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30 mai 2014

Exercice15 points

Commun à tous lescandidats

Dans cetexercice,tous les résultatsdemandés serontarrondisà 10-3près.

Partie A : Conditionnementdes pots

1.On veutp(X?49). Avec la calculatricep(X?49)≈0.202.

2.On noteσ?le nouvel écart-type, etZla variable aléatoire égale àX-50σ?

a.La variable aléatoireZsuit la loi normale centrée réduite. b.Une valeur approchée du réelutel quep(Z?u)=0,06 estu≈-1.555. c.Z=X-50

σ??X=σ?Z+50

p(X?49)=0,06?p?σ?Z+50?49?=0,06?p?

Z?-1σ??

=0,06

On doit donc avoir-1

σ?=-1,555?σ?=11,555≈0,643

La valeur attendue deσ?est donc 0,643.

3. a.Ici, l"épreuve de Bernoulli consiste à tester si un pot est non conforme considéré comme suc-

cès de probabilité 0,06,... ou pas. On répète 50 fois cette épreuve.Ysuit donc la loi binomiale de paramètres 50 et 0,06. b.Oncalculep(Y?2)avec la calculatrice. Laprobabilité que laboutique reçoive deux pots non conformes ou moins de deux pots non conformes est d"environ 0,416.

Partie B : Campagnepublicitaire

On an=140>30,f=99140doncnf=99>5 etn(1-f)=41>5. Ainsi,? f-1?n;f+1?n? soit

0,622;0,792]est donc un intervalle de confiance au seuil de 95% de la proportion de personnes sa-

tisfaites parmi les utilisateurs de la crème.

Exercice26 points

Commun à tous lescandidats

Partie A : PositionsrelativesdeCfetD

Soitgla fonction définie sur l"intervalle [0 ;+∞[ parg(x)=f(x)-(x-3).

1.Pour tout réelxde l"intervalle [0 ;+∞[,

g(x)=5e-x-3e-2x=e-x(5-3e-x).

Comme e

-x>

0 (exponentielle),g(x) est du signe de 5-3e-x.

5-3e-x>0?5>3e-x?53>e-x?ln?53?

>-x?ln?35? 0.

2.La courbeCfet la droiteDont un point commun d"abscissexsi et seulement sif(x)=x-3 soit

g(x)=0 ce qui n"est pas possible car on vient de voir queg(x)>0. La courbeCfet la droiteDn"ont pas de point commun.

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

Partie B : Étude de la fonctiong

On noteMle point d"abscissexde la courbeCf,Nle point d"abscissexde la droiteDet on s"intéresse

à l"évolution de la distanceMN.

1.CommeMetNont la même abscisse, pour toutxde l"intervalle [0 ;+∞[,

MN=|f(x)-(x-3)|=|g(x)|=g(x) carg(x)>0 d"après la première question.

2.Siuest dérivable,(eu)?=u?eu.

La dérivée dex?→e-xest doncx?→-e-xet celle dex?→e-2xestx?→-2e-2x. Pour toutxde l"intervalle [0 ;+∞[,g?(x)=-5e-x+2×3e-2x=6e-2x-5e-x.

3.gétant dérivable sur [0 ;+∞[, on étudie le signe de sa dérivée sur [0 ;+∞[.

Pour toutxde l"intervalle [0 ;+∞[,

g ?(x)?0?6e-2x-5e-x?0 ?6e-x-5?0 on a divisé par e-x>0 ?e-x?5 6 ?-x?ln?5 6? croissance de la fonction ln ?x?ln?6 5? Enln ?6 5? ,ladérivée s"annule en changeantdesigne (+;-),doncg? ln?65?? est unmaximum pour gsur l"intervalle [0 ;+∞[. g? ln?6 5?? =5×e5

6-3×?

e56?2=5×56-3×?56? 2 =7536 La distance entre un point de la courbeCfet le point de même abscisse sur la droiteDest donc maximale lorsquex=ln?6 5? . Cette distance maximale vaut7536unités.

