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A. P. M. E. P.

?Corrigé du baccalauréat S Amérique du Sud?

21/11/2013

Exercice16 points

Commun à tous lescandidats

PartieA

Soitfla fonction définie surRparf(x)=xe1-x.

1.e1-x=e×e-x=e

exdoncf(x)=e×xex.

2.limx→-∞1-x=+∞donc limx→-∞e1-x=+∞(par composition).

lim x→-∞x=-∞ lim x→-∞e1-x=+∞? =?limx→-∞xe1-x=-∞(par produit); limx→-∞f(x)=-∞.

3.On sait que limx→+∞e

x x=+∞donc limx→+∞xex=0 donc limx→+∞exex=0.

On a donc lim

x→+∞f(x)=0 ce qui veut dire que la courbe représentant la fonctionfadmet la droite d"équationy=0 comme asymptote horizontale en+∞.

4.La fonctionfest dérivable surRetf?(x)=1×e1-x+x(-1)e1-x=e1-x(1-x)

5.Pour tout réelx, e1-x>0 doncf?(x)est du signe de 1-x.

f (1)=1e0=1, d"où le tableau de variation de la fonctionf: x-∞1+∞

1-x+++0---

f?(x)+++0--- 1 f(x) -∞0

PartieB

Pour tout entier naturelnnon nul, on considère les fonctionsgnethndéfinies surRpar : g 1. (1-x)gn(x)=(1-x)?1+x+x2+···+xn? =1+x+x2+x3+···+xn -x-x2-x3-···-xn-xn+1=1-xn+1 On obtient alors, pour tout réelx?=1:gn(x)=1-xn+1 1-x.

2.Pour toutx,gn(x)=1+x+x2+···+xndoncg?n(x)=0+1+2x+···+nxn-1=hn(x).

Or, pour tout réelx?=1,gn(x)=1-xn+1

1-x; g nest une fonction rationnelle de typeu vdont la dérivée estu?v-uv?v2:

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

-(n+1)xn+nxn+1+xn+1+1-xn+1 (1-x)2=nxn+1-(n+1)xn+1(1-x)2

3.SoitSn=f(1)+f(2)+...+f(n), oùf(x)=xe1-x.

Orhn(x)=nxn+1-(n+1)xn+1

S n=n en+1-n+1en+1? 1-1 e? 2

On sait que lim

x→+∞e x x=+∞donc limx→+∞xex=0 donc limn→+∞nen=0 et limn→+∞n+1en+1=0.

De plus, lim

x→+∞x x+1=1 et limx→+∞x+1x=1 comme limites en+∞de fonctions rationnelles, donc lim n→+∞n n+1=1 et limn→+∞n+1n=1. n en+1=nn+1×n+1en+1; donc par produit, limn→+∞n+1n×n+1en+1=1×0=0. n+1 en=n+1n×nen; donc par produit, limn→+∞n+1n×nen=1×0=0.

Donc lim

n→+∞Sn=1 1-1 e? 2=e2 (e-1)2.

Exercice24 points

Commun à tous lescandidats

1.Dans le repère donné, A a pour coordonnées(0,0,0), B(1,0,0), D(0,1,0)et E(0,0,1).-→AF=--→AB+-→AE donc le point F a pour coordonnées(1,0,1).

La droite

(FD)a pour vecteur directeur--→DF de coordonnées(1,-1,1); de plus elle passe par le point D (0,1,0).

La droite

(FD)a pour représentation paramétrique :???x=t y=1-toùt?R z=t

2.Soit-→nle vecteur de coordonnées(1,-1,1). Ce vecteur est un vecteur normal au plan(BGE)s"il est

orthogonal aux deux vecteurs-→EB et--→EG directeurs du plan(BGE).-→EB a pour coordonnées(1,0,-1);-→n.-→EB=1×1+(-1)×0+1×(-1)=0 donc-→n?-→EB.--→EG=--→AC=--→AB+--→AD a pour coordonnées(1,1,0);-→n.--→BG=1×1+(-1)×1+1×0=0 donc-→n?--→EG.

Donc le vecteur-→n(1,-1,1)est normal au plan(BGE).

Le plan

(BGE)a pour vecteur normal-→net passe par le point B; c"est l"ensemble des points M?x,y,z? tels que

-→n?--→BM.--→BM a pour coordonnées?x-1,y,z?;-→n?--→BM??1×(x-1)+(-1)×y+1×z=0??x-y+z-1=0.

