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?Corrigé du baccalauréat STI2D/STLspécialité SPCL?

Métropole-La Réunion 8 septembre2016

EXERCICE16 points

Dans une entreprise de fabrication de pièces métalliques, un ouvrier doit manipuler des plaques

chaudes pendant une dizaine de secondes. À la sortie du four,les plaques sont à une température

de 300 °C et disposées dans une pièce dont la température ambiante est maintenue à 26 °C par un

système de ventilation.

La commission de sécurité prescrit qu"avec les gants actuels, l"ouvrier doit attendre 10 minutes pour

manipuler les plaques à leur sortie du four. Afin de réduire cedélai d"attente, le directeur s"interroge

sur l"achat de nouveaux gants dont les caractéristiques techniques établies par la commission de

sécurité sont les suivantes :

•Sans couture.

•Très doux et confortables.

•Température maximale d"utilisation : 240 °C.

1. a.La température des plaques à la sortie du four est de 300°C.

b.À la sortie du four, la température des plaques diminue au cours du temps. c.La température des plaques devrait se stabiliser à la température ambiante, soit 26°C.

2.La température d"une plaque depuis sa sortie du four, est modélisée en fonction du tempst,

exprimé en minutes, par la fonctiongest définie sur l"intervalle[0 ;+∞[par g(t)=274eat+26 oùaest un nombre réel. a.g(0)=274e0+26=274+26+300. Ce résultat est conforme auxdonnées puisque 300°Cest la température à la sortie du four, soit au tempst=0.

b.D"après la question 1, la fonctiongdoit être décroissante sur[0 ;+∞[donc le réeladoit

être négatif.

est de 262 °C; cela veut dire queg(3)=262. On chercheapour queg(3)=262 :

274??3a=ln?236274?

??a=1

3ln?236274?

donca≈-0,05.

3.Pour tout nombre réeltde l"intervalle[0 ;+∞[:g(t)=274e-0,05t+26.

a.Avec les gants actuellement utilisés, l"ouvrier manipule les plaques au bout de 10 minutes donc à la température :g(10)=274e-0,5+26≈192,2°C. b.Si les ouvriers sont équipés avec les nouveaux gants, ils pourront sortir les plaques dès qu"elles atteignent la température de 240°C. On cherche doncttel queg(t)?240 : 274
?? -0,05t?ln?214 274?
??t?-10,05ln?214274? donct?4,9 minutes. Les ouvriers pourront manipuler les plaques 4,9 minutes après leurs sorties du four. c.Passer de 10 min à 4,9 min représente un gain de 5,1 min sur 10 min, soit un gain de 51%. Corrigédu baccalauréat STI2D/STLA. P. M. E. P.

EXERCICE24 points

Une usine métallurgique fabrique des boîtes de conserve pour des entreprises spécialisées dans le

conditionnement industriel de légumes. La probabilité qu"une boîte prélevée au hasard soit non conforme est 0,04.

Un lot de200 boîtes choisies au hasard est livré à une entreprise spécialisée dans le conditionnement

des légumes. Le nombre de boîtes fabriquées par cette usine métallurgique est assez important pour

pouvoir assimiler un tel prélèvement à un tirage avec remisede 200 boîtes.

PARTIE A

La variable aléatoireXdésigne le nombre de boîtes non conformes dans un tel lot.

1.On est dans le cas d"une répétition de 200 épreuves indépendantes qui n"ont que 2 issues;

donc la variable aléatoireXsuit la loi binomiale de paramètresn=200 etp=0,04.

2.La probabilité qu"un tel lot contienne exactement quatre boîtes non conformes est :

P(X=4)=?

200
4? 0,04

4(1-0,04)200-4≈0,055.

PARTIE B

On décide d"approcher la loi binomiale suivie parXpar la loi normale d"espéranceμ=8 et d"écart

typeσ=2,77.

1.La moyenne estμ=np=200×0,04=8 et l"écart-typeσ=?

np(1-p)=?7,68≈2,77.

2.À l"aide de la loi normale de paramètresμ=8 etσ=2,77 :

a.P(6?X?10)≈0,530. La probabilité que, sur 200 boîtes, il y en ait entre 4 et 10 de non conformes est de 0,530. b.P(X?4)≈0,074

PARTIE C

Dans le lot livré de 200 boîtes, on compte 11 boîtes non conformes soit une fréquence def=11

200=

0,055.

n=200?30,np=8?5 etn(1-p)=192?5 donc on peut déterminer l"intervalle de fluctuation au seuil de 95% : I=? p-1,96? p(1-p) n;p+1,96? p(1-p) n?

0,04-1,96?

0,04×0,96

200; 0,04+1,96?

0,04×0,96

200?

0,012 ; 0,068?

La fréquencefdes boîtes non conformes est de 0,055; orfappartient à l"intervalle de fluctuation

donc le fabriquant n"a pas de raison de s"inquiéter.

