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Analyse - Exo7 - Cours de mathématiques

Cité 1 fois — L'outil central abordé dans ce tome d'analyse, ce sont les fonctions toutes les vidéos correspondant à ce cours, ainsi que des exercices corrigés Fiche d' exercices Exercice 1

Cours danalyse 1 Licence 1er semestre

gé des exercices 69 Remerciements Merci `a Thierry Mignon, Vladimir Verchinin, Julien Munier, 

Analyse 1

imited'unesommedefonctions Cette notion sera très utile dans la suite des cours d'analyse de façon pratique (ce qui pourra servir pour des exercices ) la borne sup et la

Analyse 1 - MISMI, UE M1MI2011, Annales 2011-2015 Alain Yger

vera dans ce polycopié les annales du cours d'Analyse 1 (UE M1MI2011) ont été incorporés dans la liste des exercices (fascicule II) Annexe A Annales 2011-2012, texte et corrigé du DS 1, 1h30 1

Analyse Mathématique I - Département de Mathématique

ence et nombres réels 1 1 SuitesdeCauchyetcomplétion 6 Exercices en Analyse Ils sont dit syllabus de Calculus mais que ce cours n' exerce pas ces définitions

Analyse 1 - MISMI, UE M1MI2011, Annales 2011-2015 Alain Yger

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EXERCICES dANALYSE MATHEMATIQUE - Unité AFO

1992 — le cours d'analyse du Professeur J Schmets et `a servir de base aux séances de travaux pratiques

Cours danalyse 1ère année

Exercices : – Montrer que ]1,2] est borné, admet un pge mais pas de ppe – Montrer 

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Analyse 1 - MISMI, UE M1MI2011

Alain Yger

Institut de Math

ematiques, Universite Bordeaux 1, Talence 33405,

France

E-mail address:Alain.Yger@math.u-bordeaux1.fr

Version du 24 mars 2014.

R esume.Ce cours correspond a l'enseignement qui sera dispense en 2013-2014 dans l'UE N1MI2011 Analyse 1de la Licence de Mathematiques.Il s'appuie sur le programme de l'UE d'initiation a l'Analyse dispensee au Semestre 1. On poura trouver dans [Ymis] un polycopie complet de l'ancienne UEMathe- matiques de base , telle qu'elle etait dispensee en MISMI (2007-2008). Ce cours en reprend certains points. La redaction de ces notes doit enormement aux notes manuscrites redigees par Philippe Charpentier, avec qui j'ai en- seigne cette UE en 2011-2012. Les ouvrages collectifs [MatL1] (chapitre IV) et [MatToutenUn], partie IV (tous deux disponibles en plusieurs exemplaires a la BU, et que je vous invite vivement a consulter) m'ont aussi beaucoup inspire pour la redaction de ce polycopie; il faut signaler qu'ils contiennent une foule de tests ou d'exercices corriges. Destine a des etudiants envisageant de poursuivre soit dans un cursus Mathematiques (fondamentales ou appliquees, la distinc- tion est devenue aujourd'hui bien dicile a faire), soit dans un cursus Infor- matique ou Mathematique-Informatique, ce cours est accompagne ou illustre par une demarche algorithmique, avec des ponts, lorsqu'ils sont possibles, vers les applications, visant a placer, autant que faire se peut, les Mathematiques en situation. Les textes des exercices proposes par les charges de TD en

2011-2012 et 2012-2013 (Jean-Francois Aujol, Marc Arnaudon, Yuri Bilu, Mi-

chel Bonnefont, Patrick Fischer, Jean Gillibert, Karim Kellay, Stanislas Kupin, Pierre Mounoud, Fouad Zarouf), ont ete regroupes en Annexe A, ainsi que les corriges des deux devoirs surveilles 2011-2012 (en annexes respectivement B et C) et 2012-2013 (en annexes respectivement D et E). Le texte de DST 2012-

2013 gure en Annexe F. En toute n de ce polycopie, apres l'index, vous

trouverez aussi (aux titre d'annales) le texte et le corrige (merci a Philippe Charpentier) de l'examen nal (2011-2012). L'utilisation de sites (souvent in- teractifs) de ressources multimedia en ligne, en particulier le serveurWIMS(sous ce lien :https://wims.u-bordeaux1.fr/wims/) ou la plate-formeMoodle(sous laquelle vous pouvez vous logger depuis votreENTsur le site de Bordeaux 1 (cliquez ensuite sur l'ongletEspace Formationsur le bandeau), pourra s'averer egalement d'une grande utilite pour la pratiqueactive des exercices. Si- gnalons enn que divers chiers.mw(a ouvrir sous l'environnement du logiciel de calcul symboliqueMAPLEdisponible au CREMI ou a l'espace ALPHA) sont en ligne sur surhttp://www.math.u-bordeaux1.fr/yger/MAPLE-analyse1; il permettent ainsi, au l des seances de revisiterle cours de maniere a la fois illustree et interactive; une aide a la prise en main du logicielMAPLEest disponible sur ce m^eme lien.

