[PDF] [PDF] Ondes électromagnétiques dans le vide - Olivier GRANIER

[PDF] Chapitre 15 :Propagation des ondes électromagnétiques

Page 1 sur 17 I Propagation des ondes électromagnétiques (OEM ) dans le vide A) Equation de propagation Dans le vide, les équations de Maxwell s'écrivent 

[PDF] ondes électromagnétiques dans le vide

Ce chapitre vise `a donner une vision générale des équations de Maxwell afin d' arriver le plus rapidement possible au coeur du cours : la propagation des ondes  

[PDF] PROPAGATION des ONDES ELECTROMAGNETIQUES

Chapitre 1 : LES EQUATIONS DE L'ELECTROMAGNETISME I INTRODUCTION Il existe deux façons distinctes d'aborder l'électromagnétisme La première 

[PDF] Ondes électromagnétiques dans le vide - Olivier GRANIER

Les solutions de cette équation traduisent un phénomène de propagation de célérité c (vitesse de la lumière dans le vide) * Résolution de l'équation de d' 

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I – Déterminer les équations dynamiques et locales qui régissent les grandeurs physiques associées à l'onde étudiée (onde électromagnétique: champ 

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21 août 2017 · C'est la première équation à relier explicite- ment les champs électrique et magnétique Cours d'Optique et Physique des Ondes – 2016/2017 7 

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21 août 2017 · équations 7 et 10, l'équation de Maxwell-Ampère devient : de mener à l' expression des ondes électromagnétiques dans le vide (i e ρlibres 

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5 2 Équation d'onde dans un matériau sans perte terrestre, statique et vectoriel contrairement au champ électromagnétique souvent non- uniforme, variant et 

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Equations de Maxwell et ondes électromagnétiques dans le vide Il proposa un ensemble d'équations présentées la première fois à la Royal Society en 1864

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Ondes électromagnétiques

dans le vide

PC*/PC

2 I - Les équations de propagations du champ EM dans le vide :

Soit une distribution (D) de charges localisées autour d"un point O, dont les densités sont

fonction du temps (exemple : une antenne métallique). Selon les équations de Maxwell-Gauss et de Maxwell-Ampère, cette distribution (D) est la source de champs

Er et Br variables dans le

temps qui vont s"établir dans tout le voisinage de O. Un point M de ce voisinage, bien que situé

en dehors de (D), est lui-même source de champs en raison des termes en tB∂∂/r et tE∂∂/r

" provenant de O » qui jouent un rôle de sources dans les équations de Maxwell-Faraday et de

Maxwell-Ampère. Les points P du voisinage de M sont à leur tour dans leur propre voisinage des sources de champs variables dans le temps ... On conçoit ainsi que le champ EM se propage en faisant penser à des rides se transmettant de proche en proche à la surface de l"eau.

" Le couplage qui est introduit dans les équations de Maxwell par la présence des deux dérivées

partielles par rapport au temps tB∂∂/r et tE∂∂/r est à l"origine du phénomène de propagation du champ EM. » Obtention des équations de propagation du champ EM : On calcule le rotationnel de l"équation de Maxwell-Faraday : ()()BrottErotrotrr Or : ()()EEdivgradErotrotrrrΔ-= Avec tEjBrotetEdiv∂∂+== rrrr 000

0μεμερ, il vient :

tEjtEgrad rrr 000

0μεμερ

Soit, finalement :

tjgradtEE∂∂+=∂∂-Δ rrr 0 022

001μρεμε

De manière symétrique, on élimine E au profit de B en calculant le rotationnel de MA : ()()()ErottjrotBBdivgradBrotrotrrrrr ∂+=Δ-=000μεμ

Soit :

∂∂-∂∂+=Δ-tB tjrotBgrad rrr

0000μεμ

Finalement :

jrottBBrrr 022

00μμε-=∂∂-Δ

Dans une région sans charges ni courants (

00rr==jetρ) :