Remarque : Comme le repèreest orthogonal (à prioripas orthonormé), il s"agit d"unité en ordon-

née.)

Partie C : Étude d"une aire

On considère la fonctionAdéfinie sur l"intervalle [0 ;+∞[ par

A(x)=?

x 0 [f(t)-(t-3)]dt.

1.A(2)=?

2 0 [f(t)-(t-3)]dt=? 2 0 g(t)dtetg>0 sur [0;2].A(2) mesure donc (en unités d"aires) l"aire du domaine limité par les droites d"équationx=0,x=2, la courbeCfet la droiteD. (voir figure page suivante)

2.La fonctiongest continue sur [0;+∞[ etA(x)=?

x 0 g(t)dt, la fonctionAest donc dérivable sur [0;+∞[ etA?=g>0. La fonctionAest donc bien croissante sur l"intervalle [0 ;+∞[.

3.Pour tout réelxstrictement positif,

A(x)=?

x 0 g(t)dt =5? x 0 e-tdt-3? x 0 e-2tdtpar linéarité de l"intégrale =5?-e-t?x 0-3? -1

2e-2t?x

0 =5(-e-x+1)-3? -1

2e-2x+12?

=5-5e-x+3

2e-2x-32

A(x)=3

2e-2x-5e-x+72

Amérique du Nord230 mai 2014

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

0,51,0

-0,5 -1,0 -1,5 -2,0 -2,5 -3,01 2 3 4 Cf D O

On poseX=e-x

xsolution de3

2e-2x-5e-x+32=0?Xsolution de32X2-5X+32=0

?Xsolution de 3X2-10X+3=0 équation du second degré ?X=1

3ouX=3

?e-x=1

3ou e-x=3 on revient àxetX=e-x

?x=ln3 oux=-ln3-ln1

3=-(-ln3)=ln3

?x=ln3 carx?0 et-ln3<0

Finalement,A(x)=2?x=ln3.

Exercice34 points

Commun à tous lescandidats

Partie A : Sectiondu cube par le plan(MNP)

1.Dans le plan (EFG), les droites (PM) et (FG) ne sont pas parallèles, elles sont donc sécantes; on

appelleLleur point d"intersection.

2. a.Les droites (LN), (BF) et (CG) sont coplanaires dans le plan (BCG) d"où les constructions de

TetQ. b.On cherche l"intersection des plans (MNP) et (ABF).

L?(MP)=?L?(MNP)

N?(MNP)?

=?(LN)?(MNP)

Q?(LN)???

=?Q?(MNP) =?Q?(MNP)∩(ABF) Les droites (MP) et (EF) du plan (EFG) ne sont pas parallèles, donc elles sont sécantes; on appelleRleur point d"intersection.

Amérique du Nord330 mai 2014

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

ABC DEFG H M NP L Q R ST

R?(MP)=?R?(MNP)

R?(EF)=?R?(ABF)?

=?R?(MNP)∩(ABF) Les plans (MNP) et (ABF) ont deux points en commun,QetR; ils ne sont pas confondus car

P?(MNP) etP??(ABF).

Ces deux plans sont donc sécants et commeQetRappartiennent aux deux plans, l"intersec- tion des deux plans (MNP) et (ABF) est la droite (QR).

3.NotonsSle point d"intersection de (AE) et (QR).

La section du cube par le plan (MNP) est le pentagoneMPTQS.

Partie B

L"espace est rapporté au repère

A;-→AB,--→AD,-→AE?

On aA(0 ; 0 ; 0),B(1 ; 0 ; 0),C(1 ; 1 ; 0),D(0 ; 1 ; 0),E(0 ; 0 ; 1),F(1 ; 0 ; 1),G(1 ; 1 ; 1) etH(0 ; 1 ; 1).

1.Mest le milieu du segment [EH] doncMa pour coordonnées?0+0

2;0+12;1+12?

0 ;12; 1?

Nest le milieu du segment [FC] doncna pour coordonnées?1+1

2;0+12;1+02?

1 ;12;12?