L"équation cartésienne du plan

(BGE)estx-y+z-1=0.

Amérique du Sud221 novembre2013

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

3.Le vecteur--→DF est égal au vecteur-→nqui est normal au plan(BGE)donc la droite(FD)est perpendi-

culaire au plan (BGE). Les coordonnées?x,y,z?du point d"intersection de la droite(FD)et du plan(BGE)sont solutions du système : ?x=t y=1-t z=t y=1-t z=t y=1-t z=t 3 y=1 3 z=2 3 t=2 3

Donc la droite

(FD)est perpendiculaire au plan(BGE)au point K de coordonnées?2

3,13,23?

4.Lessegments [BE],[EG]et[BG]sonttousles troisdesdiagonalesdecarrésdecôtés1;doncBE=EG=

BG=?

2. Le triangle BEG est équilatéral de côté?2.

SoitHle milieu de [EG]; ce point est aussi le pied de la hauteur issue de B dans le triangle équilatéral

BGE de côtéa=?

2. Dans un triangle équilatéral de côtéa, la hauteur est égale àa? 3

2(relations dans un triangle rec-

tangle); donc dans le triangle équilatéral BEG, la hauteur BH=?

2×?3

2=? 6 2.

L"aire du triangle BEG vaut

EG×BH

2=?

2×?6

2 2=? 12 4=2? 3 4=? 3 2.

5.Le volume d"un tétraèdre estaire de la base×hauteur

3. D"après les questions précédentes, le volume du tétraèdre BEGD estaire(BEG)×KD 3.

Dans le repère orthonormé

A ;--→AB,--→AD,-→AE?

2=(xD-xK)2+?yD-yK?2+(zD-zK)2=?

0-2 3? 2 1-13? 2 0-23? 2 =49+49+49=129donc KD=? 12 9=?

12?9=2?

3 3.

Le volume du tétraèdre est donc :

2×2?

3 3 3=13.

Exercice35 points

Candidatsn"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct.

On considère l"équation (E):z2-2z?

3+4=0.

1.On résout l"équation (E) :z2-2z?

3+4=0;Δ=?-2?3?2-4×1×4=12-16=-4.

L"équation admet donc deux solutions complexes conjuguées: z ?=-?-2?

3?+i?4

2=2? 3+2i

2=?3+i etz??=?3-i.

2.On considère la suite(Mn)des points d"affixeszn=2nei(-1)nπ

6, définie pourn?1.

a.z1=21ei(-1)1π

6=2ei-π6=2?

cos-π6+i sin-π6? =2? 3 2+i? -12? =?3-i=z??

Doncz1est solution de l"équation (E).

Amérique du Sud321 novembre2013

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

b.z2=22ei(-1)2π6=4eiπ6=4? cosπ6+i sinπ6? =4? 3

2+i12?

=2?3+2i z

3=23ei(-1)3π

6=8ei-π6=8?

cos-π6+i sin-π6? =8? 3 2+i? -12? =4?3-4i c. |z1|=2 donc le pointM1d"affixez1est situé sur le cercle de centre O et de rayon 2; de plus, la partie imaginaire dez1est-1 donc le pointM1est situé sur la droite d"équationy=-1. Pour placer le pointM2, on utilise le fait que|z2|=4 et que Im(z2)=2. Pour placer le pointM3, on utilise le fait que|z3|=8 et que Im(z3)=-4. z

4=24ei(-1)4π

6=16eiπ6; pour placer le pointM4, on utilise le fait que|z4|=16; de plus arg(z4)=π

6=arg(z2)donc les points O,M2etM4sont alignés doncM4?(OM2).

Voir la figure en annexe.

Sin?1 etnpair,(-1)n=+1, donc ei(-1)nπ

6=eiπ6=?3

2+i2=?

2+(-1)ni2.

Donc sin?1 pair,zn=2nei(-1)nπ

6=2n? ?3

2+(-1)ni2?

Sinimpair,(-1)n=-1, donc ei(-1)nπ

6=ei-π6=?3

2-i2=?

2+(-1)ni2.

Donc sinimpair,zn=2nei(-1)nπ

6=2n? ?3

2+(-1)ni2?

Donc pour tout entiern?1,zn=2n?

2+(-1)ni2?

3.4.M1M2=|z2-z1|=??2?