0022
0022
00 3

Ces équations sont les équations de propagation du champ EM. Si l"on note s(x,y,z,t) l"une des six

coordonnées des champ EM (E x,...., Bx,...), alors : )1(01000222 222
cssoittss C"est l"équation de d"Alembert (équation classique de propagation des ondes, encore appelée équation des cordes vibrantes) établie au XVIII ème siècle pour modéliser les vibrations d"une

corde tendue. Les solutions de cette équation traduisent un phénomène de propagation de

célérité c (vitesse de la lumière dans le vide). * Résolution de l"équation de d"Alembert : On se propose de résoudre l"équation de d"Alembert unidimensionnelle : 0122

222=∂∂-∂∂

ts vxs De manière symbolique, cette équation peut s"écrire : 0.=) ∂∂+∂∂stxvtxv

On pose :

v xtqet v xtp-=+= et, en considérant x et t comme des fonctions de p et de q : qpvqxq pxp x1 qpqtq ptp t∂

On en déduit :

qtxvetptxv∂ ∂=∂∂+∂∂22 L"équation de d"Alembert prend alors la forme : 0 2 qs pqps

Par conséquent,

)(qqs?=∂∂ et, si f(q) désigne une primitive de ?(q), alors : )()()()(v xtg v xtfpgqfs++-=+= Interprétation physique : on considère une fonction de la forme : )(),(v xtftxs-=

On constate que :

4 )()(v xxttf v xtfΔ+-Δ+=- pour tout couple Δx et Δt vérifiant : tvxΔ=Δ. Ainsi, s+(x,t) représente un signal qui se propage sans déformation à la vitesse v le long de l"axe (Ox) dans le sens positif.

O Instant

t

Instant

t+ΔΔΔΔt )(),(vxtftxs-=+ tvxΔ=Δ x Référence : cabri géomètre (Y.Cortial)

La solution

)(),(v xtftxs+= - représente un signal qui se propage sans déformation à la vitesse v le long de l"axe (Ox) dans le sens négatif. On se propose maintenant de résoudre l"équation de d"Alembert tridimensionnelle : 5 ),,,(),(0122

2tzyxstrsavects

vs==∂∂-Δr

On vérifie que des fonctions de la forme :

)(),,,(;)(),,,(;)(),,,(,,,v ztftzyxs v ytftzyxs v xtftzyxs zyxmmm===±±±

sont solution de l"équation tridimensionnelle (ces solutions sont appelées ondes planes de

directions de propagations respectives zyxuetuurrr,, dans le sens positif ou négatif).

Des ondes sphériques sont également solution de l"équation de d"Alembert tridimensionnelle : on

cherche, par exemple, des solutions à symétrie sphérique s(r,t). En utilisant la forme du laplacien

en coordonnées sphériques, il vient :

01)(122

222=∂∂-∂∂

ts vrsrr

Soit encore :

0)(1)(22

222=∂∂-∂∂rstvrsr

On constate alors que la fonction rs(r,t) est solution de l"équation unidimensionnelle de

d"Alembert. Par conséquent : )()(),(v rtg v rtftrrs++-=

Soit :

)(1)(1),(v rtg rv rtf rtrs++-= Les deux termes de cette somme représentent des ondes sphériques respectivement divergente et

convergente. On constate que le signal ne se propage pas sans déformation en raison de

l"affaiblissement exprimé par le facteur 1 / r.

On choisit, dans la suite :

Pour une onde plane s(z,t), l"équation de d"Alembert devient : 01022
222
22
ts czsouts zsμε Cette fonction s(z,t) peut s"écrire sous la forme : -=cztgcztftzs),(

Compléments (Ondes stationnaires) :

On cherche des solutions de l"équation de d"Alembert de la forme (méthode de séparation des variables) : )()(),(tgxftxs=

En substituant dans l"équation de d"Alembert :

6 0122

222=∂∂-∂∂

ts cxs

Il vient :

0)()(1)()("2=-tgxfctgxf&&

D"où :

Kcstetgtg

cxfxf===)()(1)(")(12 On obtient ainsi deux équations différentielles : Ktgtg cetKxfxf==)()(1)(")(12

Ou encore :

0)()(0)()("2=-=-tKgctgetxKfxf&&

Si K > 0, la solution de la deuxième équation différentielle est de la forme : tKctKcBeAetg-+=)(

Cette solution est à rejeter : en effet, elle correspond soit à une solution divergente soit à une

solution transitoire. Dans la suite, on suppose K < 0 ; alors, en posant

22ω=-Kc :

