Déterminer l'estimateur du maximum de vraisemblance de λ Exercice 6 La hauteur maximale en mètres de la crue annuelle d'un fleuve est une variable aléatoire
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Ce polycopié contient le cours, les sujets d'exercice et leurs corrigés ainsi que les Méthode des moments 29 4 Maximum de vraisemblance 30 5 Exercices 33 La δ-méthode ou l'étude asymptotique d'un estimateur obtenu par la
[PDF] Méthodes destimation 1 Méthode des moments - Université de Nantes
Déterminer l'estimateur du maximum de vraisemblance de λ Exercice 6 La hauteur maximale en mètres de la crue annuelle d'un fleuve est une variable aléatoire
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Corrigé séance 4 Estimateurs maximum de vraisemblance et méthode des moments Exercices Ainsi, l'estimateur maximum de vraisemblance est p = ¯X
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7 déc 2010 · Exercice 1 : Estimation On consid`ere On admettra que les premiers moments deles résultats suivants E [Xk] = σ√ Méthode des Moments
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est différent de celui par méthode des moments (EMM) Exercice 2 Un estimateur linéaire et sans biais de θ s'écrit sous la forme ˆ θn
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0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 Donner une estimation ponctuelle pour θ Exercice 2 Soit X le caractère égale au nombre de pannes que subit un certain type d'
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D'après l'exercice 1 du TD 3, cette fonction est maximale pour θ = ¯Xn On peut On pourrait aussi proposer un estimateur par la méthode des moments
Corrigés des exercices
Corrigés des exercices théorique de S considérant ce que l'on sait de la méthode de mesure (voir section 4 2 6), l'estimateur des moments ̂θM est tel
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Déterminer un estimateur des paramètres θ et γ par la méthode des moments 1) Le professeur corrige un échantillon de 7 copies et trouve une moyenne de
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En déduire l'estimateur p de p par la méthode du maximum de vraisemblance 5 Calculer le biais et l'erreur quadratique de p Exercice 2: Nous disposons d'un n-
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Université de NantesAnnée 2013-2014
L3 Maths-EcoFeuille 3 : Méthodes d"estimation
1 Méthode des moments
Exercice 1SoitXune variable aléatoire réelle de loiP(X= 0) =aa+ 1;P(X= 1) =1a+ 1;
n2N, et(X1;:::;Xn)unn-échantillon deX. Ici,a >0est un réel inconnu que l"on souhaite estimer à l"aide de(X1;:::;Xn). Déterminer un estimateur deapar la méthode des moments. Exercice 2SoientXune variable aléatoire réelle de densité f(x) =8 >>:12asix2[0;a],12(1a)six2]a;1],
0 sinon,
n2N, et(X1;:::;Xn)unn-échantillon deX. Ici,a2]0;1[est un réel inconnu que l"on souhaite estimer à l"aide de(X1;:::;Xn). Déterminer un estimateur deapar la méthode des moments. Exercice 3SoientXune variable aléatoire réelle de densité f(x) =(+ 1)(+ 2)(1x)xsix2[0;1],0 sinon,
n2N, et(X1;:::;Xn)unn-échantillon deX. Ici, >1est un réel inconnu que l"on souhaite estimer à l"aide de(X1;:::;Xn). Déterminer un estimateur depar la méthode des moments. Exercice 4SoientXune variable aléatoire réelle de densité f(x) =p1p2ex22 + (1p)1p4ex24 ; x2R: n2N, et(X1;:::;Xn)unn-échantillon deX. Ici,p2]0;1[est un réel inconnu que l"on souhaite estimer à l"aide de(X1;:::;Xn). Déterminer un estimateur deppar la méthode des moments. 12 Méthode du maximum de vraisemblance
Exercice 5SoitXune variable aléatoire réelle de loiP(X=k) =kk!e; k2N;
n2N, et(X1;:::;Xn)unn-échantillon deX. Ici, >0est un réel inconnu que l"on souhaite estimer à l"aide de(X1;:::;Xn). Déterminer l"estimateur du maximum de vraisemblance de. Exercice 6La hauteur maximale en mètres de la crue annuelle d"un fleuve est une variable aléatoire réelleXde densité f(x) =( xa ex22asix>0,0 sinon.
Soientn2Net(X1;:::;Xn)unn-échantillon deX. Ici,a >0est un réel inconnu que l"on souhaite estimer à l"aide de(X1;:::;Xn). 1. Déterminer l"estimateur du max imumde vraisem blancebandea.2.Application.Une crue supérieure à6mètres serait catastrophique. Pendant8ans, on
a observé les hauteurs de crue du fleuve en mètres. Les résultats sont :2;5;2;9;1;8;0;9;1;7;2;1;2;2;2;8. À partir de ces mesures, donner une estimation ponctuelle
deaet une estimation de la probabilité d"avoir une catastrophe une année donnée. Exercice 7Soit(Y1;:::;Yn)un vecteur denvariables aléatoires réelles telles que, pour touti2 f1;:::;ng, Y i=i +Xi; où>0et >0sont des réels connus,(X1;:::;Xn)est un vecteur denvariablesaléatoires réelles indépendantes et identiquement distribuées suivant la loi Normale centrée
réduite, et >0est un réel inconnu que l"on souhaite estimer à l"aide des(Y1;:::;Yn). 1. Déterminer la vraisem blanceet la log-vraisem blancede (Y1;:::;Yn). 2. Déterminer l"estimateur du maxim umde vraisem blance bnde. 3. Est-il sans biais ?Déterminer les v aleursde pour lesquelles l"estimateurbnconverge. Exercice 8SoientXune variable aléatoire réelle de densité f(x) =(1)xsix>1,