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EXERCICE 1On se place dans le plan complexe rapporté au repère?

O,-→u ,-→v?

Soitfla transformation qui à tout nombre complexeznon nul associe le nombre complexef(z) défini par :

f(z) =z+1 z. On noteMle point d"affixezetM?le point d"affixef(z).

1.On appelle A le point d"affixea=-⎷

2+ i⎷

2 2. a.Déterminer la forme exponentielle dea. b.Déterminer la forme algébrique def(a).

2.Résoudre, dans l"ensemble des nombres complexes, l"équationf(z) = 1.

3.SoitMun point d"affixezdu cercleCde centre O et de rayon 1.

a.Justifier que l"affixezpeut s"écrire sous la formez= eiθavecθun nombre réel. b.Montrer quef(z) est un nombre réel.

4.Décrire et représenter l"ensemble des pointsMd"affixeztels quef(z) soit un nombre réel.

EXERCICE 2On munit le plan complexe d"un repère orthonormé direct?

O,-→u ,-→v?

On noteCl"ensemble des pointsMdu plan d"affixeztels que|z-2|= 1.

1.Justifier queCest un cercle, dont on précisera le centre et le rayon.

2.Soitaun nombre réel. On appelleDla droite d"équationy=ax.

Déterminer le nombre de points d"intersection entreCetDen fonction des valeurs du réela.

EXERCICE 3On considère la suite (zn) de nombres complexes définie pour tout entier naturelnpar :

?z0= 0 z n+1=1

2i×zn+ 5

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on noteMnle point d"affixezn. On considère le nombre complexezA= 4 + 2i et A le point du plan d"affixezA.

1.Soit (un) la suite définie pour tout entier naturelnparun=zn-zA.

a.Montrer que, pour tout entier natureln, un+1=1

2i×un.

b.Démontrer que, pour tout entier natureln:un=?1 2i? n (-4-2i).

2.Démontrer que, pour tout entier natureln, les points A,MnetMn+4sont alignés.

EXERCICE 4On veut modéliser dans le plan la coquille d"un nautile à l"aide d"une ligne brisée en forme de spirale.

On s"intéresse à l"aire délimitée par cette ligne. On munit le plan d"un repère orthonormal direct (O;-→u;-→v).

Soitnun entier supérieur ou égal à 2. Pour tout entierkallant de 0 àn, on définit les nombres complexes

z k=? 1 +k n? e i2kπ net on noteMkle point d"affixezk.

Dans ce modèle, le pourtour du nautile est la ligne brisée reliant tous les pointsMkavec 0?k?n.

Par exemple, pour les entiersn= 6,n= 10 etn= 20, on obtient les figures ci-dessous. n= 6n= 10n= 20 1 -1 -21 2-1-21 -1 -21 2-1-21 -1 -21 2-1-2

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Terminale SExercices Bac : complexes2016-2017

Partie A : Ligne brisée formée à partir de sept points Dans cette partie, on suppose quen= 6. Ainsi, pour 0?k?6, on azk=? 1 +k 6? e i2kπ 6.

1.Déterminer la forme algébrique dez1.

2.Vérifier quez0etz6sont des entiers que l"on déterminera.

3.Calculer la longueur de la hauteur issue deM1dans le triangleOM0M1puis établir que l"aire de ce triangle est

égale à

7⎷

3 24.
Partie B : Ligne brisée formée à partir den+ 1 points Dans cette partie,nest un entier supérieur ou égal à 2.

1.Pour tout entierktel que 0?k?n, déterminer la longueurOMk.

2.Pourkentier tel que 0?k?n-1, déterminer une mesure des angles?-→u;---→OMk?

et?-→u;-----→OMk+1? En déduire une mesure de l"angle?---→OMk;-----→OMk+1?

3.Pourkentier tel que 0?k?n-1, démontrer que la longueur de la hauteur issue deMk+1dans le triangle

OM kMk+1est égale à?

1 +k+ 1

×sin?2πn?

4.On admet que l"aire du triangleOMkMk+1est égale àak=1

2sin?2πn?

1 +kn??

1 +k+ 1n?

et que l"aire totale délimitée par la ligne brisée est égale àAn=a0+a1+···+an-1. L"algorithme suivant permet de calculer l"aireAnlorsqu"on entre l"entiern:

VARIABLESAest un nombre réel

kest un entier nest un entier

TRAITEMENT Lire la valeur den

Aprend la valeur 0

Pourkallant de 0 à n-1

Aprend la valeurA+1

2sin?2πn?

1 +kn??

1 +k+ 1n?

Fin Pour

SORTIE AfficherA

On entre dans l"algorithmen= 10

Recopier et compléter le tableau ci-dessous qui illustre lefonctionnement de l"algorithme. k0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

A0,323 0,711 1,170 1,705 2,322 3,027 3,826 4,726

5.On admet queA2= 0 et que la suite (An) converge et que limn→+∞An=7π3≈7,3.

Recopier et compléter les lignesL6 etL13 de l"algorithme ci-après qui permet de déterminer le pluspetit entier

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O,-→u ,-→v?

1.On appelle A le point d"affixea=-⎷

2+ i⎷

2.Résoudre, dans l"ensemble des nombres complexes, l"équationf(z) = 1.

3.SoitMun point d"affixezdu cercleCde centre O et de rayon 1.

4.Décrire et représenter l"ensemble des pointsMd"affixeztels quef(z) soit un nombre réel.

O,-→u ,-→v?

1.Justifier queCest un cercle, dont on précisera le centre et le rayon.

2.Soitaun nombre réel. On appelleDla droite d"équationy=ax.

2i×zn+ 5

1.Soit (un) la suite définie pour tout entier naturelnparun=zn-zA.

2i×un.

2.Démontrer que, pour tout entier natureln, les points A,MnetMn+4sont alignés.

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1.Déterminer la forme algébrique dez1.

2.Vérifier quez0etz6sont des entiers que l"on déterminera.

3.Calculer la longueur de la hauteur issue deM1dans le triangleOM0M1puis établir que l"aire de ce triangle est

égale à

7⎷

1.Pour tout entierktel que 0?k?n, déterminer la longueurOMk.

2.Pourkentier tel que 0?k?n-1, déterminer une mesure des angles?-→u;---→OMk?

3.Pourkentier tel que 0?k?n-1, démontrer que la longueur de la hauteur issue deMk+1dans le triangle

1 +k+ 1

×sin?2πn?

4.On admet que l"aire du triangleOMkMk+1est égale àak=1

2sin?2πn?

1 +kn??

1 +k+ 1n?

VARIABLESAest un nombre réel

TRAITEMENT Lire la valeur den

Aprend la valeur 0

Pourkallant de 0 à n-1

Aprend la valeurA+1

2sin?2πn?

1 +kn??

1 +k+ 1n?

Fin Pour

SORTIE AfficherA

On entre dans l"algorithmen= 10

A0,323 0,711 1,170 1,705 2,322 3,027 3,826 4,726

5.On admet queA2= 0 et que la suite (An) converge et que limn→+∞An=7π3≈7,3.

L1 VARIABLES :Aest un nombre réel

L2kest un entier

L3nest un entier

L4 TRAITEMENT :nprend la valeur 2

L5Aprend la valeur 0

L6 Tant que............

L7nprend la valeurn+ 1

L8Aprend la valeur 0

L9 Pourkallant de 0 àn-1

L10Aprend la valeurA+1

2sin?2πn?

1 +kn??

1 +k+ 1n?

Fin Pour

L12 Fin Tant que

L13 SORTIE : Afficher...

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