain fabriqué par la machine peut être modélisée par une variable aléatoireXsuivant la
loi normale d"espéranceμ=400 et d"écart-typeσ=11. Les probabilités seront arrondies au millième le plus proche PartieA
On pourra utiliser le tableau suivant dans lequel les valeurs sont arrondies au millième le plus proche.
x380385390395400405410415420 2.Un pain choisi au hasard dans la production est commercialisable si et seulement si
"X?385». "X?385»est l"évènement contraire de "X<385». On a doncp(X?385)=1-p(X<385)=1-0,086=0,914.
3.Le fabricant trouve cette probabilitéptrop faible. Il décide de modifier ses méthodes de produc-
tion afin de faire varier la valeur deσsans modifier celle deμ. Soit Y la variable aléatoire de paramètresμ=400 etσ, on a : SiYsuit une loinormale deparamètresμ=400 etσ, onsait queZ=X-400 σsuit une loi normale
centrée réduite etp(Y<385)=0,04??P? Z?385-400
=0,04. OrP(Z?-1,751)≈0,040.On a donc :-15
σ=-1,751??σ=151,751=8,6.
Pourσ=8,6, au dixième près; la probabilité qu"un pain soit commercialisable est de 96% PartieB
Les méthodes de production ont été modifiées dans le but d"obtenir 96% de pains commercialisables.
Afin d"évaluer l"efficacité de ces modifications, on effectueun contrôle qualité sur un échantillon de
300 pains fabriqués.
1.L"intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la proportion de pains commerciali-
sables dans un échantillon de taille 300 est de la forme I 300=?
p-1,96? p(1-p)?n;p+1,96? p(1-p)?n? avecp=0,96 etn=300. On a donc :I300=[0,93 ; 0,99]
2.Parmi les 300 pains de l"échantillon, 283 sont commercialisables. Ce qui représente 94% de la
production. Au regard de l"intervalle de fluctuation obtenu à la question1, on accepte que l"objectif a été
atteint. Amérique du Nord630 mai 2013
Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.
PartieC
Le boulanger utilise une balance électronique. Le temps defonctionnement sans dérèglement, en jours,
de cette balance électronique est une variable aléatoireTqui suit une loi exponentielle de paramètreλ.
1.On sait que la probabilité que la balance électronique ne se dérègle pas avant 30 jours est de
p(T?30)=0,913. On a par ailleurs :p(T?30)=?30
0λe-λxdx=?-e-λx?300=1-e-30λ.
On en déduit :p(T?30)=1-p(T?30)=e-30λet finalement : e -30λ=0,913?? -30λ=ln(0,913)??λ=0,003. Dans toute la suite on prendraλ=0,003.
2.CalculonspT?60(T?90).
On apT?60(T?90)=p((T?60)∩(T?90))
Avecλ=0,003, on a doncpT?60(T?90)=p(T?30)=0,913. La probabilité que la balance électronique fonctionne encore sans dérèglement après 90 jours,
sachant qu"elle a fonctionné sans dérèglement 60 jours est 0,913 (loi à durée de vie sans vieillis-
sement!) 3.Le vendeur decette balance électronique a assuré au boulanger qu"il y avait une chance sur deux
pour que la balance ne se dérègle pas avant un an. Calculons ladurée maximaletmaxpour la- quelle la probabilité que la balance dérègle est inférieureà 0,5. 1-e-λtmax?0,5??e-λtmax?0,5?? -λtmax?ln0.5
Avecλ=0,003, on trouvetmax=231. Le vendeur avait donc tort. Exercice45 points
Commun à tous lescandidats
Soitfla fonction définie sur l"intervalle ]0 ;+∞[ par f(x)=1+ln(x) x2 et soitCla courbe représentative de la fonctionfdans un repère du plan. La courbeCest donnée
ci-dessous : -11 1 2 3 C O Amérique du Nord730 mai 2013
Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.
1. a.Étudions la limite defen 0.
