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A. P. M. E. P.

?Baccalauréat ES Nouvelle-Calédonie?2 mars 2015

EXERCICE15 points

Commun à tous lescandidats

Soitfla fonction définie sur l"intervalle[1,5; 6]par :f(x)=(25x-32)e-x On noteCla courbe représentative de la fonctionfdans un repère du plan.

On donnef?(x)=(57-25x)e-xetf??(x)=(25x-82)e-x.

1. a.On sait quef?(x)=(57-25x)e-xet que e-x>0 pour toutx; doncf?(x) est du signe de 57-

25x:
x1,557256 f?(x)+++0--- b.f(1,5)=5,5e-1,5≈1,23;f?5725?=25e-5725≈2,56 etf(6)=118e-6≈0,29 D"où le tableau de variation defsur l"intervalle[1,5 ;6]: x1,557256 f?(x)+++0--- 2,56 f(x)

1,230,29

2.Un point d"inflexion est un point où la courbe représentant lafonction traverse sa tangente; la

courbe admet un point d"inflexion au point d"abscissex0si et seulement si la dérivée seconde de

la fonction s"annule et change de signe enx0. On sait quef??(x)=(25x-82)e-x. Pour toutx, e-x>0 doncf??(x) est du signe de 25x-82 qui s"annule et change de signe pourx=82 25.
Sur l"intervalle[1,5; 6], la courbeCadmet donc un unique point d"inflexion d"abscisse82 25.

3.Dans cette question, on s"intéresse à l"équationf(x)=1.

a.On complète le tableau de variation de la fonctionf: x1,557256 2,56 f(x)

1,230,29

1α D"après le tableau de variation def, on peut dire que l"équationf(x)=1 admet une solution uniqueαsur l"intervalle[1,5; 6]et queαapprtient à l"intervalle?57

25; 6?

Orf(4)≈1,25>1 etf(5)≈0,63<1, donc 4<α<5. L"équationf(x)=1 admet donc une solution uniqueαsur l"intervalle[4; 5]. b.Onaécritl"algorithme suivant permettant dedéterminer une valeur approchée delasolution de l"équationf(x)=1 sur l"intervalle[4; 5]:

Baccalauréat ESA. P. M. E. P.

Initialisation

aprend la valeur 4 bprend la valeur 5

Traitement

Tant queb-a>0,1 faire

yprend la valeurf?a+b2?

Siy>1 alors

aprend la valeura+b2

Sinonbprend la valeura+b2Fin de Tant que

Sortie

Affichera+b2

Il s"agit d"une recherche de valeurs approchées de solutions d"équation par dichotomie. On exécute l"algorithme et on complète le tableau : a+b

2yà 10-3

prèsabb-aSortie

Initialisation451

1reboucle "Tant que»4,50,89444,50,5

2eboucle "Tant que»4,251,0594,254,50,25Non

3eboucle "Tant que»4,3750,9744,254,3750,125Non

4eboucle "Tant que»4,31251,0164,31254,3750,0625Oui

c.D"après les calculs précédents : f(4,3125)≈1,016>1 etf(4,375)≈0,974<1 donc 4,3125<α<4,375. On peut donc dire que 4,3 est une valeur approchée deαau dixième. Le solveur d"une calculatrice donne4,336comme valeur approchée deα.

EXERCICE25 points

Commun à tous lescandidats

PartieA : sélectiondes pommes

On peut représenter la situation décrite dans le texte par unarbre pondéré : C 0,86T

1-0,03=0,97

T0,03

C1-0,86=0,14

T0,02

T1-0,02=0,98

1.L"événement "la pomme prélevée est conforme et est acceptéepar la machine » correspond à

l"événementC∩T. D"après l"arbre pondéré :P(C∩T)=P(C)×PC(T)=0,86×0,97=0,8342

2.D"après la formule des probabilités totales :P(T)=P(C∩T)+P?

C∩

T?

Nouvelle-Calédonie - Corrigé22 mars 2015

Baccalauréat ESA. P. M. E. P.

3.Une pomme prélevée est acceptée par la machine. L"événement" la pomme est conforme sa-

chant qu"elle est acceptée par la machine» est l"événementPT(C). P

T(C)=P(C∩T)

P(T)=0,83420,837≈0,997

PartieB : contrôled"un fournisseur

On formule l"hypothèse que 86% des pommes de ce fournisseur sont conformes doncp=0,86.