Table des matieres

Chapitre 1. Suites de nombres reels ou complexes1

1.1. Des fractions aux nombres reels1

1.2. Suites de nombres reels4

1.3. Operations surRet limites de suites de reels8

1.4. Propriete des

segments emboites, critere des suites adjacentes 11

1.5. Valeurs d'adherence, notions de limsup et liminf13

1.6. Comportement des suites de nombres reels non bornees17

1.7. Des suites de nombres reels aux suites de nombres complexes19

1.8. Suites et critere de Cauchy21

Chapitre 2. Fonctions continues et fonctions derivables25

2.1. Preliminaires : adherence et notion de limite25

2.2. Continuite d'une fonction en un point27

2.3. Continuite d'une fonction sur intervalle deR28

2.4. Derivabilite39

2.5. Derivations d'ordre superieur et formules de Taylor60

2.6. Developpements limites (DL) des fonctions en un point69

2.7. Applications geometriques des developpements limites78

Chapitre 3. Integration au sens de Riemann89

3.1. Fonctions en escalier sur un segment89

3.2. Integration des fonctions reelles bornees denies sur un segment92

3.3. Une classe de fonctions reelles integrables sur un segment95

3.4. Calcul approche de l'integrale des fonctions reelles continues97

3.5. Une seconde caracterisation des fonctions reglees reelles99

3.6. La classe des fonctions Riemann-integrables101

3.7. Criteres d'integrabilite par comparaison106

3.8. Integration Riemann et sommes de Darboux110

3.9. Integration-Riemann et formules de la moyenne116

3.10. Annexe : une preuve du critere d'integrabilite (Theoreme 3.1)123

Annexe A. Une liste d'exercices de TD

(2011-2012, 2012-2013)127 Annexe B. Annales 2011-2012, texte et corrige du DS 1, 1h30149 Annexe C. Annales 2011-2012, texte et corrige du DS 2, 1h30157 Annexe D. Annales 2012-2013, texte et corrige du DS 1, 1h30163 Annexe E. Annales 2012-2013, texte et corrige du DS 2, 1h30167 v viTABLE DES MATIERES Annexe F. Annales 2012-2013, texte et corrige du DS Terminal, 3h00173

Bibliographie181

Index183

CHAPITRE 1

Suites de nombres reels ou complexes

1.1. Des fractions aux nombres reels

Toute fraction positivea=b2Q+, aveca2Netb2N, admet undeveloppement decimal illimite (DDI): lapartie entierede ce developpement est un entier naturel E(a=b) =q(le quotient deaparbdans la division euclidiennea=bq+r, que l'on note aussi parfoisq= [a=b]), ditepartie entierede la fraction positivea=b; lesdecimalessuccessives sont des chires entre 0 et 9, generes de proche en proche suivant l'algorithme de division euclidienne. La suite des decimales est ainsi une ap- plication deNdansf0;:::;9g, on dit aussi unesuited'elements def0;:::9gindexee parN. On ecrit d

1=d(1); d2=d(2); d3=d(3);etc:;

