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B 5

10.811

C 6

12.011

N 7

14.007

Al 13

26.982

Ga 31

69.723

Zn 30
65.39
Cu 29

63.546

Ge 32
72.61
In 49

114.82

Sn 50

118.71

As 33

74.922

Se 34
78.96
Si 14

28.086

P 15

30.974

S 16

32.065

Cl 17

35.453

O 8

15.999

LYMPIADES

DE MATHÉMATIUES

Sujet et Corrigé vous sont présentés par freemaths.fr . . . Cl l

Olympiades nationales

de mathématiques 2019

Métropole-Europe-Afrique-Orient-Inde

L"épreuve se déroule en deux parties indépendantes et indissociables de deux heures

chacune, les énoncés des deux parties sont donc séparés et distribués séparément à des

moments différents. Les copies rédigées sont ramassées à l"issue de la première partie

(" exercices nationaux »). Une pause de cinq à quinze minutes est prévue, avant la seconde partie (" exercices académiques »). Des consignes de confinement peuvent être données selon la zone géographique de passation de l"épreuve. Les calculatrices sont autorisées selon la législation en vigueur.

Il est conseillé aux candidats qui ne pourraient formuler une réponse complète à une

question d"exposer le bilan des initiatives qu"ils ont pu prendre.

Les énoncés doivent être rendus au moment de quitter définitivement la salle de

composition.

Exercices nationaux

Les candidats traitent deux exercices. Ceux de la série S traitent les exercices numéros 1 (TrianglesTàTcôtésTentiers) et 2 (PremièresTfois), les autres traitent les exercices numéros 1 (TrianglesTàTcôtésTentiers) et 3 (AGADADAGA al l MB4Mr rM11MB3

Triangles à côtés entiers

irls hloznzrlh( Sréeuluthlzrlh( Sréeulurh u(lt leutleqrézuz(tlsultutl)lÉmhdtltqrhlsutlurh u(tlrShz(uetlrqrlrzetAl

irl(S..ueeuleSl.(q.( dhdls hulsulencl rdéSe hdlh( SrézeS (ulylTlsSrtlhqzhlh( SréeulrqrlS.eSh leSleqrézuz(lsulÉ1SÉzrl

sutlÉmhdtluthlth( Éhu2urhl r3d( uz(ul4leSltq22ulsutleqrézuz(tlsutlsuz5lSzh(utAll l

2a.lBS(2 leutlh( .euhtl(,,)ltz LSrhtglu5.e ozu(leuozuelsdt éruleutleqrézuz(tlsutlÉmhdtlsnzrlh( Sréeulurh u(lrqrl

S.eSh gl.z tlÉq22urhlh(SÉu(lÉulh( SréeuluhlSLuÉlozuetlqzh etlTl '6gl6gl78ll l 9ll ')gl)gl*8ll l 9ll 'aglagl)8l

b. +zueeutltqrhleutlLSeuz(tl.qtt ,eutlsulenurh u(llt l(15,19,)lsdt éruleutleqrézuz(tlsutlh(q tlÉmhdtlsnzrlh( Sréeul

urh u(lrqrlS.eSh l(Srédutl.S(lq(s(ulÉ(q ttSrhlsulhS eeul-l ozuleulh( .euhl(,,)lsdt éruleutleqrézuz(tlsutlÉmhdtlsnzrlh( Sréeulurh u(lrqrlS.eSh l-l

1q hllzrlurh u(lrShz(uelrqrlrzeAlirlsdt érul.S(l

lenurtu2,eulsutlh( .euhtlsnurh u(tlrShz(uetlrangés par ordre

3 rt lq,h urs(S h/qrl

=(1,4,4),(2,3,4),(3,3,3)lAl a. 1 leulh( .euhl(,,)S..S(h urhl4l ,ozueeutltqrhleutlLSeuz(tl2S5 2Seuluhl2 r 2Seul.qz(ll-ll b. 4qrru(leSlÉq2.qt h qrlsul eutozuetl elu5 thulzrlurh u(lrShz(uellhuelozul(,,) ∈ Al5d( 3 u(lozulÉutlÉqz.eutltult hzurhl4len rhd( uz(lqzltz(l eutl,q(stlsnzrlh( Sréeulsqrhleutltq22uhtlqrhlsutlÉqq(sqrrdutlurh 2(utAl l a. l6zth 3 u(lozult l(,,) ∈ lSeq(tll( + 1, + 1, + 1) ∈ Al b. 1q hl(,,) ∈ Al4dhu(2 ru(lzrulÉqrs h qrltz(l,etl.qz(lozul( - 1, - 1, - 1) ∈ Al c. 7rlsdsz (ulozult lluthl 2.S (lSeq(tl luhl lqrhleul282ulrq2,(ulsnded2urhtAl NPB 11 a. $%lÉqrh urh/ ellzrlh( .euhll(,,)lÉq((ut.qrsSrhl4lzrlh( Sréeuldoz eShd(Sel-l b.