1.Pour une proportionpet un échantillon de taillen, l"intervalle de fluctuation asymptotique au

seuil de 95% est :???p-1,96? p?1-p? ?n;p+1,96? p?1-p? ?n??? Donc l"intervalle de fluctuation asymptotiqueIau seuil de 95% de la fréquence des pommes conformes dans un échantillon de taille 80 est : I=?

0,86-1,96?

0,86(1-0,86)?80; 0,86+1,96?

0,86(1-0,86)?80?

≈[0,783; 0,937]

2.L"entreprise a constaté que seulement 65 pommes de l"échantillon étaient conformes.

La fréquence observée de pommes conformes est doncf=65

80=0,8125.

Cette fréquence appartient à l"intervalleIdonc il n"y a pas lieu, au vu de l"échantillon étudié, de

remettre en cause l"hypothèse selon laquelle 86% des pommessont conformes.

EXERCICE35 points

Commun à tous lescandidats

Soitgla fonction définie et dérivable sur l"intervalle[0,5; 5]par :g(x)=2ln(x)+1 x. On noteg?sa fonction dérivée etΓsa courbe représentative dans le repère ci-dessous. Soit B le point deΓd"abscisse 1; la droite (OB) est tangente en B à la courbeΓ.

1.Le point A d"intersection de la courbeΓavec l"axe des abscisses a pour ordonnée 0; son abscisse

est solution de l"équationg(x)=0. On résout sur[0,5 ;5]l"équationg(x)=0 : g(x)=0??2ln(x)+1 x=0??2ln(x)+1=0??ln(x)=-12??x=e-1 2

De plus e

-1

2?[0,5; 5]. Les coordonnées de A sont donc?

e-12; 0?

2. a.On calcule la dérivée de la fonctiongsur[0,5 ;5]:

g ?(x)=2 x×x-(2ln(x)+1)×1 x2=2-2ln(x)-1x2=1-2ln(x)x2 b.Sur[0,5 ;5]x2>0 doncg?(x) est du signe de 1-2ln(x) :

1-2ln(x)>0??1

2>ln(x)??e1

2>xdonc

g ?(x)>0 sur?

0,5; e1

2? ,g?? e12? =0 etg?(x)<0 sur? e12; 5? c.On peut en déduire les variations de la fonctiongsur[0,5; 5]: • la fonctiongest strictement croissante sur?

0,5; e1

2? • elle admet un maximum enx=e1 2et • elle est strictement décroissante sur? e1 2; 5?

3.Il est dit dans le texte que la droite (OB) est tangente en B à lacourbeΓ; la droite (OB) passe par

le point O et le point B d"abscisse 1 et d"ordonnéeg(1)=1. Donc son équation esty=x. La tangente à la courbeΓen B a pour équationy=x.

4. a.OnnoteDle domaine définipar l"axe desabscisses, la courbeΓetles droitesd"équationx=1

etx=3.

Nouvelle-Calédonie - Corrigé32 mars 2015

Baccalauréat ESA. P. M. E. P.

12

1 2 3 4 5

1,5 D AB Par lecture graphique, on peut voir que l"aire du domaineDest comprise entre 2 et 3 unités d"aire. b.SoitGla fonction définie sur l"intervalle[0,5; 5]parG(x)=ln(x)[ln(x)+1]. G ?(x)=1 x[ln(x)+1]+ln(x)×1x=2ln(x)+1x=g(x)doncGest une primitive degsur[0,5 ;5]. c.La fonctiongest dérivable et strictement positive sur[1 ;3]donc l"aire du domaineDest

égale à

3 1 g(t)dt=G(3)-G(1)=ln(3)(ln(3)+1)-ln(1)(ln(1)+2)=ln(3)2+ln(3) unités d"aire.

EXERCICE45 points

Enseignementobligatoire

Dans une grande entreprise, les commerciaux ont le choix de services de téléphonie mobile exclusive-

ment entre deux opérateurs concurrents : A et B.

1.On sait que 18% des abonnés à l"opérateur A changent d"abonnement en fin d"année, donc il en

reste 82%. On sait que 22% des abonnés de l"opérateur B passent chez A l"année suivante.

Donc le nombreun+1d"abonnés à l"opérateur A l"annéen+1 est constitué des 82% des abonnés

de l"opérateur A l"annéen, ce qui fait 0,82un, et des 22% d"abonnés de l"opérateur B qui passent

chez A, ce qui fait 0,22vn.