Métropole-La Réunion28 septembre 2016

Corrigédu baccalauréat STI2D/STLA. P. M. E. P.

EXERCICE33 points

1. Proposition1 :eiπ

4+ei3π4=i?2.

e iπ

4=cosπ4+i sinπ4=?

2 2+i? 2

2et ei3π

4=cos3π4+i sin3π4=-?

2 2+i? 2 2 donc e iπ

4+ei3π4=?2

2+i? 2 2+? 2 2+i? 2 2? =i?2.

Proposition1 vraie

2.La durée de vie, en heures, d"un composant électronique est une variable aléatoireTqui suit

la loi exponentielle de paramètreλ=5,5×10-4et dont la fonction de densité de probabilité

est représentée ci-dessous.

1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000ty

0

0,0005

Proposition2:la probabilité, arrondie à 0,01 près, qu"un composant électronique pris au ha-

sard ait une durée de vie inférieure à 1000 heures est 0,35. On peut justifier la réponse de deux façons. • On sait queP(T?1000) est égale à l"aire du domaine compris entre la courbe, l"axe des abscisses, et les deux droites verticales d"équationst=0 ett=1000; c"est l"aire de la partie grisée sur la figure. La partie hachurée sur la figure représente 7 rectangles dontchacun a une aire de

0,0001×500=0,05; l"aire de la partie hachurée est donc 7×0,05=0,35.

Cette partie hachurée a une aire inférieure à la partie grisée donc 0,35 n"est pas la valeur

arrondie à 10 -2près deP(T?1000).

• On sait que si une variable aléatoireTsuit une loi exponentielle de paramètreλ, alors

P(T?t)=1-e-λt.

Proposition2 fausse

3. Proposition3 :la valeur moyenne de la fonctionfdéfinie sur l"intervalle?π

2;π?par

f(x)=cos(x) est-2 La fonction cosinus a pour primitive la fonction sinus donc la valeur moyenne de la fonc- tionfdéfinie sur l"intervalle?π

2;π?est :1π-π2?

π2cos(x)dx=2π?

sin(x)?

π2=2π?

sinπ-sinπ2? 2 0-1? =-2π.

Proposition3 vraie

Métropole-La Réunion38 septembre 2016

Corrigédu baccalauréat STI2D/STLA. P. M. E. P.

EXERCICE47 points

Dans une municipalité, la collecte des déchets des particuliers s"effectue, depuis 2012, à l"aide de ca-

mions équipés de capteurs. Une tarification " incitative » permet aux habitations de diminuer leur

facture en réduisant la masse de leurs ordures ménagères résiduelles par un choix de produits com-

portant moins d"emballages, une réduction du gaspillage alimentaire et un meilleur tri.

Le document 1 présente la masse moyenne de déchets, en kilogrammes, collectés par année depuis

2012 et par habitation de la ville.

Ledocument2présente lestarifspratiqués en2015 par laville pourlacollecte desorduresménagères

résiduelles (on suppose que ces tarifs resteront identiques les années suivantes).

DOCUMENT1

Années2012à 2015

Année2012201320142015

Déchets recyclables261275289305

Ordures ménagères

résiduelles274269262256

Total535544551561

DOCUMENT2

Année 2015

Tranches

tarifairesTranche 1Tranche2Tranche3

MasseMen

kilogrammes0?M<100100?M<300300?M

Forfait200?300?420?

PARTIE A

1.Depuis 2012, la masse moyenne de déchets collectés par habitant est en augmentation régu-

lière; cela est dû exclusivement à l"augmentation de la masse des déchets recyclables, tandis

que la masse des ordures ménagères est en diminution.

2.Une famille a jeté 320 kg d"ordures ménagères résiduelles en2015 et elle diminue la masse de

ses ordures ménagères résiduelles (OM) de 1% par an. Avec 320 kg d"OM, cette famille est dans la tranche 3; elle passera dans la tranche 2 quand elle produira moins de 300 kg d"OM. Le tableau suivant donne la masse de ses OM (arrondie au kg) entenant compte de cette diminution :

Année20152016201720182019202020212022

OM en kg320317314310307304301298

Cette famille changera de tranche en 2022.

PARTIE B

En 2015, la municipalité comptait 10000 habitations. Dans le cadre de l"aménagement d"un nouveau quartier un constructeur garantit la livraison de 300 nouvelles habitations chaque année au 1 erjanvier, de 2016 à 2024. En raison de la demande, ces loge- ments seront immédiatement occupés dès le 1 erjanvier.

La municipalité a souscrit avec un centre d"incinération uncontrat de 9 ans qui a pris effet au 1er

janvier 2016. Le contrat prévoit de fortes pénalités financières dès que la masse annuelle d"ordures

Métropole-La Réunion48 septembre 2016

Corrigédu baccalauréat STI2D/STLA. P. M. E. P.

ménagèresrésiduelles àincinérervient àdépasser 2800 tonnes.L"objectif delamunicipalité estd"évi-

ter ces pénalités.

