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es : n est un entier naturel u est un réel positif Initialisation : Demander la valeur de n Affecter à 



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Amérique du Nord 30 mai 2013 - APMEP

Corrigé du baccalauréat S Amérique du Nord 30 mai 2013 Exercice 1 5 points





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Exercice 2 Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité 5 points On considère la suite ( un) définie par u0=1 et pour tout entier naturel n, un+1=√2un.

1. On considère l'algorithme suivant :

Variables : n est un entier naturel u est un réel positif Initialisation : Demander la valeur de n

Affecter à u la valeur 1

Traitement : Pour i variant de 1 à n ;

Affecter à u la valeur

√2u

Fin Pour

Sortie : Afficher u

a. Donner une valeur approchée à 10-4près du résultat qu'affiche cet algorithme lorsque l'on choisit n = 3. b. Que permet de calculer cet algorithme ? c. Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées obtenues à l'aide de cet algorithme pour certaines valeurs de n. Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite ( un) ?

2. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n, 0 < un2

b. Déterminer le sens de variation de la suite ( un). c. Démontrer que la suite ( un) est convergente. On ne demande pas la valeur de la limite.

3. On considère la suite (

vn) définie, pour tout entier n, par vn=lnun-ln2. a. Démontrer que la suite ( vn) est la suite géométrique de raison 1

2 et de premier

terme vo=-ln2. b. Déterminer , pour tout entier naturel n, l'expression de vn en fonction de n puis de un en fonction de n. c. Déterminer la limite de la suite de la suite ( un). d. Recopier l'algorithme ci-dessous et le compléter par les instructions du traitement et de la sortie, de façon à afficher en sortie la plus petite valeur de n telle que un > 1,999. Copyright  meilleurenmaths.com. Tous droits réservésPage 1

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Variables : n est un entier naturel u est un réel Initialisation : Affecter à n la valeur 0

Affecter à u la valeur 1

Traitement :

Sortie :

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CORRECTION

1. u0=1 un+1=√2un a. 1ère boucle

n=1 on affecte à u la valeur : √2 ≃ 1,4142

2ième boucle

n=2 on affecte à u la valeur : √2√2 ≃ 1,6818

3ième boucle

n=3 on affecte à u la valeur : √2√2√2 ≃ 1,8340 b. Cet algorithme permet de calculer : un (pour la valeur de n donnée) c. ( un) est une suite croissante ( un) est une suite convergente ( limn→+∞un= 2 )

2. a. On veut démontrer en utilisant un raisonnement par récurrence que pour tout entier

naturel n, on a : 0 < un 2

Initialisation

u0=1 donc 0 < u0  2

La propriété est vérifiée pour n = 0.

Hérédité

Pour démontrer que la propriété est héréditaire pour tout entier naturel n, on suppose

que 0 < un  2, et on doit démontrer que 0 < un+1  2. On a : 0 < un 2 en multipliant par deux les trois membres de la double inégalité on obtient : 0 < 2un  4. La fonction racine carrée est strictement croissante sur [0;+∞[ donc √0 < √2un  √4 soit0 < un  2.

Conclusion

Le principe de récurrence permet d'affirmer que pour tout entier naturel n : 0 < un  2 b. Pour tout entier naturel n : un+1-un= √2un+un=2un-un2√2un+un= un(2-un)√2un+un Or un > 0 et √2un+un > 0 et 2 - un  0 donc un+1-un 0 soit un+1  un

Conclusion

La suite ( un) est croissante.

c. La suite ( un) est une suite suite croissante est majorée par 2 donc la suite ( un) est convergente.

3. Pour tout entier naturel n

vn=lnun-ln2 a. vn+1=ln(un+1)-ln2=ln √2un-ln2=1

2ln2un-ln2=1

2(ln2+lnun)-ln2

vn+1=1

2ln2+1

2lnun-ln2=1

2lnun-1

2ln2=1

2(lnun-ln2)=1

2vnCopyright  meilleurenmaths.com. Tous droits réservésPage 3

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v0=lnu0-ln2=ln1-ln2=-ln2 ( vn) est la suite géométrique de premier terme v0=-ln2 et de raison q = 1 2. b. vn=v0×qn vn=(-ln2)×(1 2)n vn=lnun-ln2= lnun

2 donc

un

2=evn soit un

2=e(-ln2)(1

2)n un 2=(1 2)(1

2]n et

un=2(1 2)(1

2]n c. 0 <

1

2 <1 donc limn→+∞(1

2)n = 0 et limn→+∞vn= 0

Conséquence

limn→+∞ evn= e0= 1 et limn→+∞un 2= 1

Conclusion

limn→+∞un= 2 d. Variables : n est un entier naturel u est un réel Initialisation : Affecter à n la valeur 0

Affecter à u la valeur 1

Traitement : Tant que u  1,9999

Affecter à n la valeur n + 1

Affecter à u la valeur

√2u

Fin Tant que

Sortie : Afficher n

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