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A. P. M. E.P.

?Corrigé du baccalauréat STAV Nouvelle Calédonie? novembre 2018

La calculatrice est autorisée.

L"annexe A est à rendre avec la copie après avoir été numérotée.

EXERCICE15 points

Sur un champ d"expérimentation, des techniciens étudient la croissance de plants de maïs semés en avril. Ils effectuent des relevés de la hauteur de ces plants à partir du 1ermai. Les hauteurs moyennes obtenues, au centième près, sont présentées dans le tableau ci- dessous :

Hauteur (en mètres)0,492,573,083,22

On admet que la modélisation de la hauteur moyenne, expriméeen mètres, d"un plant de maïs en fonction du temps, est donnée par la fonctionhdéfinie sur [0; 130] par : h(t)=3,26

1+5,7e-0,05t

oùtest le temps exprimé en jours à partir du premier relevé,t=0, le 1ermai. On rappelle que les mois de juin et septembre comportent 30 jours, mai, juillet et août en comportent 31.

1.Déterminons, au centième près, la hauteur moyenne d"un plant de maïs le 1er

juin. Le 1 erjuin,t=31. Calculons alorsh(31) :h(31)=3,26

1+5,7e-0,05×31≈1,48.

2.En utilisant un logiciel de calcul formel, on obtient pour ladérivée, deh:

h ?(t)=0,9291e-0,05t ?1+5,7e-0,05t?2. a.Pour toutt?[0 ; 130],h?(t)>0 comme quotient de réels strictement positifs. Par conséquent, la fonctionhest croissante sur [0; 130]. b.Bien sûr, nous pouvions nous attendre à ce résultat, au vu de ce que modélise la fonctionh, puisque il s"agit de la croissance de plants de maïs.

3.Déterminons, par le calcul, le nombre minimal de jours nécessaires pour que la

hauteur d"un plant de maïs soit supérieure à 2 mètres.

Pour ce faire, résolvonsh(t)?2.

3,26 e -0,05t?1,26

11,4?? -0,05t?ln?1,2611,4?

??0,05t?-ln?1,2611,4? ??t?-ln?1,26 11,4? 0,05 Or -ln?1,26 11,4?

0,05≈44,05, donc le nombre minimal de jours pour que le plant de

maïs atteigne et dépasse les deux mètres est 45.

S. T. A. V.A.P. M. E.P.

EXERCICE26 points

Le blé tendre est la première céréale produite en France.

Lorsqu"il est d"assez bonne qualité pour être destiné à la fabrication du pain, il est dit

"panifiable». En France, 58% de la production de blé tendre est panifiable. Ses autres utilisations sont pourl"alimentation animale, maisaussi pourdesproductions industrielles(le papier,les cosmétiques, les produits pharmaceutiques, la productionde bioéthanol). Un étudiant en stage s"intéresse aux remorques de blé tendre livrées dans une coopérative.

Les parties A et B sont indépendantes

PARTIE A

On admet que la proportionpde remorques remplies de blé panifiable attendues pour une coopérative est 0,58. L"étudiant choisit au hasard 40 remorques remplies. On considère que ce choix peut être assimilé àun tirage avecremise. Il constate que parmices remorques, 19 contiennentdu blé panifiable.

On rappelle que:

de taille n est: p-1,96? p(1-p) n;p+1,96? p(1-p) n?

1.Déterminons l"intervalle de fluctuation asymptotique à 0,95 de la fréquence de

remorques de blé panifiable sur un échantillon de taille 40 (les bornes seront ar- rondies à 10 -2près). p=0,58 etn=40 donc : I=??

0,58-1,96?

0,58(1-0,58)

40; 0,58+1,96?

0,58(1-0,58)

40??
≈?0,43 ; 0,73?.

2.La fréquence observée estf40=19

40=0,475;f40?Idonc la proportion de 0,58 de

au vu de cet échantillon (au seuil de 95%).