)cos()(?ω-=tAtg

La 1ère équation donne alors :

La solution globale de l"équation de d"Alembert est alors : -=txcCtxscoscos),(

On pose dans la suite

ck

ω=, alors :

()()?ωψ--=tkxCtxscoscos),(

Ce type de solutions, appelé onde plane stationnaire est très différent d"une onde plane

progressive : les dépendances spatiale et temporelle interviennent séparément ; la dépendance

spatiale intervient dans l"amplitude de l"oscillation temporelle et non plus dans la phase, de telle sorte que tous les points de la corde vibrent en phase ou en opposition de phase.

L"allure de la corde à différents instants est représentée sur la figure suivante. Certains points de

la corde sont fixes et sont appelés noeuds de vibrations ; d"autres ont une amplitude de vibration

maximale et sont appelés ventres de vibrations. 7 Position des noeuds : elle s"obtient en écrivant que : ( )2)12(0cosπψψ+=-=-nkxsoitkxn

Soit, avec

2=k : knxnψλ++=412 La distance entre deux noeuds successifs est égale à 2 Position des ventres : elle s"obtient en écrivant que : ()πψψnkxsoitkxv=-±=-1cos

Soit :

knxvψλ+=2 La distance entre deux ventres successifs est égale à 2 La distance entre un noeud et un ventre successif est égale à 4

II - Ondes planes EM dans le vide :

1 - Ondes planes électromagnétiques :

Une onde plane EM de direction de propagation zur est une structure du champ EM dans laquelle les coordonnées des champs

Er et Br sont des fonctions de la forme :

-=cztftzs),( 8

Toute coordonnée du champ a, à un instant donné, même valeur en tout point d"un plan

z = cste. Un tel plan, orthogonal à la direction de propagation zur, est appelé plan d"onde.

Une source (par exemple, une station radiophonique) émet a priori des ondes sphériques ;

cependant, à grande distance de celle-ci, l"onde reçue pourra être localement assimilée à une onde

plane progressive

2 - Caractère transverse d"une onde plane dans le vide :

1

ère démonstration :

On s"intéresse à une onde plane de la forme : ),(),,,(),(),,,(tzBtzyxBettzEtzyxErrrr==

Les équations de Maxwell donnent :

• Equation de Maxwell - Gauss : )1(00=∂∂=zEsoitEdivzr • Equation de Maxwell - flux : )2(00=∂∂=zBsoitBdivzr • Equation de Maxwell - Faraday : soittBErot∂∂-= rr )5(0)4()3( t BtB zEtB zEzy xx y • Equation de Maxwell - Ampère : soittE cBrot∂∂= rr 2 1 )8(10)7( 1)6(

1222tE

ct E c zBtE c zB zy xx y

Les équations (1) et (8) donnent :

0=∂∂

zEz et 0=∂∂ tEz, par conséquent, 0=zE (les champs statiques n"interviennent pas ici lors du phénomène de propagation). De même, les équations (2) et (5) montrent que 0=zB. Ainsi, les coordonnées du champ EM parallèles à la direction de propagation zur sont nulles : le champ EM est transversal.

Relation entre les normes des champs

Er et Br :

9

En notant )

-=cztEtzExx),( et ) -=cztBtzBxx),(, on constate que : tB czBettE czE xxxx 11 Il en est de même pour les coordonnées selon (Oy).

Ainsi,

)4()3( t B zEtB zEyxx y donnent zBczEzBczE yxx y En intégrant sans tenir compte de coordonnées d"intégration constantes : yxxycBEetcBE=-=

Par conséquent :

EcuBouucBEzzrrrrrr?=?=

Finalement, les champ EM d"une onde plane progressive sont orthogonaux à la direction de propagation et orthogonaux entre eux ; le trièdre ( ),,zuccBErrrr= est direct et E = Bc.

Plan d"onde

z=cste Er Br zucr z Er Br zucr

Le champ EM est uniforme dans un plan d'onde.