et la suitek2N7!d(k) de decimales successives se note ainsi (dk)k1. L'expres- sion q+ 0;d1d2d3[] est ditedeveloppement decimal illimite (DDI)de la fraction positivea=b(la virgule est remplacee par un point dans la terminologie anglo-saxonne). Par exemple (1.1) 22
7 = 3;142857142857142857142857 [] (posez la division comme vous l'auriez fait au college). Une premiere observation s'impose ici. L'une des particularites de l'operation de division euclidienne iteree [ak:b] (a0=a,a1=abq, ...) conduisant au calcul des decimales de proche en proche (on le constate sur l'exemple (1.1)) est que le nombre de restespossibles a chaque etape est ni (car le reste dans la division euclidienne deak2Nparb2Nest un entier naturel entre 0 etb1). Or il est un principe clef en mathematiques, lie a la notion d'injectivite : si l'on dispose de Kboites vides et d'un nombre d'allumettes (a ranger dans les boites) strictement superieur aK, on mettra forcement deux allumettes dans la m^eme boite! Suivant ce principe, dans le processus de division conduisant a l'ecriture decimale d'une fractiona=b, on est donc certain qu'au bout d'un certain temps, le m^eme reste va apparaitre deux fois de suite, au quel cas la suite des decimales reproduira toujours le m^eme motif, et l'on pourra ecrire le DDI dea=bsous la forme (1.2)q; d1d2[]dkmotif motif motif[] =q; d1d2[]dkmotif oumotifest unmotcompose d'une suite de chires entre 0 et 9 et repete ensuite indeniment, ce que l'on exprime ici par la notationmotif Une seconde observation s'impose egalement. On remarque que, suivant pareil procede, il est impossible d'obtenir une suite de decimales (dk)k1se presentant 1

21. SUITES DE NOMBRES REELS OU COMPLEXES

sous la forme d

1; d2; d3;; dk;9;9;9;9;avecdk2 f0;:::;8g:

Si tel etait le cas, le nombrea=bs'ecrirait, en remontant les calculs : a b =q+d1 10 +d2 100
++dk 10 k+9 10 k+11 +1 10 +1 100
=q+d1 10 ++dk 10 k+1 11 10 9 10 k+1 =q+d1 10 ++(dk+ 1) 10 k; et toutes les decimales a partir de lak-ieme devraient ainsi ^etre nulles. Toute fractiona=b2Q(on prend cette foisa2Zetb2N) se trouveen- codee (une fraction correspondant a unencodageet un seul) par la donnee de deux choses : { un nombre entierq2Z, plus grand entier inferieur ou egal aq, que l'on appellepartie entieredea=b; { une suite de decimalesk2N7!dk2 f0;:::;9gnissant par repeter indeniment un mot nimotif(dierent du mot constitue du seul chire 9).

La fraction

encodeeparqet la suite (dk)k0est la fraction q+ 0;d1d2d3[]dkmotif On peut la recalculer a partir de la connaissance ded1;:::;dket du motmotif. Exemple1.1 (un exemple en guise d'exercice).On traitera un exemple pour se convaincre. Partons du DDI :

12 + 0;431 572

Si ce DDI correspond a un nombrex, celui de 1000x12431 est

0 + 0;572

celui de 1000(1000x12431) est donc

572 + 0;572

Les deux nombres 1000(1000x12431)572 et 1000x12431 devraient avoir le m^eme DDI. En ecrivant qu'ils sont egaux, on trouve

1000(1000x12431)572 = 1000x12431;

d'ou l'on deduit bien quexest une fraction. Reste juste a verier, en reprenant les calculs a l'envers, que le DDI dexest bien 12 + 0;431572 , comme on le voulait. Les fractionsa=bque l'on encode ainsi de maniere a ce que la suite des decimales stationne a 0 (dk= 0 pourkassez grand) sont lesnombres decimaux. Pour denir les nombre reels, il sut juste de s'aranchir de la regle derepetition d'un motifqui preside a la construction des DDI des fractions. D efinition1.1.Un nombrereel(donne sous forme decimale) est la donnee : { d'un nombre entier relatifE=E(x) =floor(x), que l'on appellepartie entiere dex; on noteceil(x)le nombreE(x) + 1.

1.1. DES FRACTIONS AUX NOMBRES R

EELS3 { d'une suite (dk)k1de chires entre 0 et 9, sans aucune restriction cette fois sur le comportement de la suite, hormis le fait de ne pas stationner indeniment a 9. On note le nombre reel encode par l'entierEet la suite (dk)k1comme : (1.3)x=E+ 0;d1d2d3[] On dit que l'ecriture (1.3) ci-dessus correspond audeveloppement decimal illimite (DDI) du nombre reelx. L'ensembleRdes nombres reels contient l'ensembleQdes nombres rationnels (une fois que l'on a identie un nombre rationnel avec son developpement decimal illimite), puisque l'on n'impose plus cette fois aucune restriction a la suite des decimalesdk(hormis le fait de ne pas stationner a 9). Le nombre (1.4)= 3 + 0;141592653589793238462643383279502884197169399375 [] (aucun mot ne parait ici a premiere vue repete) est par exemple un nombre reel. Dicile cependant de voir si ce developpement decimal illimite correspond ou non a celui d'un nombre rationnel car le mot (eventuel) amene a se repeter dans un DDI du type (1.2) pourrait ^etre long et par consequent dicile a trouver. D efinition1.2 (ordre surR).On denit unordresur l'ensembleRen decidant que le nombre reelxencodeparEet (dk)k1estavant(ou encorepre- cede ) le nombre reelx0encodeparE0et (d0k)k1(auquel cas on ecritxx0) si et seulement si { d'une partEE0(suivant l'ordre sur les entiers relatifs); { d'autre part, la suite de chires (dk)k1precede la suite (d0k)k1lorsque l'on choisit comme ordre l'ordre lexicographique (ou du dictionnaire), les chires 0;1;:::;9 etant ranges dans cet ordre (comme le seraient les dix lettres A,B,C,D,E,F,G,H,I,J). Sixyetx6=y, on ecritx < yet on dit quexeststrictement inferieur ay. D efinition1.3 (sous-ensembles majores, sous-ensembles minores deR).Un sous-ensembleAdeRest ditmajores'il existe un nombre reelMtel que