PARTIE B

On considère que chaque remorque a la probabilité 0,58 de contenir du blé panifiable. L"étudiant choisit au hasard 40 remorques. On considère quece choix peut être assimilé

à un tirage avec remise de 40 remorques.

On noteXla variable aléatoire égale au nombre de remorques contenant du blé pani- fiable parmi les 40.

1.Justifions queXest distribuée suivant la loi binomiale de paramètresn=40 et

p=0,58. Xest distribuée selon la loi binomiale de paramètresn=40 etp=0,58 puisque il y a répétition de 40 tirages indépendants et identiques caractérisés par deux

Nouvelle Calédonie correction2Novembre 2018

S. T. A. V.A.P. M. E.P.

issues soit le contenu de la remorque contient du blé panifiable avec une proba- bilitép=0,58 soit le contenu de la remorque ne contient pas du blé panifiable de probabilitéq=1-p=0,42.

Par conséquent,p(X=k)=?

40
k? (0,58) k(0,42)40-k.

2.Déterminons la probabilité (les résultats seront arrondisà 10-2près) des évène-

ments suivants : a.Exactement 19 remorques contiennent du blé panifiable. Calculonsp(X= 19). p(X=19)=? 40
19? (0,58)

19(0,42)40-19≈0,05.

b.Au plus 19 remorques contiennent du blé panifiable. Calculonsp(X?19). p(X?19)=k=19? k=0p(X=k). À l"aide d"une calculatrice, nous trouvonsp(X?

19)≈0,12.

3. a.Déterminons l"espérance de la variable aléatoireX.E(X)=np=40×0,58=

23,2.
b.Quelle interprétation l"étudiant peut-il donner à cette espérance? L"étudiant peut considérer que c"est le nombre moyen de remorques conte- nant du pain panifiable qu"il pourra trouver dans une série de40 remorques.

EXERCICE34 points

Cet exercice est unquestionnaire à choix multiples, donnéenannexe A(àrendreavec la un point, une réponse inexacte ou l"absence de réponse n"enlève pas de point. Cocher,pourchaque proposition, laréponse quiconvient. Aucunejustification n"est de- mandée.

EXERCICE45 points

On estime qu"en Nouvelle-Calédonie, la production de fruits et légumes augmente de

5% par an.

En 2014, la production était de 16714 tonnes sur plus de 1100 hectares.

1.Calculons la production, arrondie à la tonne, de fruits et légumes en 2015.

À une augmentation de 5% correspond un coefficient multiplicateur de 1,05. En 2015, la production sera alors 16714×1,05=17550 arrondie à la tonne.

2.Soitnunnombre entiernaturel.Onnoteunla production de fruitset légumes en

Nouvelle-Calédonie pendant l"année 2014+n. Ainsi,u0=16714. a. (un)est une suite géométrique de raison 1,05 puisque chaque termese déduit du précédent en le multipliant parle même nombre, le coefficient multiplica- teur associé à une hausse de 5%. b.Le terme général d"une suite géométrique de premier termeu0et de raisonq est : u n=u0×(q)n.un=16714×(1,05)n. c.Donnons une estimation, arrondie à la tonne, de la production en 2018. En

2018 ,n=4 d"oùu4=16714×(1,05)4≈20316.

Nouvelle Calédonie correction3Novembre 2018

S. T. A. V.A.P. M. E.P.

3.L"algorithmeen annexe A (à rendre avec la copie)permet de déterminer l"année

àpartirde laquelle laproduction defruitsetlégumesenNouvelle-Calédonie aura doublé par rapport à 2014. a.L"algorithme est complété sur l"annexe A (à rendre avec la copie). b.Déterminons, par la méthode de notre choix, l"année à partirde laquelle la production aura doublé par rapport à 2014. Pour ce faire, résolvonsun=2u0c"est-à-direu0(1,05)n=2u0soit (1,05)n=2 1,05 n=2??ln1,05n=ln2??nln1,05=ln2??n=ln2 ln1,05 Or ln2 ln1,05≈14,21 donc l"année à partir de laquelle la production aura doublé par rapport à 2014 est 2014+15=2029.