3+2i-??3-i???=??2?3+2i-?3+i??=???3+3i??

??3?2+32=?3+9=?12=2?3 M

2M3=|z3-z2|=??4?

?2?3?2+(-6)2=?12+36=?48=4?3=22?3 Pour la suite de l"exercice, on admet que, pour tout entiern?1,MnMn+1=2n? 3.

5.On note?n=M1M2+M2M3+···+MnMn+1.

a.D"après la question 4,?n=2?

La suite

(2n)définie pourn?1 est géométrique de raisonq=2 et de premier terme 21=2; la somme S de ses premiers termes consécutifs est donnée par la formule :

S=premier terme×1-raisonnombre de termes

1-raison

donc 2+22+···2n=2×1-2n

1-2=2×2n-12-1=2(2n-1)

n=?2+22+···+2n??

3=2?3(2n-1)

b.?n?1000??2? La fonction ln est strictement croissante sur ]0,+∞[, donc n?1000??ln(2n)?ln?1000

2?3+1?

??nln2?ln?10002?3+1?

Or ln2>0 donc

Amérique du Sud421 novembre2013

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

?n?1000??n?ln?10002?3+1? ln2??n?8,18.

Le plus petit entierntel que?n?1000 est 9.

On peut vérifier que?8=510?

3≈883<1000 et?9=1022?3≈1770>1000.

Amérique du Sud521 novembre2013

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

ANNEXE

À rendreavecla copie

Exercice3 : Candidatsn"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité -2 -4 -6 -82 468

2 4 6 8 10 12 14 16

O M1-1 M2 M3 M4

Amérique du Sud621 novembre2013

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

Exercice35 points

Candidatsayantsuivi l"enseignementde spécialité

1.D"après la formule des probabilités totales :

Si, après lan-ième navigation, l"internaute est sur la page no1 (évènementAn), il ne reste pas sur

cette page doncPAn(An+1)=0.

Si, après lan-ième navigation, l"internaute est sur la page no2 (évènementBn), il ira sur la page no1

avec une probabilité de 1

2doncPBn(An+1)=12.

Si, après lan-ième navigation, l"internaute est sur la page no3 (évènementCn), il ira sur la page no1

avec une probabilité de 1

2doncPCn(An+1)=12.

De plusP(An)=an,P(Bn)=bnetP(Cn)=cn.

Doncan+1=an×0+bn×1

2+cn×12=12bn+12cn

On aurait pu aussi construire un arbre pondéré pour représenter la situation.

On admet que, de même,bn+1=1

4an+14bn+14cnetcn+1=34an+14bn+14cn.

2.D"après la question précédente :

?a n+1=0×an+1

2bn+12cn

b n+1=1

4an+14bn+14cn

c n+1=3

4an+14bn+14cn??(((((((((a

n+1 b n+1 c n+1))))))))) =(((((((((0 1 212
1 41414
3

41414)))))))))

a n b n c n)))))))))

Donc en prenantM=(((((((((0

1 212
1 41414
3

41414)))))))))

on aUn+1=MUn.

SoitPnla propriétéUn=MnU0.

• Pourn=0,M0U0=U0carM0est la matrice identité((1 0 00 1 00 0 1))

Donc la propriété est vraie au rang 0.

• On suppose que la propriété est vraie au rangpquelconque avecp?0, c"est-à-direUp=MpU0.

On sait que, pour tout entier natureln,Un+1=MUndoncUp+1=MUp. Or, d"après l"hypothèse de récurrence,Up=MpU0, doncup+1=M×MpU0=Mp+1U0.

Donc la propriété est vraie au rangp+1.

• La propriété est vraie au rang 0; elle est héréditaire, doncelle est pour toutn?0.

Donc, pour tout entier natureln,Un=MnU0.

3.Soit la matrice colonneU=((x

y z)) telle que :x+y+z=1 etMU=U.

Amérique du Sud721 novembre2013

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

MU=U??(((((((((0

1 212
1 41414
3

41414)))))))))

x y z))))))))) =(((((((((x y z)))))))))

2y+12z=x

4x+14y+14z=y

4x+14y+14z=z

On doit donc résoudre le système

2y+12z=x

4x+14y+14z=y

4x+14y+14z=z

x+y+z=1?? ?y+z=2x(L1) x+y+z=4y(L2)

3x+y+z=4z(L3)

x+y+z=1 (L4)

De (L2) et (L4) on déduit 4y=1 d"oùy=1

4. (L1)??x+y+z=3xce qui donne en utilisant (L4) : 1=3x??x=1 3. (L4)??z=1-x-y=?z=1-1

3-14=512.