8x2A; xM:

On dit alors queMest unmajorantdeA. Un sous-ensembleAdeRest ditminore s'il existe un nombre reelmtel que

8x2A; mx:

On dit alors queMest unminorantdeA.

Une des proprietes fondamentales de l'ensembleRainsi construit est la suivante : Proposition1.1 (propriete de la borne superieure).SiAest une partie deR non vide et majoree, l'ensemble (non vide) de tous les majorants deA, c'est-a-dire l'ensemble

Majorant(A) :=fM2Rtel que8x2A; xMg

contient un unique nombre reel (notesup(A)et appele borne superieure deA) tel que

8y2Majorant(A);sup(A)y:

41. SUITES DE NOMBRES REELS OU COMPLEXES

Le nombre reelsup(A)est ainsi le plus petit des majorants de l'ensembleA lorsque Aest non vide et majore). LorsquesupAappartient aA, on dit quesupAest le maximum deAet on notesupA= maxA. De m^eme, siAest une partie deRnon vide et minoree, l'ensemble (non vide) de tous les minorants deA, c'est-a-dire l'ensemble minorant(A) :=fm2Rtel que8x2A; mxg contient un unique nombre reel (noteinf(A)et appele borne inferieure deA) tel que

8y2minorant(A); yinf(A):

Le nombre reelinf(A)est ainsi le plus grand des minorants de l'ensembleA (lors- queAest non vide et minore). LorsqueinfAappartient aA, on dit queinfAest le minimum deAet on noteinfA= minA. D emonstration.Considerons tous les DDI des elements deA. L'ensemble de toutes les parties entieres de tous ces DDI est un sous-ensemble deZmajore par la partie entiere du DDI de n'importe quel element de Majorant(A); il admet donc un plus grand elementE. Notons maintenantA1l'ensemble des premieres decimales des nombres reels appartenant aAet dont la partie entiere estE(il en existe); comme sous-ensemble def0;:::;9g, cet ensemble admet un plus grand elementd1. On noteA2l'ensemble des secondes decimales des nombres reels appartenant aA et dont le DDI commence parE+ 0;d1[] (il en existe); comme sous-ensemble def0;:::;9g, cet ensemble a un plus grand elementd2. On continue ainsi de suite pour construire une suite (dk)k1de proche en proche. Le nombre dont le DDI1 est donne par

E+ 0;d1d2d3[]

est un majorant deA, plus petit par construction m^eme que tout autre majorant de A. Il convient comme candidat a ^etre la borne superieure deA, sup(A). On raisonne de la m^eme maniere pour prouver l'existence d'un plus grand minorant lorsqueA est minore. Remarque1.1 (Attention! les bornes superieure ou inferieure d'un sous-en- sembleAdeR, si elles existent, ne sont pas toujours dans l'ensembleA).Il convient de prendre garde au fait que la construction donne dans la preuve de la Proposi- tion 1.1 ci-dessus ne fournit pas en regle generale un point de l'ensembleA . Au fur et a mesure des etapes (travail avec sous-ensembles deAsuccessifs,A1,A2,etc.), l'appartenance aAest certes bien preservee, mais le reel sup(A) ou inf(A) nal, du fait qu'il implique toutes les decimales construites, n'est pas necessairement un element deA. On en verra des exemples plus loin.