On sait que lim
x→0ln(x)=-∞donc limx→01+ln(x)=-∞. D"autre part lim
x→01 x2=+∞, alors par produit des limites, limx→0f(x)=-∞ b.On sait que limx→+∞lnx x=0, D"autre part lim
x→+∞1 x=0, alors par produit des limites limx→+∞lnxx2=0, On a aussi lim
x→+∞1 x2=0, et en ajoutant ces deux dernières limites, on obtient : lim x→+∞f(x)=0 c.limx→0f(x)=-∞prouve que l"axe des ordonnées est asymptote verticale . lim x→+∞f(x)=0 que l"axe des abscisses est asymptote horizontale.àC 2. a.On notef?la fonction dérivée de la fonctionfsur l"intervalle ]0 ;+∞[.
fest dérivable sur ]0 ;+∞[, f ?(x)=1 x×x2-(1+lnx) x4=-x-2xlnxx4=-1-2ln(x)x3. b.-1-2lnx>0??lnx<-1 2??x 2. Pour toutx?]0 ;+∞[,x2>0 etf?(x) est du signe de-1-2ln(x). c.Dresser le tableau des variations de la fonctionf. On af?
e-1 2? =1-12? e-1 2?2=1 2 e-1=e2 x01?e+∞ f ?(x)+0- f(x) -∞e 2 0 3. a.On a :f(x)=0??1+lnx=0??lnx=-1??x=e-1
Ce qui prouve que la courbeCcoupe l"axe des abscisses en un unique point, le point de coordonnées?e-1; 0? b.D"après le tableau des variations defet sachant quef?e-1?=0. On en déduit quef(x)>0 sur l"intervalle?e-1;+∞?etf(x)<0 sur l"intervalle?0 ; e-1?. 4.Pourtout entiern?1, onnoteInl"aire,exprimée en unités d"aires,dudomaine délimité parl"axe
des abscisses, la courbeCet les droites d"équations respectivesx=1 eetx=n. a.On sait quef>0 sur?e-1;+∞?, doncIn=? n e -1f(x)dx Sur ?1 e; 2? onaauvu desvariationsdef:00?I2??
n e -1e 2dx=e2?
2-1e? =e-12et finalement : 0?I2?e-1
2. Amérique du Nord830 mai 2013
Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.
On admet que la fonctionF, définie sur l"intervalle ]0 ;+∞[ parF(x)=-2-ln(x)x,est une primitive de la fonctionfsur l"intervalle ]0 ;+∞[. b.CalculonsInen fonction den. On a : I n=?-2-lnx x? n 0=-2-lnnn-?-2-ln(e-1)e-1?
=-2-lnnn-(-2+1)e. Et finalement :
I n=-2-lnn n+e=e-lnnn-2n c.Étudions la limite deInen+∞. On a lim
n→+∞lnn n=0, limn→+∞1n=0 et limn→+∞2n=0 alors limn→+∞In=e. Graphiquement cela signifie que l"aire du domaine délimité par l"axe des abscisses, la courbe Cet les droites d"équations respectivesx=1
eetx=ntend vers e quandntend vers+∞. Amérique du Nord930 mai 2013
quotesdbs_dbs48.pdfusesText_48
Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.
•HéréditéSoitn?N, et 0 On a : 0 2un?4??0 donc vrai au rangn+1. L"encadrement est vrai au rang 0, et s"il est vrai au rangn, il est vrai au rangn+1 : on a donc démontré par le principe de récurrence que pourn?N, 0On a :
un+1 un=? 2un un=? 2un u2n=? 2 un. Et comme on a démontré précédemment queun?2, alors2 un?1 et? 2 un?1. On en déduit que pour tout entier natureln, 0Ceci démontre que la suite
(un)est convergente. On a : 0 2un?4??0 donc vrai au rangn+1. L"encadrement est vrai au rang 0, et s"il est vrai au rangn, il est vrai au rangn+1 : on a donc démontré par le principe de récurrence que pourn?N, 0On a :
un+1 un=? 2un un=? 2un u2n=? 2 un. Et comme on a démontré précédemment queun?2, alors2 un?1 et? 2 un?1. On en déduit que pour tout entier natureln, 02un?4??0 donc vrai au rangn+1. L"encadrement est vrai au rang 0, et s"il est vrai au rangn, il est vrai au rangn+1 : on a donc démontré par le principe de récurrence que pourn?N, 0On a :
3.On considère la suite(vn)définie, pour tout entier natureln, parvn=lnun-ln2.
a.Pour tout entier natureln, parvn=lnun-ln2 donc en particulier : u0=ln(u0)-ln2=ln1-ln2=-ln2
On a aussi pour tout entier natureln,vn+1=lnun+1-ln2, maisun+1=? 2un.Alors :vn+1=ln?
Onpeut enconclureque lasuite
(vn)estla suite géométrique deraison12etdepremier terme
v0=-ln2.
b.On déduit de ce qui précède que pour tout entier natureln,vn=-ln2?1 2? n v n=ln(un)-ln2??ln?un 2? =vn??un2=evn??un=2evn.unen fonction den. c.Comme12?[0 ; 1], limn→+∞?