$%lÉqrh urh/ elsutlh( .euhtll(,,)lÉq((ut.qrsSrhl4lsutlh( Sréeutl tqÉ2eutlrqrldoz eShd(Sz5-l1 lqz l

Éq2, url-l

c. 9qrh(u(lozult l $%lÉqrh urhlzrlh( .euhll(,,)Éq((ut.qrsSrhl4lzrlh( Sréeul(uÉhSréeulSeq(tl l2019 $= 4038( + )- 2All

7rlsdsz (ulozul

$%lrulÉqrh urhl.Stlsulh( Sréeul(uÉhSréeuAl C4SrtlÉuhhulozuth qrlqrltul.(q.qtulsulsdrq2,(u(l $%Al a. 1q hl(,,) ∈ l(,,2022 - - ) ∈ $%$$Al

uthl(uÉhSréeuAl7rlsdhu(2 ru(lenS (ul,lS rt lozuleulrq2,(ulsul.q rhtl4lÉqq(sqrrdutlurh 2(utlt hzdtltz(ltutlÉmhdtAl

d. irlSs2uhleulh1dq(22ulsulB É;lTlcl1 lzrl.qe<éqrul-luthlhuelozulhqztltutltq22uhtltqrhl4lÉqq(sqrrdutlurh 2(utl

sSrtlzrl(u.2(ulq(h1qrq(2dlSeq(tltqrlS (ul,luthlsqrrdul.S(leSl3q(2zeul, = . + $- 1lq=l.lsdt éruleulrq2,(ulsul

.q rhtl4lÉqq(sqrrdutlurh 2(utlt hzdtl4len rhd( uz(lsul-luhl0leulrq2,(ulsulÉuz5lt hzdtltz(leutlÉmhdtlsul-Alyl

7rlsdsz (uleulrq2,(ulsulh( .euhtlsul

$%$$l.z tlÉuez lsul$%Al llllllllll 4r

B4Mr4B .!

4ul 2Sr 2(ul édrd(Seugl ÉqrÉuLq (l zrl .(qé(S22ul '4l (uh(SrtÉ( (ul tz(l tSl Éq. u8l .u(2uhhSrhl sndrz2d(u(l uhl sul

sdrq2,(u(l

Al>ulhuthu(ltz(lluhltz(l$%Al

l l )l l MB4Mr

Premières fois

irl rqhulℕenurtu2,eul sutl urh u(tl rShz(uetAl irl (S..ueeul oznzrlrq2,(ul .(u2 u(l uthl zrl urh u(l rShz(uel oz l Sl

u5SÉhu2urhlals L tuz(tlurh u(tlrShz(uetls th rÉhtlTlCluhlez /282uAlBS(lu5u2.eulTlagl)luhl7ltqrhl.(u2 u(tlSeq(tlozul?gl

Cluhl)lruleultqrhl.StAl

l Décomposition en produit de facteurs premiers :

Bqz(lhqzhlurh u(lrShz(uel2 ≥ 2, elu5 thulzrlzr ozulurh u(lrShz(uel3glzrulzr ozule thulsulrq2,(utl.(u2 u(tls th rÉhtl

(SrédtlsSrtlenq(s(ulÉ(q ttSrhll ,$,,...,5)luhlzrulzr ozule thulsnurh u(tlrShz(uetlrqrlrzetl(α,α$,α,...,α5)l huetlozulTll 2 = 7

8× $7

:× 7 ;× ...× 57 l'sSrtlÉulsu(r u(lu5u2.eugl3 = 18Al>SlsdÉq2.qt h qrl url.(qsz hlsul3SÉhuz(tl.(u2 u(tlsnzrlrq2,(ul.(u2 u(lltndÉ( hlt 2.eu2urhl = .l l Une fonction agissant sur les nombres entiers naturels B(q.( dhdl'C8lTl∆(0)= ∆(1)= 09l l l l l l l B(q.( dhdl'a8lTlBqz(lhqzhlurh u(l.(u2 u(lgl∆()= 19l l l l

B(q.( dhdl')8lTlBqz(lhqztlurh u(tlrShz(uetlCluhlDTl∆(C × D)= ∆(C)× D + C × ∆(D).l l