P(x;y;z) vérifie--→HP=1

4--→HG, on a donc :???????x-0=1

4y-1=0

z=1DoncP?1

4; 1; 1?

2.Pourcalculerles coordonnéesdupointL,onécritles systèmes dereprésentations paramétriques

des droites (MP) et (FG).

Amérique du Nord430 mai 2014

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

(MP) passe parM?

0 ;12; 1?

et a pour vecteur directeur--→MP?14;12; 0? Une représentation paramétrique de cette droite est donc : ?x=1 4k y=1

2+12koùk?R

z=1 (FG) passe parF(1 ; 0 ; 1)et a pour vecteur directeur--→FG(0 ; 1 ; 0). Une représentation paramétrique de cette droite est donc :???x=1 y=k?oùk??R z=1 On détermine l"intersection de ces deux droites : ?1 4k=1 1

2+12k=k?

1=1?????k=4

k ?=52

Donc le pointLa pour coordonnées?

1;5 2; 1?

3.On admet que le pointTa pour coordonnées?

1 ; 1 ;5

On calcule le produit scalaire

TP.--→TN

TP(((((-

3 403

8)))))

.--→TN(((((0 1 2 -1

8)))))

=-3

4×0+0×?

-12? +38×?
-18? ?=0

Le triangleTPNn"est pas rectangle enT.

Exercice45 points

Candidatsn"ayant passuivi l"enseignementde spécialité

Un volume constant de 2200 m

3d"eau est réparti entre deux bassins A et B.

1."Un volume constant de 2200 m3d"eau est réparti entre deux bassins A et B.» donc

Pour toutndeN,an+bn=2200.

2.Au début dun+1-ième jour, la bassin A contientan, on ajoute 15% du volume d"eau présent

dans le bassin B soit 0,15bnet on enlève 10% du volume présent dans A au début de la journée:

4an+330

On a bien, pour tout entier natureln,an+1=3

4an+330.

Variables:nest un entier naturel

aest un réel

Initialisation: Affecter ànla valeur 0

Affecter àala valeur 800

Traitement: Tant quea<1100, faire :

Affecter àala valeur3

4a+330Affecter ànla valeurn+1

Fin Tant que

Sortie: Affichern

Amérique du Nord530 mai 2014

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

4. a.Remarque : on peut calculer les premiers termes pour avoir laraison.

Pour tout entier natureln, on a

u n+1=an+1-1320 définition deun 3

4an+330-1320 question 2.

4an-990

4(an-1320)

4undéfinition deun

On reconnait la définition d"une suite géométrique de raison 3 4.

Son premier terme estu0=a0-1320=800-1320=-520

b.On a donc, pour tout entier natureln,un=u0qn=-520×?3 4? n

Mais, par définition deun, on a

u n=an-1320?an=un+1320 doncan=1320-520×?3 4? n

5.On cherche à savoir si, un jour donné, les deux bassins peuvent avoir, au mètre cube près, le

même volume d"eau.

Si ce jour arrive, on auraan=bn=2200

2=1100.

Il faut donc résoudre l"équation 1320-520×?3 4? n =1100 d"inconnuen.

1320-520×?3

4? n =1100?520×?34? n =220??34? n =1126?nln?34? =ln?1126?

Finalementn=ln?11

26?
ln?34? ≈2,99 On vérifie :a3=1100,625 etb3=1099,375 donca3-b3=1,25>1. Les deux bassins n"auront donc jamais le même volume d"eau, àun mètre cube près.

Exercice45 points

Candidatsayantsuivi l"enseignementde spécialité

Partie A

1.La conservation du volume total se traduit par : pour tout entier natureln,an+bn=2200.

2.D"après le texte, on peut dire que :?an+1=0,9an+0,15bn-5

b n+1=0,1an+0,85bn+5avec?a0=1100 b

0=1100

On utilise un tableur pour visualiser l"évolution du volumed"eau dans les bassins.