Doncun+1=0,82un+0,22vn

Deplus, comme lescommerciaux sontabonnés exclusivement chezles opérateurs Aet Bonpeut dire queun+vn=1. 2. un+1=0,82un+0,22vn u n+vn=1?

3.On considère la suite(wn)définie pour toutnparwn=un-0,55; doncun=wn+0,55.

a.Pour toutn:wn+1=un+1-0,55=0,6un+0,22-0,55 =0,6(wn+0,55)-0,33=0,6wn+0,33-0,33 =0,6wn w

0=u0-0,55=0,4-0,55=-0,15; on peut donc dire que

la suite (wn) est une suite géométrique de premier termew0=-0,15 et de raisonq=0,6. b.La suite (wn) est une suite géométrique de premier termew0= -0,15 et de raisonq=0,6 donc, pour toutn:wn=w0×qn=-0,15×(0,6)n. c.Pour toutn,un=wn+0,55 etwn=-0,15×(0,6)n, doncun=0,55-0,15×(0,6)n.

4.Encalculantu10≈0,549,u20≈0,54999 etu30≈0,54999997, on peut conjecturer que lasuite (un)

a pour limite 0,55.

C"est un résultat du cours : une suite géométrique ayant une raison q telle que0?q<1, a pour

limite 0. Donc la suite(wn)a pour limite 0 et donc la suite(un)a pour limite 0,55. Le termeundésigne la proportion de commerciaux qui disposent d"un abonnement chez l"opé- rateur A; cette proportion va donc tendre vers 55%.

Nouvelle-Calédonie - Corrigé42 mars 2015

Baccalauréat ESA. P. M. E. P.

EXERCICE45 points

Enseignementde spécialité

Une société est spécialisée dans la vente en ligne de produits de haute technologie sur internet.

PartieA

1.On représente la situation décrite dans le texte par un graphe probabiliste de sommetsVet

V: V V 0,4 0,2

0,60,8

2.D"après le texte on peut dire que?xn+1=0,6xn+0,2yn

y n+1=0,4xn+0,8yn ce qui équivaut à : ?xn+1yn+1?=?xnyn?×?0,6 0,40,2 0,8? La matrice de transition est doncM=?0,6 0,40,2 0,8?

3.P1=?0,05 0,95?donc

P

2=P1×M=?0,05 0,95?×?0,6 0,40,2 0,8?

?0,05×0,6+0,95×0,2 0,05×0,4+0,95×0,8?=?0,22 0,78?

4.On admet que le taux de visites se stabilise à long terme.SoitSla matrice?1

323?
; elle peut correspondre à un état du système car13+23=1.

S×M=?1

323?

×?0,6 0,40,2 0,8?

=?0,63+0,430,43+1,63? ?1 323?
Donc ?1 323?
est un état stable du système.

PartieB

1.On veut parcourir le réseau proposé dans cette partie en empruntant chaque arête une et une

seule fois; autrement dit on cherche une chaîne eulérienne dans ce graphe.

On note les degrés de chaque sommet :

ABCDEFGHI

434246432

Il y a exactement deux sommets de degrés impairs dans ce graphe, B et H, donc on peut réaliser des parcours empruntant chaque fibre optique une fois et une seule, partant du routeur B pour se terminer au routeur H, ou partant du routeur H pour se terminer au routeur B.

2.On va chercher, au moyen de l"algorithme de Dijkstra le parcours le plus court reliant A à I :

Nouvelle-Calédonie - Corrigé52 mars 2015

Baccalauréat ESA. P. M. E. P.

ABCDEFGHIOn garde

30 (A)30 (A)20 (A)∞50 (A)∞∞∞D

30 (A)30 (A)∞50 (A)∞∞∞

60(B)B

30 (A)40 (B)50 (A)∞∞∞

50(B)C

40 (B)50 (A)∞∞∞

70(C)70(C)E

50 (A)80 (E)∞∞

80(E)F

80(E)80 (F)∞

60 (F)G

80 (F)70 (G)

90(G)I

Le chemin le plus court pour relier A à I est : A50-→F10-→G10-→I Donc le paquet de données qui a mis 70 ms pour transiter du routeur A au routeur I a emprunté le chemin le plus rapide.

Nouvelle-Calédonie - Corrigé62 mars 2015

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