1.2. Suites de nombres reels

D efinition1.4 (suite de nombres reels).Une suite de nombres reels est une application deNdansR, qui an2N, associe un nombre reelu(n) (que l'on note aussiun). La suite est alors notee (un)n0. Il peut arriver cependant que

1. Il se peut que la suite des decimales (dk)k1ainsi obtenue stationne a 9, auquel cas le

nombre reel obtenu comme borne superieure deAest le nombre decimal de developpement decimal deduit de celui obtenu en incrementant de 1 la derniere decimale non nulle precedent la suite de

9 et en mettant a 0 les decimales suivantes.

1.2. SUITES DE NOMBRES R

EELS5 l'applicationn7!u(n) =unne soit denie que pournassez grand (nn0). On note alors la suite (un)nn0. Exemple1.2.On peut parler de (1=(n+ 1))n0, mais seulement de la suite (1=(n(n2)))n3. Les suites de nombres reels peuvent ^etre denies de plusieurs manieres. { Exhaustivement par une formule du typeun=f(n),fdesignant une fonc- tion explicitement denie surfn0;n0+1;:::g, avecn0entier assez grand; ou bien alors par le fait queunsatisfasse une proprieteP(n) qui le caracterise completement (par exemple :unest len-ieme nombre premier). { Par une relation de recurrence a un pas : u n+1=F(un)8nn0; Fetant une fonction reelle explicitement denie au pointun, ce pour chaque valeur denn0, le calcul etant initie a partir d'une donnee initialeun0=x (x2R); la procedure algorithmique2 X=x; for j=1,...,n

X= F(X,j);

end fournit par exemple (avecX) le calcul deun0+npourn0, tandis que la procedure 3

X=[x];

for j=1,...,n

X=[op(X),F(X[nops(X)],nops(X))];

end (ounops(X)designe, etant donnee une liste ordonneeX=[...], son nombre de termes, etop(X)son contenu) fournit la liste [un0;:::;un0+n] desn+1pre- miers termes de la suite. { Par une relation de recurrence appas : u n+p=F(un;un+1;:::;un+p1); nn0; ou la fonctionFest une fonction reelle explicitement denie au point (un;un+1;:::;un+p1); ce pour chaque valeur denn0(il peut aussi y avoir une dependance enn) le calcul etant initie a partir depdonnees initialesun0=x0;:::;un0+p1= x p1, oux0;:::;xp1sontpnombres reels. Le calcul algorithmique desn premiers termes de la suite est alors plus complexe, car il faut disposer d'une

2. La syntaxe dans laquelle sont ici ecrites toutes les procedures algorithmiques mentionnees

dans ce cours est celle du logiciel de calcul scientiqueMATLABou de sonclonelibreScilab [Scilab]. Dans cette procedure, on a d'ailleurs integre (ce qui sera utile) le fait queF(un) depende non seulement deun, mais aussi den.

3. M^eme remarque que pour la procedure precedente; on a integre ici le fait queF(un) depende

aussi den.

61. SUITES DE NOMBRES REELS OU COMPLEXES

memoire(il faut a chaque cran avoir stocke en memoirep1 valeurs).

Par exemple, sip= 2, la procedure

X=x; Y=y; for j=2,...,n z = F(X,Y,j);

X = Y;

%avec cette instruction Y est conservee en memoire pour la suite

Y = z;

end permet (avecX,Y) de calculerun0+netun0+n+1(pourn0) lorsque les valeurs initiales sont les reelsun0=xetun1=y.

Exemple1.3.

{ Les suites (1=n(n3))n2ou (ln(pn)=n))n1, oupndesigne len-ieme nombre premier, sont du premier type (denition exhaustive); { les suitesalgebrico-geometriques(vues en MISMI, vous les reverrez en TD), generees par une relation de recurrenceun+1=aun+b, ouaetbsont des reels donnes, et initiees aun0=xsont du second type (recurrence a un pas); { la celebresuite de Fibonacci, denie comme la suite d'entiers initiee avec F

0=F1= 1 et generee ensuite par la relation inductiveFn+2=Fn+Fn+1

est du troisieme type (recurrence appas, donc avec memoire, ici avecp= 2). D efinition1.5 (suite convergente vers une limite nie, premiere approche). On dit que la suite de nombres reels (un)n0converge vers un nombre reellsi et seulement si : { la suite des parties reellesE(un),n0, des nombres reelsukstationne, pour kassez grand, a la partie entiereE(l) del; { pour chaquek2N, la suite (dk(un))n0desk-iemes decimales des nombres reelsun,n0, stationne, pourkassez grand, a lak-ieme decimaledk(l) du nombre reell.