Nouvelle Calédonie correction4Novembre 2018

S. T. A. V.A.P. M. E.P.

ANNEXE A (à compléter, numéroter età rendre avecla copie)

EXERCICE3

Cochons, pour chaque question posée, la réponse qui convient.

1.SoitXune variable aléatoire distribuée suivant la loi normale deparamètresμ=

40 etσ= 6.

P(X<28) est égale à :

?0,05?0,95?P(X<52)?P(X>52)?

2.Le plus petit entiernpossible tel que : 2,08n?500 est :

?6?7?8?9?

3.AetBsont deux évènements indépendants d"une même expérience aléatoire.

On aP(A)=0,6 etP(A∩B)=0,3. Alors, la valeur deP(B) est : impossible

à déterminer?0,3?0,5??0,9

4.On considère l"algorithme ci-dessous :

Saisirx

Six>0

Alorsxprend la valeur ln(x)

Sinonxprend la valeur 2-x

Fin Si

Afficherx

En exécutant cet algorithme, le résultat affiché est 1. Quel nombrexa été saisi initialement par l"utilisateur? ?0?1?e??3

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A. P. M. E.P.

La calculatrice est autorisée.

EXERCICE15 points

Hauteur (en mètres)0,492,573,083,22

1+5,7e-0,05t

1.Déterminons, au centième près, la hauteur moyenne d"un plant de maïs le 1er

1+5,7e-0,05×31≈1,48.

2.En utilisant un logiciel de calcul formel, on obtient pour ladérivée, deh:

3.Déterminons, par le calcul, le nombre minimal de jours nécessaires pour que la

Pour ce faire, résolvonsh(t)?2.

11,4?? -0,05t?ln?1,2611,4?

0,05≈44,05, donc le nombre minimal de jours pour que le plant de

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EXERCICE26 points

Les parties A et B sont indépendantes

PARTIE A

On rappelle que:

1.Déterminons l"intervalle de fluctuation asymptotique à 0,95 de la fréquence de

0,58-1,96?

0,58(1-0,58)

40; 0,58+1,96?

0,58(1-0,58)

2.La fréquence observée estf40=19

40=0,475;f40?Idonc la proportion de 0,58 de

PARTIE B

à un tirage avec remise de 40 remorques.

1.Justifions queXest distribuée suivant la loi binomiale de paramètresn=40 et

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S. T. A. V.A.P. M. E.P.

Par conséquent,p(X=k)=?

2.Déterminons la probabilité (les résultats seront arrondisà 10-2près) des évène-

19(0,42)40-19≈0,05.

19)≈0,12.

3. a.Déterminons l"espérance de la variable aléatoireX.E(X)=np=40×0,58=

EXERCICE34 points

EXERCICE45 points

5% par an.

1.Calculons la production, arrondie à la tonne, de fruits et légumes en 2015.

2.Soitnunnombre entiernaturel.Onnoteunla production de fruitset légumes en

2018 ,n=4 d"oùu4=16714×(1,05)4≈20316.

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3.L"algorithmeen annexe A (à rendre avec la copie)permet de déterminer l"année

Nouvelle Calédonie correction4Novembre 2018

S. T. A. V.A.P. M. E.P.

EXERCICE3

1.SoitXune variable aléatoire distribuée suivant la loi normale deparamètresμ=

40 etσ= 6.

P(X<28) est égale à :

2.Le plus petit entiernpossible tel que : 2,08n?500 est :

3.AetBsont deux évènements indépendants d"une même expérience aléatoire.

à déterminer?0,3?0,5??0,9

4.On considère l"algorithme ci-dessous :

Saisirx

Alorsxprend la valeur ln(x)

Sinonxprend la valeur 2-x

Fin Si

Afficherx

EXERCICE4

Question 3

Tant queu<33428.(=2×16714)

Fin tant que

Afficher 2014+n

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