La force exercée par l"onde EM sur une particule de charge q et de vitesse vr est : meffBvqEqfrrrrrr+=?+= Par conséquent, le rapport de la force électrique sur la force magnétique vaut : vc vBE ffme

Par conséquent, pour une particule non relativiste (v << c), la force magnétique est négligeable

vis-à-vis de la force électrique. 2

ème démonstration :

En notant

-=cztEtzExx),( et ) -=cztBtzBxx),(, on constate, de manière symbolique, que : 10 tczyx∂ Ainsi, l"opérateur gradient (ou le vecteur nabla) peut s"écrire : zutcgradrr∂∂-=?=1 Les équations de Maxwell deviennent alors, compte tenu de ce formalisme : tE cButct r rrr rrr r rr 2

1110.10.1

soit (avec csteuz=r) tE cButt rrrr rrr rr r1)()(10).(0).( En annulant les constantes d"intégration, les deux premières équations donnent :

0.0.==BuetEuzz

rrrr On retrouve la caractère transversal du champ EM. Les deux dernières équations donnent, après intégration :

EcBuetBEuczz

rrrrrr1)(1-=?=?

Soit :

EcuBouucBEzzrrrrrr?=?=

On retrouve les mêmes relations que lors de la 1

ère démonstration.

III - Ondes planes progressives monochromatiques (ou harmoniques) :

1 - Solutions sinusoïdales de l"équation de propagation de d"Alembert :

L"équation de propagation est linéaire ; par conséquent, l"analyse de Fourier permet d"affirmer

que toute solution de cette équation est la somme de fonctions sinusoïdales du temps.

On se limite ici à des solutions harmoniques de l"équation de d"Alembert, c"est-à-dire des

solutions de la forme : ((-=)(cos),(cztAtxs Ces solutions correspondent à des ondes planes progressives harmoniques (OPPH).

Ces fonctions, de période temporelle

2=T possèdent une période spatiale ωπλ

ccT2== appelée longueur d"onde.

On définit le vecteur d"onde

kr tel que : 11

πω2===

ckavecukkzrr

L"OPPH est alors de la forme :

())cos),(kztAtxs-=ω Domaines d'applications des ondes électromagnétiques. En notation réelle, le champ électrique pourra s"écrire : )cos())(cos(),(00kztEc ztEtzE-=-=ωωrrr

Avec :

zzucukkrrrω== (vecteur d"onde) En notation complexe, on notera le champ EM sous la forme :

0),(kztieEtzE-=ωrr et )(

0),(kztieBtzB-=ωrr

Si la direction de l"onde est quelconque, dans la direction du vecteur unitaire ur :

0),,,(rktieEtzyxE

rrrr-=ω et ).(

0),,,(rktieBtzyxB

rrrr-=ω où ukkrr= (ur vecteur unitaire donnant le sens de propagation) est le vecteur d"onde et OMr=r (O, origine du repère et M le point d"observation).

L"expression du Laplacien devient :

2 2 2 2( )x y zE k k k E k EΔ = - + + = -r r r

12

Par ailleurs :

EtErr 2

22ω-=∂∂

L"équation d"onde de d"Alembert donne alors (relation de dispersion dans le vide) : 22
22

220)(1)(cksoitEcEkωω==---rr

D"où :

ck

2 - Structure des ondes planes progressives monochromatiques :

Compte tenu du choix de la notation complexe, les opérateurs vectoriels se simplifient. En effet, en remarquant que :

EikxEEitEx

rrrr (En effet,

Il vient :

EkiEikEikEikzE

yE xEEdivzzyyxxzyx

De même :

EkEetEkiErotrrrrr2-=Δ?-=

Les quatre équations de Maxwell deviennent ensuite : Par conséquent, on retrouve le caractère transverse des ondes EM planes : 13

0.0.==BketEkrrrr

On retrouve également :

EucEkBrrrrr?=?=1ω

Remarque : cette relation n"est vérifiée évidemment que par des ondes planes monochromatiques

harmoniques. Notamment, lorsque l"amplitude de l"onde dépendra des coordonnées d"espace x ou y, la relation entre le champ E et le champ B sera différente.

3 - Propagation de l"énergie :

Les résultats qui suivent sont valables pour une onde plane progressive, non forcément sinusoïdale (ou harmonique).

La densité d"énergie u

em pour une onde plane progressive vaut : 2 02quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1