21q hllzrlrq2,(ul.(u2 u(Al>utl.(q.( dhdtl.(dÉdsurhutl.u(2uhhurh/ueeutlsnu5.( 2u(l∆(

$)-l∆()-l@rlurh u(l rShz(uel2ldhSrhlsqrrdglozueeuluthlen 2Séul.S(l∆lsul E-l

a. 1q hlluhlFlsutlrq2,(utl.(u2 u(tls th rÉhtglGluhl2lsutlurh u(tlrShz(uetltz.d( uz(tlqzldéSz5l4lCAl>utl

.(q.( dhdtl.(dÉdsurhutl.u(2uhhurh/ueeutlsnu5.( 2u(l∆(

H× FE)-l

b.l>ulrq2,(ul ∆(10

E) uth/ elzrl2zeh .eulsulAl.qz(l2 ≥ 1-

Blhqzhlrq2,(ulurh u(l2 ≥ 2glsqrhleSlsdÉq2.qt h qrlurl.(qsz hlsul3SÉhuz(tl.(u2 u(tltndÉ( hlT

2 = 7

8× $7

:× 7 ;× ...× 57 × F+ I$× F$+ I× F+ ⋯+ I5× F5Al b. 5d( 3 u(lozulenu5.(utt qrlS rt lq,hurzultSh t3S hleutl.(q.( dhdtl'a8luhl')8lÉ /suttztAl l Étude de quelques images d'entiers par la fonction ∆. Na. lCSeÉzeu(l∆(12),∆(56),∆(1001).l b.l+zueeutltqrhleutltqezh qrtlsulendozSh qrl∆()= 0-l c. +zueeutltqrhleutltqezh qrtlsulendozSh qrl∆()= 1-l d. Dqzhlurh u(lrShz(uelGlS/h/ elSzl2q rtlzrlSrhdÉdsurhl.S(l∆l-l Ca. 9qrh(u(lozult lluhlFltqrhlsutlrq2,(utl.(u2 u(tlSeq(tll∆( × F)= + FAl b. 7th/ elL(S lozul.qz(lhqztlurh u(tlrShz(uetllCluhlDTll∆(C × D)= ∆(C)+ ∆(D)- a. 7th/ elL(S lozul.qz(lhqztlurh u(tlrShz(uetlCluhlDTl∆(C + D)= ∆(C)+ ∆(D)-l

b. 1q urhlCluhlDlsuz5lurh u(tlrShz(uetlhuetlozul∆(C + D)= ∆(C)+ ∆(D)luhlzrlurh u(lrShz(uelozueÉqrozul3.l

9qrh(u(lozulTl∆(3C + 3D)= ∆(3C)+ ∆(3D)Al

l

Les points fixes de la fonction ∆

#a. 1q hllzrlrq2,(ul.(u2 u(Al1q hlGlzrlurh u(lrShz(ueAlirltz..qtulozulGluthlzrl2zeh .eulsul

Al9qrh(u(lozul

sSrtlÉulÉStgl∆(G)luthlSztt lzrl2zeh .eulsul Al

b. 1q hl2lzrlurh u(lrShz(ueluhllzrlrq2,(ul.(u2 u(Al1q hlαlenu5.qtSrhlsullsSrtleSlsdÉq2.qt h qrlurl.(qsz hlsul

3SÉhuz(tl.(u2 u(tlsul2Alirltz..qtulozulα ≥ 1.l9qrh(u(lozult lα < glSeq(tlα - 1luthlenu5.qtSrhlsulsSrtleSl

sdÉq2.qt h qrlurl.(qsz hlsul3SÉhuz(tl.(u2 u(tlsul∆(2).l $. :dtqzs(ulendozSh qrl∆()= .l l l 6l l l MB4Mr B! rM,3

AGADADAGA

4SrtlÉuhlu5u(É ÉuglqrlS..ueeu(Slmotlhqzhultz hulsuleuhh(utl3q(2dulsutleuhh(utl3gl4luhlEAlBS(lu5u2.eulTl344gl3gl

3334EltqrhlsutlmotsAl

3th( sl.qtt2sulzrleqé É ueloz l3qrÉh qrrulsuleSl2Sr 2(ultz LSrhulTllzrlzh e tShuz(lurh(ulzrlmotluhglS.(2tlzrlÉe Éltz(l

7F.C@D7:glÉ1Sozuleuhh(ul3lszlmotl'tn el motAl

BS(lu5u2.euglt lenzh e tShuz(l(urh(uleulmotl3E3glqrlq,h urhleulmotl3E34343E3E3E34343E3Al@rlsuz5 22ulÉe Él

tz(l7F.C@D7:l(d h2(uleSlh(Srt3q(2Sh qrlsdÉ( hulÉ /suttztlSzlrqzLuSzlmotgluhlS rt lsultz huAl l

