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Exercices Corriges

Matrices

Exercice 1{Considerons les matrices a coecients reels :

A= 2 1

2 1! ; B= 1 2 24!
C=0 B @1 1 2 1 0 1 11 01 C

A; D=0

B @11 1 1 0 1

0 1 01

A; E= 11 1

1 0 1!

Si elles ont un sens, calculer les matricesAB,BA,CD,DC,AE,CE.

Exercice 2{(extrait partiel novembre 2011)

On considere les matrices a coecients reels :

A= 1 1

1 1!

B= 431

2 1 1!

C= 1 2

12! Calculer, s'ils ont un sens, les produitsAB;BA;AC;CA;B2. Exercice 3{On considere les matrices a coecients reels :

A= 1 3

2 4!

B= 431

2 1 1!

C= 43 2 1!

1) Calculer s'ils ont un sens les produitsAB;BA;AC;CA;BC;CB;B2.

2) En deduire, sans plus de calcul, queAetCsont inversibles et preciser leurs inverses.

Exercice 4{SoitAla matrice deM2(R) etBla matrice deM2;3(R) denies par :

A= 4 3

1 1! ; B= 1 0 2 1 11! Si elles ont un sens, calculer les matricesAB,BA,A2,B2etA+ 2Id2.

Exercice 5{SoitA;B;Cles matrices :

A= 22 0

4 22!

2M2;3(R); B=0

B @1 1 1 2 131
C

A2M3;2(R); C= 11

1 2!

2M2;2(R)

Determiner les produits denis 2 a 2 de ces trois matrices. Exercice 6{Ti;j() etant la matrice elementaire qui correspond a ajouter a la ligneile produit parde la ligne j, preciser la matriceT2;1(12 ) deM2;2(R), puis la matriceT1;2(2)T2;1(12 1 Exercice 7{1) Preciser les matrices elementaires deM3;3(R) : D

2(2); T3;2(3); T2;1(2):

2) Calculer la matriceA=T3;2(3)D2(2)T2;1(2).

3) DonnerA1sous forme de produit de matrices elementaires. Puis, calculerA1.

Exercice 8{Appliquer avec precision aux matricesMetNsuivantes l'algorithme du cours qui determine si une matrice est inversible et donne dans ce cas son inverse : M= 23 11!

2M2;2(R)et N= 23

46!

2M2;2(R):

Exercice 9{(extrait partiel novembre 2011)

1) En utilisant l'algorithme du cours, montrer que la matrice suivante est inversible et preciser

son inverse :

A= 1 2

3 4!

2) Puis, donner une expression deA1et deAcomme produit de matrices elementaires.

Exercice 10{1) Appliquer avec precision l'algorithme du cours pour inverser la matrice : M= 11 23!

2M2;2(R):

2 ) Donner une expression deM1, puis deMcomme produit de matrices elementaires.

Exercice 11{) Appliquer avec precision l'algorithme du cours pour inverser la matrice :

M= 2 1

3 2!

2M2;2(R):

Preciser une expression deM1, puis deMcomme produit de matrices elementaires. Exercice 12{SoitAetBdeux matrices carrees de m^eme ordre, on suppose que la matrice ABest inversible d'inverse la matriceC. Montrer alors queBest inversible et preciserA1.

Exercice 13{(extrait partiel novembre 2011)

SoitXetYdeux matrices carrees non nulles de m^eme taille a coecients reels, montrer que siXY= 0, les matricesXetYne sont pas inversibles.

Exercice 14{SoitM=0

B @2 4 1 2 5 1

1 2 11

C A.

1) Montrer en appliquant les algorithmes du cours queMest inversible. Preciser la matrice

1ainsi que la decomposition deM1comme produit de matrices elementaires.

2) En deduire une decomposition deMcomme produit de matrices elementaires.

3) Montrer que nous avons aussiM=T2;3(1)T1;3(1)T3;1(1)T2;1(1)T1;2(2).

4) En deduire une deuxieme expression deM1comme produit de matrices elementaires.

5) Calculer det(M) et retrouver la valeur deM1en utilisant la formule d'inversion donnee

dans le cours.

Exercice 15{(extrait partiel novembre 2009)

1) Appliquer avec precision l'algorithme du cours pour determiner l'inverseM1de la matrice :

M=0 B @1 2 3 0 1 2

0 4 61

A2M3;3(R):

Quelle est la valeur deM1?

2) Donner une expression deM1, puis deMcomme produit de matrices elementaires.

3) Deduire de la question 1 une matriceXdeM3;3(R)telle que :

2XM=0 B @1 0 0 0 1 0 02 11 C A:quotesdbs_dbs3.pdfusesText_6

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Exercices Corriges

Matrices

A= 2 1

A; D=0

0 1 01

A; E= 11 1

1 0 1!

Exercice 2{(extrait partiel novembre 2011)

On considere les matrices a coecients reels :

A= 1 1

B= 431

2 1 1!

C= 1 2

A= 1 3

B= 431

2 1 1!

1) Calculer s'ils ont un sens les produitsAB;BA;AC;CA;BC;CB;B2.

2) En deduire, sans plus de calcul, queAetCsont inversibles et preciser leurs inverses.

A= 4 3

Exercice 5{SoitA;B;Cles matrices :

A= 22 0

2M2;3(R); B=0

A2M3;2(R); C= 11

2M2;2(R)

2(2); T3;2(3); T2;1(2):

2) Calculer la matriceA=T3;2(3)D2(2)T2;1(2).

3) DonnerA1sous forme de produit de matrices elementaires. Puis, calculerA1.

2M2;2(R)et N= 23

2M2;2(R):

Exercice 9{(extrait partiel novembre 2011)

1) En utilisant l'algorithme du cours, montrer que la matrice suivante est inversible et preciser

A= 1 2

2) Puis, donner une expression deA1et deAcomme produit de matrices elementaires.

2M2;2(R):

2 ) Donner une expression deM1, puis deMcomme produit de matrices elementaires.

M= 2 1

2M2;2(R):

Exercice 13{(extrait partiel novembre 2011)

Exercice 14{SoitM=0

1 2 11

1) Montrer en appliquant les algorithmes du cours queMest inversible. Preciser la matrice

1ainsi que la decomposition deM1comme produit de matrices elementaires.

2) En deduire une decomposition deMcomme produit de matrices elementaires.

3) Montrer que nous avons aussiM=T2;3(1)T1;3(1)T3;1(1)T2;1(1)T1;2(2).

4) En deduire une deuxieme expression deM1comme produit de matrices elementaires.

5) Calculer det(M) et retrouver la valeur deM1en utilisant la formule d'inversion donnee

Exercice 15{(extrait partiel novembre 2009)

1) Appliquer avec precision l'algorithme du cours pour determiner l'inverseM1de la matrice :

0 4 61

A2M3;3(R):

Quelle est la valeur deM1?

2) Donner une expression deM1, puis deMcomme produit de matrices elementaires.

3) Deduire de la question 1 une matriceXdeM3;3(R)telle que :