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Autrement dit, E* est un optimum de Pareto s'il est possible et si, à partir de cet état, il n'est plus possible d'augmenter la satisfaction d'un individu sans diminuer  

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L'équilibre (5,5) est pareto-optimal L'équilibre (2,2) est un équilibre de Nash, c' est-à-dire que les deux joueurs gras) qui n'est pas un optimum de Pareto

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aboutit à un équilibre = allocation des ressources qui répond au critère d' efficacité de Pareto La démonstration suppose de vérifier que l'équilibre général  

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et caractérise le concept d'équilibre concurrentiel dans une économie de marché et de propriété privée Ensuite, on introduit le concept d'optimum de Pareto et 

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Chapitre III

Optimum économique, équilibre

général et théorie du bien-être

1 1. O

PTIMUM DE PARETO

1.1 Définition des états optimaux

État, état possible, choix parmi ces états.

État

m vecteurs de consommation x i ; n vecteurs de production nette y j

État possible, réalisable

1) x i ? X i i = 1, 2, ... , m 2) y j ? P j j = 1, 2, ..., n

3) xyw

ih im jh jn h 11 h=1, 2, ... , l

Remarques

1. dans 3), le signe "=» signifie que l"on fait l"hypothèse de la libre disposition des excédents ;

2. la définition d"un état possible est indépendante de toute organisation ou de tout contexte

institutionnel. Elle ne fait appel qu"à des contraintes physiques ou techniques.

3. dans 3), w

h représentent les dotations initiales en bien h.

Le choix : 2 principes

1. le choix porte directement sur les vecteurs de consommation x

i ;, autrement dit, le choix entre deux états dépend seulement des x i

2. le choix entre deux états va provenir des préférences des consommateurs.

Un état est préférable à un autre s"il est préféré par tous les consommateurs. 2

Définition

Un état E* est de "rendement social maximum» ou est un "optimum au sens de Pareto», s"il est

possible et s"il n"existe pas un autre état E" possible, tel que u i ( x i " ) ≥ u i ( x i * ) pour i = 1, 2, ... , m avec l"inégalité stricte pour au moins un i.

Autrement dit, E* est un optimum de Pareto s"il est possible et si, à partir de cet état, il n"est plus

possible d"augmenter la satisfaction d"un individu sans diminuer celle d"un autre.

Représentation graphique

: ( voir graphique 3-01 a) et b) )

Remarque : il

existe une infinité

3-01 a)

3-01 b)

boîte d'Edgeworth E o E EE 0 2 0 1 u 2 u 1 ÊE o E E

3 d"états qui sont des optimums de Pareto.

1.2 Caractérisation d"un optimum de distribution

Présentation du problème

• On se situe dans une économie sans production (i.e. la production est exogène et incluse dans

les ressources initiales w h

• Dans un tel contexte, le problème revient à se demander comment on distribue les ressources

initiales w h entre les m consommateurs de façon à obtenir un optimum . Autrement dit, on

cherche un état qui est possible et tel qu"il n"existe pas un autre état possible qui lui serait

strictement préféré par au moins un consommateur. Dans ce cas particulier, on cherche à caractériser : a) un état : m vecteurs x i ()xxx x xxx x xxx x mmm m11112 1

22122 2

12 l l l M b) un état possible : xw ih ih 1 h = 1, 2, ... , l x i ? X i i = 1, 2, ..., m pour le bien 1 : x 11 + x 21
+ ... + x m1 = w 1 pour le bien 2 : x 21
+ x 22
+ ... + x m2 = w 2 pour le bien l : x 1l + x 2l + ... + x ml = wl c) un état qui est un optimum

Représentation graphique

4

Le contexte : 2 consommateurs, i = 1, 2

2 biens, h = 1, 2

Le problème : on cherche à distribuer w = (w 1 , w 2 ) de façon optimale, i.e. on cherche des vecteurs x 1 = (x 11 , x 12 ) et x 2 = (x 21
, x 22
i) qui sont possibles x 11 + x 21
= w 1 x 12 + x 22
= w 2 et ii) qui satisfont notre critère d"optimalité ( voir graphique 3-02 )

Tout point à l"intérieur de la boîte représente un état possible ou réalisable - Ex. E

0 1 3-02 0 2 x 12 x 21
x 11 x 22
W 1 W 2 courbe des contratsE

5 Parmi tous ces points (états possibles), on cherche ceux qui répondent ou satisfont à notre critère

d"optimalité, i.e. tous les points sur la courbe des contrats. Comment se caractérisent les points sur la courbe des contrats ?

Formulation du problème

Note : le contexte ou l"économie considérée est encore 2 consommateurs et 2 biens "Idéalement», le problème devrait s"écrire comme suit : Max xxxx

11 12 21 22

[u 1 (x 11 , x 12 ), u 2 (x 21
, x 22
s.c. x 11 + x 21
= w 1 x 12 + x 22
= w 2 (x 11 , x 12 ) ? X 1 (x 21
, x 22
) ? X 2 Toutefois, ceci n"est pas possible mathématiquement car on ne peut maximiser un vecteur : Ex. u u 1 2 1

1

 peut être comparé à 2

2

, mais u u 1 2 1

2

 ne peut être comparé à 2

1

On contourne ce problème "technique» en maximisant l"utilité d"un individu (choisi

arbitrairement) sous contrainte d"un niveau donné d"utilité pour l"autre individu. On écrit alors :

6 Max

xx x11 12 21 22,,x, u 1 (x 11 , x 12 s.c. u 2 ( x 21
, x 22
) = u 2 x 11 + x 21
= w 1 x 12 + x 22
= w 2 (x 11 , x 21
) ? X 1 (x 21
, x 22
) ? X 2 voir graphique 3-03 ) Ceci revient à maximiser le lagrangien suivant : Max xx x11 12 21 22 12, ,x, L = u 1 (x 11 , x 12 ) + λ[u 2 (x 21
, x 22
) - u 2 1 (x 11 + x 21
-w 1 2 (x 12 + x 22
-w 2

En résolvant, on obtient :

1. L xu x 111
11 1 0=-= 2. L xu x 121
122
0=-= 3. L xu x 212
21
1 0=-= u 1 u 2 3-03 u 2 u 2 u 2 7 4. L xu x 222
22
2 0=-= 5.

Lux x u=-=

22122 2

0, 6. Lxxw

111 21 1

0=- + - =

7. Lxxw

212 22 2

0=- + - =

On a 7 équations, 7 inconnus (x

11 , x 12 , x 21
, x 22
1 2

De (1) et (2), on a :

ux u x 1 11 1 12 1 2

De (2) et (3), on a :

ux ux 2 21
2 22
1 2

De (*) et (**) :

∂∂ux ux 1 11 1 12 ∂ux u x 2 21
2 22
(8) Nos conditions se réduisent à 4 équations (5), (6), (7) et (8) et 4 inconnus x 11 , x 12 , x 21
, x 22

Remarques

1. Pour une valeur donnée de

u 2 , on obtient une valeur précise pour x 11 *, x 12 *, x 21
* et x 22
et donc pour u 1 * (i.e. un point sur la frontière de bien-être.)

Par contre, si on fait varier

u 2 comme un paramètre, on engendre toute la frontière de bien-être.

2. Interprétation des multiplicateurs π

1 2 h h ux x w=

11112**

, h=1, 2

8 •

la dimension de π h est celle d"une utilité marginale. C"est l"utilité marginale de l"individu 1 à l"optimum ; mais comme l"individu l estquotesdbs_dbs1.pdfusesText_1