12? n =0 et limn→+∞(vn)=0On sait que lim
x→0?ex?=1, alors par composition des limites : limn→+∞?evn?=1 et finalement : lim n→+∞(un)=2 d.L"algorithme ci-dessous permet d" afficher en sortie la pluspetite valeur dentelle queun>1,999.
Variables :nest un entier naturel
uest un réelInitialisation : Affecter ànla valeur 0
Affecter àula valeur 1
Traitement : Tant queu?1,999
Affecter àula valeur?2u
Affecter ànla valeurn+1
Sortie : Affichern
Exercice25 points
CandidatsAYANT SUIVI l"enseignementde spécialité mathématiquesPartieA
On considère l"algorithme suivant :
Amérique du Nord330 mai 2013
Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.
Variables :aest un entier naturel
best un entier naturel cest un entier naturelInitialisation : Affecter àcla valeur 0
Demander la valeur dea
Demander la valeur deb
Traitement : Tant quea?b
Affecter àcla valeurc+1
Affecter àala valeura-b
Fin de tant que
Sortie : Afficherc
Affichera
1.En faisant tourner l"algorithme aveca=13 etb=4, on obtient :
Variablesabc
Initialisation0
Entrées1340
Traitement941
542143
SortieOn affiche la valeur dec: 3
On affiche la valeur dea: 1
2.Dans cet algorithme, on retire le nombrebdu nombreaautant de fois que l"on peut et on fait
afficher le nombre de fois que l"on a retirébet ce qui reste dansa; cet algorithme fournit donc le
quotient (dansc) et le reste (dansa) de la division deaparb.PartieB
À chaque lettre de l"alphabet, on associe, grâce au tableau ci-dessous, un nombre entier compris entre
0 et 25.
ABCDEFGHIJKLM
0123456789101112
NOPQRSTUVWXYZ
13141516171819202122232425
On définit un procédé de codage de la façon suivante : Étape1 : À la lettre que l"on veut coder, on associe le nombremcorrespondant dans le tableau. Étape2 : On calcule le reste de la division euclidienne de 9m+5 par 26 et on le notep. Étape3 : Au nombrep, on associe la lettre correspondante dans le tableau.1.On va coder la lettre U.
Étape1 : La lettre U correspond àm=20.
Étape2 : 9m+5=9×20+5=185; le reste de la division de 185 par 26 estp=3.Étape3 : Au nombrep=3, on associe la lettre D.
Donc la lettre U se code en D.
2.Onmodifie l"algorithme delapartie Apour qu"à une valeur dementrée par l"utilisateur, il affiche
la valeur dep, calculée à l"aide du procédé de codage précédent :Amérique du Nord430 mai 2013
Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.
Variables :mest un entier naturel
pest un entier naturelInitialisation : Demander la valeur dem
Affecter àpla valeur 9m+5
Traitement : Tant quep?26
Affecter àpla valeurp-26
Fin de tant que
Sortie : Afficherp
PartieC
1.On sait que 9×3=27≡1 [26]; donc pourx=3, on a 9x≡1 [26].
2.9m+5≡p[26]=?27m+15≡3p[26]??27m≡3p-15 [26]
Or 27≡1 [26] donc 27m≡m[26]
27m≡3p-15
27m≡m[26]?
=?m≡3p-15 [26]Réciproquement :
m≡3p-15 [26]??m+15≡3p[26]=?9m+135≡27p[26] Or 27≡1 [26] donc 27p≡p[26]; de plus 135=5×26+5 donc 135≡5 [26].135≡5 [26]=?9m+135≡9m+5 [26]
9m+135≡9m+5 [26]
27p≡p[26]
9m+135≡27p[26]???
=?9m+5≡p[26] On peut donc dire que : 9m+5≡p[26]??m≡3p-15 [26].3.Pour décoder une lettre, on procèdera donc ainsi :
Étape1 : À la lettre que l"on veut décoder, on associe le nombrepcorrespondant dans le tableau. Étape2 : On calcule le reste de la division euclidienne de 3p-15 par 26 et on le notem. Étape3 : Au nombrem, on associe la lettre correspondante dans le tableau.Pour décoder la lettre B :
Étape1 : À la lettre B, on associe le nombrep=1.Étape2 : 3p-15=-12≡14 [26] doncm=14.