On donne les formules à écrire et à recopier vers le bas dans les cellules B3 et C3 permettant

d"obtenir la feuille de calcul du texte : ABC

1JournVolume bassin AVolume bassin B

201100,001100,00

31= B2 * 0.9 + C2 * 0.15 - 5= B2 * 0.1 + C2 * 0.85 + 5

421187,501012,50

531215,63984,38

6.........

3.La suite (an) donnant le volume d"eau dans le bassin A semble croissante et tendre vers 1300,

tandis que la suite (bn) donnant le volume d"eau dans le bassin B semble décroissante et tendre vers 900.

Amérique du Nord630 mai 2014

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

quotesdbs_dbs48.pdfusesText_48

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30 mai 2014

Exercice15 points

Commun à tous lescandidats

Partie A : Conditionnementdes pots

1.On veutp(X?49). Avec la calculatricep(X?49)≈0.202.

2.On noteσ?le nouvel écart-type, etZla variable aléatoire égale àX-50σ?

σ??X=σ?Z+50

Z?-1σ??

On doit donc avoir-1

σ?=-1,555?σ?=11,555≈0,643

La valeur attendue deσ?est donc 0,643.

3. a.Ici, l"épreuve de Bernoulli consiste à tester si un pot est non conforme considéré comme suc-

Partie B : Campagnepublicitaire

0,622;0,792]est donc un intervalle de confiance au seuil de 95% de la proportion de personnes sa-

Exercice26 points

Commun à tous lescandidats

Partie A : PositionsrelativesdeCfetD

1.Pour tout réelxde l"intervalle [0 ;+∞[,

Comme e

0 (exponentielle),g(x) est du signe de 5-3e-x.

5-3e-x>0?5>3e-x?53>e-x?ln?53?

2.La courbeCfet la droiteDont un point commun d"abscissexsi et seulement sif(x)=x-3 soit

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

Partie B : Étude de la fonctiong

à l"évolution de la distanceMN.

1.CommeMetNont la même abscisse, pour toutxde l"intervalle [0 ;+∞[,

2.Siuest dérivable,(eu)?=u?eu.

3.gétant dérivable sur [0 ;+∞[, on étudie le signe de sa dérivée sur [0 ;+∞[.

Pour toutxde l"intervalle [0 ;+∞[,

6-3×?

Partie C : Étude d"une aire

A(x)=?

1.A(2)=?

2.La fonctiongest continue sur [0;+∞[ etA(x)=?

3.Pour tout réelxstrictement positif,

A(x)=?

2e-2t?x

2e-2x+12?

2e-2x-32

A(x)=3

2e-2x-5e-x+72

Amérique du Nord230 mai 2014

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

0,51,0

On poseX=e-x

2e-2x-5e-x+32=0?Xsolution de32X2-5X+32=0

3ouX=3

3ou e-x=3 on revient àxetX=e-x

3=-(-ln3)=ln3

Finalement,A(x)=2?x=ln3.

Exercice34 points

Commun à tous lescandidats

Partie A : Sectiondu cube par le plan(MNP)

1.Dans le plan (EFG), les droites (PM) et (FG) ne sont pas parallèles, elles sont donc sécantes; on

2. a.Les droites (LN), (BF) et (CG) sont coplanaires dans le plan (BCG) d"où les constructions de

L?(MP)=?L?(MNP)

N?(MNP)?

Q?(LN)???

Amérique du Nord330 mai 2014

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

R?(MP)=?R?(MNP)

R?(EF)=?R?(ABF)?

P?(MNP) etP??(ABF).

3.NotonsSle point d"intersection de (AE) et (QR).

Partie B

L"espace est rapporté au repère

A;-→AB,--→AD,-→AE?

1.Mest le milieu du segment [EH] doncMa pour coordonnées?0+0

2;0+12;1+12?

0 ;12; 1?

2;0+12;1+02?

1 ;12;12?

P(x;y;z) vérifie--→HP=1

4--→HG, on a donc :???????x-0=1

4y-1=0

4; 1; 1?

2.Pourcalculerles coordonnéesdupointL,onécritles systèmes dereprésentations paramétriques

Amérique du Nord430 mai 2014

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