On ecrit alors

l= limn!+1un: D efinition1.6 (suites de nombres reels monotones au dela d'un certain rang). Une suite de nombres reels (un)nn0est ditecroissante(au dela du rangNn0) siun+1unpour toutnN. Elle est ditedecroissante(au dela du rangNn0) siun+1unpour toutnN. Proposition1.2 (suites croissantes majorees, suites decroissantes minorees). Soit(un)nn0une suite de nombres reels croissante au dela du cranNn0, telle quefun;nn0gsoit majore. La suite(un)nn0converge vers le nombre

L= limn!+1un= supfun;nNg:

Soit(un)nn0une suite de nombres reels decroissante au dela du cranNn0, telle quefun;nn0gsoit minore. La suite(un)nn0converge vers le nombre l= limn!+1un= inffun;nNg:

1.2. SUITES DE NOMBRES R

EELS7 D emonstration.La preuve de ce resultat important est, avec pareille pre- sentation concretedes reels, tout a fait limpide, tout au moins heuristiquement. Cette vision soutend l'intuition de la notion de convergence en analyse numerique. Si (un)nNest une suite de reels croissante majoree, la suite de leurs parties entieres (E(un))nNest une suite d'entiers croissante majoree, donc certainement station- naire sur un entierEau bout d'un certain temps : ceci signie que lesE(un) - nissent, lorsquendepasse un certain seuilS0N, de toujours prendre la m^eme va-

leur. Une fois quena franchi ce seuil, la suite des premieres decimales (d1(un))nS0desunest une suite croissante majoree de nombres entre 0 et 9. Elle nit encore, au

bout d'un certain temps (nS1S0), par stationner sur une decimaled1ensuite

gee. PournS1, on raisonne de maniere identique pour la suite (d2(un))nS2des secondes decimales desun, qui nit a la longue par se ger sur une decimaled2,

etc.On voit ainsi les decimales desun,nn0segerles unes apres les autres, en les approchant par en dessous, vers les decimales d'un certain nombre reell(car le DDIE+0:d1d2:::correspond a un tel reell). Notons que l'on peut obtenir le DDI de ce reel limitelse terminant par une suite innie de 9; il faut alors prendre en compte l'autre DDI d'un tel nombrel(celui se terminant par une suite innie de zeros). La suite (un)nn0converge bien vers ce reellau sens de la Denition 1.5. La limite est par construction le plus petit des majorants de l'ensemblefun;n0g. Un raisonnement identique vaut lorsque (un)n0est decroissante minoree, la limite etant bien dans ce cas le plus grand de tous les minorants defun;nn0g. Exemple1.4 (approximations decimales (par defaut) d'un nombre reel).Six est un nombre reel admettant le DDI

E+ 0;d1d2d3[]dk[];

la suite des nombres decimaux x n=E+nX k=1d k 10 k; n1; est une suite croissante de nombres rationnels convergent vers le nombre reelx. Tout nombre reel est donc limite de nombres rationnels (m^eme en fait decimaux) 4 Nous verrons que ce fait, essentiel si l'on pense a l'informatique (les seuls nombres possibles a encoder sont les fractions), est en un sens assez surprenant, car il y a tres peu de nombres rationnels comparativement, on le verra, aux nombres reels : il est en eet possible, comme l'ont fait le mathematicien Stern et l'horloger de precision

Brocot au XIX-eme siecle, de

rangerles rationnels en une suitefx0;x1;:::g (sans repetitions); on dit queQest denombrable, ce qui n'est pas, on le verra plus loin, le cas deR(voir la Proposition 1.7 a venir). Exemple1.5 (le paradoxe de Zenon).Leparadoxe de Zenon d'Eleeillustre depuis l'antiquite le comportement des suites croissantes de nombres reels majorees : supposons qu'un archer positionne a l'origine deRdecoche sa eche en direction desx >0 et que cette eche retombe a une distancel1. L'archer va ensuite se positionner au point d'impact et relance sa eche, mais, fatigue oblige, il ne peut la

4. Il est aussi vrai que tout nombre reel est une limite de nombres irrationnels (i.e.non

elements deQ) : il sut pour cela de remarquer que l'on peut detruire la presence de motifs repetes periodiquement dans le DDI d'une fraction en modiant, dans chaque motifrepete, une des decimales de maniere a exclure toute possibilite que le DDI ainsi perturbesoit encore de la forme (1.2).

81. SUITES DE NOMBRES REELS OU COMPLEXES

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