1.Chaque année, il y a300 habitations deplus donc256×300=76800 kg d"OMen plus, soit 76,8

tonnes. Le tableau suivant donne le nombre d"habitations et la massedes OM en tonnes à partir de

2015 :

AnnéeRangNb habitationsMasse OM

20150100002560

20161103002636,80

20172106002713,60

20183109002790,40

20194112002867,20

20205115002944,00

20216118003020,80

20227121003097,60

20238124003174,40

20249127003251,20

Donc, à partir de l"année 2019, la masse des OM dépassera 2800tonnes.

2.Afin d"atteindre cet objectif, il convient donc de diminuer la masse moyenne d"ordures mé-

nagères résiduelles à incinérer. La municipalité souhaitedéterminer le pourcentage annuel

minimal de réduction de la masse moyenne d"ordures ménagères résiduelles par habitation, pendant toute la durée du contrat. On admet que l"algorithme ci-dessous détermine ce pourcentage.

VariablesN: un nombre entier

m: un nombre réel q: un nombre réel

Initialisationqprend la valeur 1

Nprend la valeur 12700

mprend la valeur 0,246

TraitementTant queN×m?2800

qprend la valeurq-0,001 mprend la valeur 0,256×q9

Fin Tant que

SortieAfficher (1-q)×100

Cet algorithme affiche 1,7.

a.Pour que la masse des OM soit inférieure à 2800 tonnes sur toute la période du contrat, il

faut qu"elle soit inférieureà2800 tonnes lorsdel"année pour laquelle ily ale plus d"habita- tions; comme le nombre d"habitations augmente chaque année, c"est en 2024 qu"il y aura le plus d"habitations. Le nombre d"habitations en 2024 est de 10000+9×300=12700. b.Pour diminuer dep% de la masse des OM, on multiplie parq=1-p; on part de 256 kg, soit 0,256 tonne en 2015 et on multiplie chaque année parq. Donc en 2024, au rang 9, on multiplie la masse de départmparq9ce qui donnem×q9comme masse d"OM.

3.On considère que la masse annuelle moyenne d"orduresménagères résiduelles par habitation

va baisser chaque année de 1,7%, à partir du 1 erjanvier 2016 sur une période de 9 ans. On noteuncette masse, exprimée en tonnes, pour l"année 2015+noùnest un entier naturel.

On a doncu0=0,256.

Métropole-La Réunion58 septembre 2016

Corrigédu baccalauréat STI2D/STLA. P. M. E. P. a.Diminuer de 1,7%, c"est multiplier par 1-1,7100=0,983. u Le rang 3 correspond à l"année 2015+3=2018 donc selon ce modèle, en 2018 la masse moyenne d"OM par habitation sera de 0,243 tonne. b.On passe deunàun+1en multipliant par 0,093, donc la suite (un) est géométrique de raisonr=0,983 et de premier termeu0=0,256. c.On peut donc dire queun=u0×rn=0,256×0,983n. d.L"année 2014 correspond au rangn=9 :u9=0,256×0,9839≈0,21939. En 2024 il y aura 12700 habitations donc la masse totale d"OM en 2024 sera : 12700×

0,21939≈2786 tonnes.

On reste donc dans l"objectif fixé par la municipalité, en dessous des 2800 tonnes par an.

PARTIE C

Des contrôles sont effectués afin de vérifier le tri des déchets.

Protocoled"étude

On choisit au hasard 100 habitations. Des personnels ont ouvert les poubelles de déchets recyclables

de ces habitations afin de déterminer s"ils étaient conformes (absence de matériaux non recyclables,

de cartons souillés ...).

Résultatsde l"étude

Parmi ces 100 poubelles de déchets recyclables, 7 ont été jugées non conformes.

1.Un intervalle de confiance d"une proportionpau niveau de confiancede 95%, est donné par :

I=?? f-1,96? f?1-f? n;f+1,96? f?1-f? n?? oùfest la fréquence observée dans l"échantillon de taillen.

Ici,n=100 etf=7

100=0,07.

L"intervalle de confiance est donc :

I=?

0,07-1,96?

0,07×0,93

100; 0,07+1,96?

0,07×0,93

100?

0,020 ; 0,120?

On a donc une estimation du nombre de poubelles non conformesentre 2% et 12%.

2.La proportion de poubelles de déchets recyclables qui ne sont pas conformes n"est pas néces-

sairement comprise dans l"intervalle?

0,020 ; 0,120?

, mais on peut estimer que la probabilité que cet intervalle contienne la bonne proportion de poubelles non conforme est supérieure à 0,95.

Métropole-La Réunion68 septembre 2016

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