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Ecole Préparatoire en Sciences et Techniques d"Oran2011/2012

2ème année Examen n

1 de probabilitédurée: 2h30

Exercice1:

Soit (X, Y) un couple aléatoire dont la loi de probabilité est donnée par le tableau qui suit: Y X 1 1 11p2 p2 1 p2 1p2 où p est un réel strictement compris entre 0 et 1 et distinct de 12 :On pose

Z=X:Y:

1. Calculer la loi de probabilité deZet son espérance mathématique.

2. Calculer l"espérance deXet celle deY:Est ce que X et Y sont indépen-

dantes?

Exercice2:

Soit X et Y deux variables aléatoires. On connaitP(X= 1) =13 ; P(X= 0) = 23

P(Y= 2nX= 1) =34

; P(Y=3nX= 1) =14

P(Y= 2nX= 0) =14

; P(Y=3nX= 0) =34

1. Déterminer la loi du couple (X, Y) puis la loi de Y. CalculerE(3X+2Y).

2. CalculerE(2X2Y2):

3. CalculerE(X:Y):Déduirecov(X; Y):

Exercice3:

Soit un couple de variables aléatoires à valeurs réelles de densité de proba- bilité conjointe: f

X; Y(x; y) =(

14 (1 +xy(x2y2));si1x1;1y1

0;ailleurs.

1. Véri...er quefest une densité de probabilité.

2. Calculer la fonction de répartition F.

1

3. CalculerP(0X12

;0Y1):

4. Calculer les lois marginales de X et Y. Les variables X et Y sont-elles

indépendantes?

5. Calculer la covariance et le coé...cient de corrélation.

6. Donner la loi conditionnelle de X sachant Y.

Exercice4:

SoientXetYdeux variables aléatoires indépendantes qui suivent une même loi de probabilité dont la densité est défnie par: f(t) =1t

2; t1:

On pose:

(U=X:Y V=XY Quelle est la loi de probabilité du couple(U;V)? 2quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1