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3th( sl(urh(uleulmotl3All

+zuelmotlq,h urh/ueeulS.(2tlSLq (lÉe ozdlsuz5l3q tltz(l7F.C@D7:l-l Cq2, urlsulÉe ÉtlSzl2 r 2z2l3Szh/ el.qz(lq,hur (lzrlmot ÉqrhurSrhlzrl2 ee S(slsul3l-l N3.(2tla?lÉe ÉtglÉq2, urleul2qhlq,hurzlÉqrh urh/ elsuleuhh(utl4l-l l &4B∆

3th( sltqz1S hul2S rhurSrhlsutt ru(lzrl2qh 3ltz(lzrul3uz eeulsul.S. u(lozSs( eedglurlzh e tSrhleulsu(r u(l2qhl

q,hurzl.S(leuleqé É ueAlBqz(lÉueSglueeule hlsuléSzÉ1ul4ls(q hulÉ1Sozuleuhh(ulsulÉul2qhluhlh(SÉulzrule érul,( tdultSrtl

euLu(leulthul.q rhlsulsd.S(hlsuleSle éruluthlzrulÉ(q 5lt hzdultz(lzrlrGzslszlozSs( eeSéul9l /lt leSleuhh(ulezuluthl3glueeulh(SÉul1q( HqrhSeu2urhluhlsuléSzÉ1ul4ls(q hulzrltué2urhl suleqrézuz(lzrlÉS((uSzl9l /lt leSleuhh(ulezuluthlEglueeulhqz(ruleSl3uz eeulsnzrlozS(hlsulhqz(lsSrtleulturtlsutl

S éz eeutlsnzrul2qrh(ul9l

/lt leSleuhh(ulezuluthl4glueeulhqz(ruleSl3uz eeulsnzrlozS(hlsulhqz(lsSrtleulturtl rLu(tul sutlS éz eeutlsnzrul2qrh(ul9l /lozSrslhqzhutleutleuhh(utltqrhlezutglueeul(u2uhleSl3uz eeulsSrtleSl.qt h qrl r h Seul.qz(l (uéS(su(leul2qh 3lq,hurzAl BS(lu5u2.eugleul2qh 3lq,hurzl4l.S(h (lszlmotl3433E3luthl(u.(dturhdl4léSzÉ1uA C3th( slSl(dSe tdleul2qh 3lsuls(q huAl+zuelmotlSLS h/ueeulq,hurzl-l

3th( slurh(uleulmotl3luhlÉe ozulsuz5l3q tltz(l7F.C@D7:Al4utt ru(leul2qh 3lq,hurzAl

#3th( sl(u.(qé(S22uleuleqé É ueluhl(u2.eSÉuleul2qhl3E34343E3l.S(lzrlSzh(ul2qhlsqrhlueeul

rultultqzL urhl.eztAl7eeul(urh(uleul2qhl3luhlq,h urhleul2qh 3lÉ /suttqztlS.(2tlSLq (lÉe ozdlh(q tl

3q tltz(l7F.C@D7:Al+zueluthleul2qhlqz,e dl.S(l3th( sl-l

$irltn rhd(uttulsSrtlÉuhhulozuth qrlzr ozu2urhlSz5l2qh 3tlq,hurztl4l.S(h (lsulmotsloz lÉq22urÉurhll.S(leSl

euhh(ul3gluhltul.qz(tz Lurhlurl0z5hS.qtSrhlsutltdozurÉutlE3lqzl43AlirlS..ueeullargeur szl2qh 3leulrq2,(ulsul

ÉS((uSz5lÉq2.( tlurh(uleutl.q rhtleutl.eztl4léSzÉ1ul uhl 4l s(q hul szl 2qh 3l q,hurzAl BS(l u5u2.eugl eSl eS(éuz(lszl2qh 3lq,hurzl4l.S(h (lszlmotl343E3E3l uthlaAl a. +zueeuluthleSleS(éuz(lszl2qh 3lq,hurzl4l.S(h (lszl motl3E3E343l-l b. @rlmotlÉqr3q(2ul4len1<.qh12tulszl$Éq2.q(hul s 5leuhh(utl4luhls 5leuhh(utlEAl4dhu(2 ru(lhqzhutleutl eS(éuz(tl.qtt ,eutlszl2qh 3lq,hurz Al 6 " N e N dd &e é r a ng' e e é r a npr a n a e s megc* e N lg e rn r a n s / c!quotesdbs_dbs4.pdfusesText_7