Comme on n"a pas procédé par équivalences, il faut vérifier que pour les trois valeurs dex,yetz

trouvées, les quatre lignes du système sont vérifiées, ce quise fait sans problème.

L"unique matrice colonneU=((x

y z)) telle que :x+y+z=1 etMU=U, estU=(((((1 3 1 4 5

12)))))

4.Pournentier non nul, on a :Mn=(((((((((((1

3+? -1 2? n×2 313+?
-1 2? n -313+? -1 2? n -3 1quotesdbs_dbs48.pdfusesText_48

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A. P. M. E. P.

21/11/2013

Exercice16 points

Commun à tous lescandidats

PartieA

Soitfla fonction définie surRparf(x)=xe1-x.

1.e1-x=e×e-x=e

2.limx→-∞1-x=+∞donc limx→-∞e1-x=+∞(par composition).

3.On sait que limx→+∞e

On a donc lim

4.La fonctionfest dérivable surRetf?(x)=1×e1-x+x(-1)e1-x=e1-x(1-x)

5.Pour tout réelx, e1-x>0 doncf?(x)est du signe de 1-x.

1-x+++0---

PartieB

2.Pour toutx,gn(x)=1+x+x2+···+xndoncg?n(x)=0+1+2x+···+nxn-1=hn(x).

Or, pour tout réelx?=1,gn(x)=1-xn+1

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

3.SoitSn=f(1)+f(2)+...+f(n), oùf(x)=xe1-x.

Orhn(x)=nxn+1-(n+1)xn+1

On sait que lim

De plus, lim

Donc lim

Exercice24 points

Commun à tous lescandidats

1.Dans le repère donné, A a pour coordonnées(0,0,0), B(1,0,0), D(0,1,0)et E(0,0,1).-→AF=--→AB+-→AE donc le point F a pour coordonnées(1,0,1).

La droite

La droite

2.Soit-→nle vecteur de coordonnées(1,-1,1). Ce vecteur est un vecteur normal au plan(BGE)s"il est

Le plan

L"équation cartésienne du plan

Amérique du Sud221 novembre2013

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

3.Le vecteur--→DF est égal au vecteur-→nqui est normal au plan(BGE)donc la droite(FD)est perpendi-

Donc la droite

3,13,23?

4.Lessegments [BE],[EG]et[BG]sonttousles troisdesdiagonalesdecarrésdecôtés1;doncBE=EG=

2. Le triangle BEG est équilatéral de côté?2.

BGE de côtéa=?

2(relations dans un triangle rec-

2×?3

L"aire du triangle BEG vaut

EG×BH

2×?6

5.Le volume d"un tétraèdre estaire de la base×hauteur

Dans le repère orthonormé

A ;--→AB,--→AD,-→AE?

2=(xD-xK)2+?yD-yK?2+(zD-zK)2=?

12?9=2?

Le volume du tétraèdre est donc :

2×2?

Exercice35 points

On considère l"équation (E):z2-2z?

3+4=0.

1.On résout l"équation (E) :z2-2z?

3+4=0;Δ=?-2?3?2-4×1×4=12-16=-4.

3?+i?4

2=?3+i etz??=?3-i.

2.On considère la suite(Mn)des points d"affixeszn=2nei(-1)nπ

6, définie pourn?1.

6=2ei-π6=2?

Doncz1est solution de l"équation (E).

Amérique du Sud321 novembre2013

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

2+i12?

3=23ei(-1)3π

6=8ei-π6=8?

4=24ei(-1)4π

6=16eiπ6; pour placer le pointM4, on utilise le fait que|z4|=16; de plus arg(z4)=π

6=arg(z2)donc les points O,M2etM4sont alignés doncM4?(OM2).

Voir la figure en annexe.

Sin?1 etnpair,(-1)n=+1, donc ei(-1)nπ

6=eiπ6=?3

2+i2=?

2+(-1)ni2.

Donc sin?1 pair,zn=2nei(-1)nπ

2+(-1)ni2?

Sinimpair,(-1)n=-1, donc ei(-1)nπ

6=ei-π6=?3

2-i2=?