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366F´ısicapaso apaso.M´asde100 problemasresuel tos
Problema3.19.
rizontalrecorrida,usosedistin tossistemasde coordenadas. Elgol queJamesRodr´ıguezhizoen elpartidode octavos definalen treCol om- biayUrugua ydelm undialdeBrasil2014fue elegidomejorg oldeesea˜no. Jameslepeg´oalbal ´oncuandoel bal´onestabaca yendo,el bal´onpeg´oenel palo superiordela porter´ıadeM uslera(el arquerodeUruguay)ycruz´olal ´ıneade gol.Eltiempo quevol ´oelbal ´ondesdeque lepeg´oJames hastaquetoc´oelpal o fuedeaproximadamen te0.9segundos. Laalturasobreel pisodesdela cual lepeg´oJames fuedeaproximadamente31.5cen t´ımetros.Laal turaa laque est´aelpal osuperiores de2.44metros.Adem´as,James lepeg´oalbal ´oncuando estabaam ´asomenos 26.5metrosdel arco.Usandoun sistemade coordenadas cuyoorigen est´eenel prado justodebajodel puntodeimpacto,responda: (a)¿Cu´alfuela vel ocidadconla quesali´oelbal ´onalser impactadoporJames?
(b)Aproximadamenteaqu´edistancia horizontal(en X)delal´ıneadeg ol seencontr abaelbal´oncuando lleg´oa sualtur am´axima? (c)Respondaden uevo(a) perousandounsistemacuyoorigenest´ejusto enelpun tode impacto(noenelpr ado)yseg ´unelcual elejeY apunta haciaabajo. 10 Ca´ıdalibre,lanzamientover ticalymovimiento parab´olico367Soluci´on
¿Qu´einformaci ´onnos dan?
(a),(b)La altura inicialdesdela cualsali´oelbal ´onfue aproximadamentede 31.5cent´ımetros.El
tiempodevuelodel bal´ondesdeque sali´odispar adohastaquetoc´oelpal oesde 0.9segundos. Ladistanciaen treel arcoyelpuntode impactoes dem´asomenos 26.5metros.La altura ala queest´aelpal oesde 2.44metros.Debemosusarunsistema decoordenadasen elpisojusto debajodelpun todeim pacto. (c)Debemos usarunsistema comoelde antespero coneleje Yapuntando haciaabajo.¿Qu´enospiden?
(a)Debemosdecirla velocidad conla quesali´oelbal ´onal serimpactado porJames.(b)Encontrarladistanciahorizontalentre lal ´ıneadeg olyel bal´oncuandoel bal´onest´aen
sualtur am´axima. (c)Responder(a)con unsistemade coordenadascuyoeje Yapunte haciaabajo. (a)Nodebemos escogerun sistemade coordenadasporqueenelenunciado nosdicenque usemosunocon elorigen enelpasto yjustodebajo debal ´on: 10 X Y Paradeterminarlavelocidadcon laquesali ´oelbal ´onal serpateado porJames, necesitamosencontr arlascomponentesXyY deestav elocidad.Unavez encontramosestascomponentes,podemoshallar lamagnitudy direcci´ondela velocidadinicial. Comencemosporhallarlav elocidaden Xdelbal ´on.Ladistancia totalrecorrida enXpor elbal´ones de26.5metros. Adem´as,elbal ´onrecorreesta distanciaen untiempo de0.9segundos.Porl otanto, comoenX distanciaes rapidezpor tiempo,tenemos (26.5m)=v x (0.9s).(1)368F´ısicapaso apaso.M´asde100 problemasresuel tos
As´ıquela rapidezv
x es (26.5m) (0.9s) =29.44m/s =v x .(2) Parahallarlarapidezinicialen Ypodemosusar laecuaci´ondemovimien to enY, puesconocemoseltiempode vuelo,la posici´onfinal enYy laposici´on inicialenY .Seg´unnuestro sistemadecoordenadas,laposici´oninicialdel bal´on es(0.315m) ˆy(hemospasado31.5 cma metros).Laposici ´onfinales (2.44m)ˆy, queescuando elbal ´ontocael poste,laaceler aci´onesgyesneg ativa, yel tiempodevueloes de0.9 segundos.Por´ultimo,larapidezinicial enY debeser positiva(elbal´onsalehacia arriba).Por lotan to,laecuaci ´ondemovimien toenYquedaas ´ı:
(2.44m)ˆy y f ˆy 1 2 (9.81m/s 2 )(0.9s t 2ˆy+v
iy (0.9s t )ˆy+(0.315s)ˆy y i ˆy .(3) Siaplicamosla regladeoro, dejamoselt ´erminoquetiene v iy soloaladerecha ysumamostodo loque sepuedesumar ,estaecuaci´onqueda6.10m=v
iy (0.9s).(4)Finalmente,sidividimosentreeltiem poestoda
6.09m 0.9s =6.78m/s=v iy .(5) Ahoraqueconocemostanto larapidez enXcomo larapidezinicialen Y podemoshallarla rapidezinicial total.Recordemosque lamagnituddeun vectorest´adada porlar a´ızcuadr adadelasumadela magnituddecada componentealcuadrado,as´ıqueen estecasotenemos v= v 2 x +v 2 iy .(6) Siusamosla rapidez enXdada porlaecuaci´on(2)y lar apidezinicialen Y dadaporla ecuaci´on(5), laecuaci´on(6) queda v= (29.44m/s v x 2 +(6.78m/s v iy 2 =30.21m/s.(7) Enpalabras, larapidezconlaque sali´oelbal ´onfuede 30.21metros por segundo,quees iguala108.76 kil´ometrospor hora.S ´olonosfalta hallarla direcci´onenla cualsali´odisparado elbal´on. Ca´ıdalibre,lanzamientover ticalymovimiento parab´olico369 Ladirecci´onesf ´acilde hallarporqueconocemos ambascomponen tesytambi ´en conocemosla magnituddela velocidad inicial.Como yahemoshecho en variosproblemas,lacom ponenteX esadyacente al´angulodelanzamientoy la componenteYesopuestaal´angulo: (26.5m)=v x (0.9s) (1) t d xAsí que la rapidez v
x es: (26.5m) (0.9s) =29.44m/s=v x (2) Ahora debemos hallar la rapidez inicial en Y. Para hallar esta rapidez podemos usar la ecua- ción de movimiento en Y, pues conocemos el tiempo de vuelo, la posición final en Y y laposición inicial en Y. Según nuestro sistema de coordenadas, la posición inicial del balón es
(0.315m)̂y (donde hemos usado que 31,5 centímetros es 0,315 metros). La posición final es (2.44m)̂y , la aceleración es g y es negativa, y el tiempo de vuelo es de 0.9 segundos. La rapidez inicial en Y no la conocemos pero sabemos que debe ser positiva. Por lo tanto, la ecuación de movimiento en Y queda: Si aplicamos la regla de oro y dejamos el término que tiene v iy sólo a la derecha (y suma- mos todo lo que se puede sumar), esta ecuación queda:6.10m=v
iy (0.9s) (4)Finalmente, si dividimos entre el tiempo esto da
6.09m 0.9s =6.78m/s=v iy (5) Ahora que conocemos tanto la rapidez en X como la rapidez inicial en Y podemos hallar la rapidez inicial total. Recordemos que la magnitud de un vector está dada por la raíz cuadra- da de la suma entre la magnitud de cada componente al cuadrado. Es decir: v=v 2 x +v 2 iy (6) Si usamos la rapidez en X dada por la ecuación (2) y la rapidez inicial en Y dada por la ecuación (5), la ecuación (6) queda: v=(29.44m/s) 2 +(6.78m/s) 2 =30.21m/s (7) v x v iy Es decir, la rapidez inicial con la que salió el balón fue de 30.2 metros por segundo (esto esigual a 108.7 kilómetros por hora). Aún nos falta hallar la dirección en la cual salió el ba-
lón. Esta dirección es fácil de hallar porque conocemos ambas componentes y también co- nocemos la magnitud de la velocidad inicial. Como ya hemos hecho en varios problemas, la componente X es adyacente al ángulo θ de lanzamiento y la componente Y es opuesta alángulo:
v v iy v x Por lo tanto, la componente X sobre la magnitud de la velocidad inicial (que es la hipotenu- sa) nos da el coseno del ángulo: v x v29.44m/s
30.21m/s
=0.97=cosθ (8)Así que θ será
240(2.44m)̂y=- 1 2 (9.81m/s 2 )(0.9s) 2