Étape3 : Au nombrem=14, on associe la lettre O.Donc la lettre B se décode en la lettre O.
Amérique du Nord530 mai 2013
Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.
Exercice35 points
Commun à tous lescandidats
Les parties A B et C peuvent être traitées indépendamment lesunes des autres Une boulangerie industrielle utilise une machine pour fabriquer des pains de campagne pesant en moyenne 400 grammes. Pour être vendus aux clients, ces painsdoivent peser au moins 385 grammes.Un pain dont la masse est strictement inférieure à 385 grammes est un pain non-commercialisable, un
pain dont la masse est supérieure ou égale à 385 grammes est commercialisable.La masse d"un pain fabriqué par la machine peut être modélisée par une variable aléatoireXsuivant la
loi normale d"espéranceμ=400 et d"écart-typeσ=11. Les probabilités seront arrondies au millième le plus prochePartieA
On pourra utiliser le tableau suivant dans lequel les valeurs sont arrondies au millième le plus proche.
x3803853903954004054104154202.Un pain choisi au hasard dans la production est commercialisable si et seulement si
"X?385». "X?385»est l"évènement contraire de "X<385».On a doncp(X?385)=1-p(X<385)=1-0,086=0,914.
3.Le fabricant trouve cette probabilitéptrop faible. Il décide de modifier ses méthodes de produc-
tion afin de faire varier la valeur deσsans modifier celle deμ. Soit Y la variable aléatoire de paramètresμ=400 etσ, on a : SiYsuit une loinormale deparamètresμ=400 etσ, onsait queZ=X-400σsuit une loi normale
centrée réduite etp(Y<385)=0,04??P?Z?385-400
=0,04.OrP(Z?-1,751)≈0,040.On a donc :-15
σ=-1,751??σ=151,751=8,6.
Pourσ=8,6, au dixième près; la probabilité qu"un pain soit commercialisable est de 96%PartieB
Les méthodes de production ont été modifiées dans le but d"obtenir 96% de pains commercialisables.
Afin d"évaluer l"efficacité de ces modifications, on effectueun contrôle qualité sur un échantillon de
300 pains fabriqués.
1.L"intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la proportion de pains commerciali-
sables dans un échantillon de taille 300 est de la forme I 300=?p-1,96? p(1-p)?n;p+1,96? p(1-p)?n? avecp=0,96 etn=300.
On a donc :I300=[0,93 ; 0,99]
2.Parmi les 300 pains de l"échantillon, 283 sont commercialisables. Ce qui représente 94% de la
production.Au regard de l"intervalle de fluctuation obtenu à la question1, on accepte que l"objectif a été
atteint.Amérique du Nord630 mai 2013
Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.
PartieC
Le boulanger utilise une balance électronique. Le temps defonctionnement sans dérèglement, en jours,
de cette balance électronique est une variable aléatoireTqui suit une loi exponentielle de paramètreλ.
1.On sait que la probabilité que la balance électronique ne se dérègle pas avant 30 jours est de
p(T?30)=0,913.On a par ailleurs :p(T?30)=?30
0λe-λxdx=?-e-λx?300=1-e-30λ.
On en déduit :p(T?30)=1-p(T?30)=e-30λet finalement : e -30λ=0,913?? -30λ=ln(0,913)??λ=0,003.Dans toute la suite on prendraλ=0,003.
2.CalculonspT?60(T?90).
On apT?60(T?90)=p((T?60)∩(T?90))
Avecλ=0,003, on a doncpT?60(T?90)=p(T?30)=0,913.La probabilité que la balance électronique fonctionne encore sans dérèglement après 90 jours,
sachant qu"elle a fonctionné sans dérèglement 60 jours est 0,913 (loi à durée de vie sans vieillis-
sement!)3.Le vendeur decette balance électronique a assuré au boulanger qu"il y avait une chance sur deux
pour que la balance ne se dérègle pas avant un an. Calculons ladurée maximaletmaxpour la- quelle la probabilité que la balance dérègle est inférieureà 0,5.1-e-λtmax?0,5??e-λtmax?0,5?? -λtmax?ln0.5
Avecλ=0,003, on trouvetmax=231. Le vendeur avait donc tort.Exercice45 points
Commun à tous lescandidats
Soitfla fonction définie sur l"intervalle ]0 ;+∞[ par f(x)=1+ln(x) x2et soitCla courbe représentative de la fonctionfdans un repère du plan. La courbeCest donnée
ci-dessous : -11 1 2 3 C O