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Licence de Mathématiques.
Université d"Artois. 2014-2015
EXAMEN ANALYSE 4- session1
Eléments de correction
Cours-Applications.
cf cours.Exercice 1.PourxPRfixé, la fonctiontP r0;1s ÞÝÑexsin2ptqest continue donc intégrable sur le
segmentr0;1s. L"intégrale est bien définie etFest définie surR. Ensuite, :pt;xq P r0;1s RÞÝÑexsin2ptqadmet une dérivée partielleBBx2pt;xq pour tout pointpt;xq P r0;1s Rqui vautBBx2pt;xq sin2ptqexsin2ptq
De pluspt;xq P r0;1s RÞÝÑsin2ptqexsin2ptqest clairement continue.Ainsi, la fonctionFest de classeC1(surR) et
@xPR; F1pxq » 1 0 sin2ptqexsin2ptqdtExercice 2.L"applicationpx;y
q PR2ÞÑx2ycosy3xest continue. Par ailleurs, on voit facilement queDest inclus dansr0;1s r0;1s(compact) donc l"intégrale est bien définie. L"applicationpx;yq PDÞÑ px2{y;y4{xqenvoieDdans le carrés0;1rs0;1rpar dé- finition deD. De plus, elle est bijective deDsurs0;1rs0;1r. En effet pourpu;vq P s0;1rs0;1r, le problèmeux2y etvy4x est équivalent àxu4{7v1{7etyu1{7v2{7, de pluspx;yqest alors bien dansDpar définition. Enfin les applicationspx;yq ÞÑ pu;vq etpu;vq ÞÑ px;yqsontC1doncpx;yq ÞÑ px2{y;y4{xqréalise bien unC1difféomorphisme deDsurs0;1rs0;1r. Le déterminant de la matrice jacobienne depu;vq Ps0;1rs0;1rÞÝÑ u4{7v1{7;u1{7v2{7
vaut17u2{7v4{7
On note par la suites0;1rs0;1ret on applique alors la formule de changement de variable D x2ycosy3xdxdy¼
u9{7v4{7cosuv17u2{7v4{7dudv17
ucosuvdudv D"après le théorème de Fubini, cela vaut encore 17 s0;1r s0;1rucosuvdv duCommeufixé,»
s0;1rucosuvdv» 1 0 ucosuvdv sinpuvq 1 0 sinpuq, on obtient D x2ycosy3xdxdy17
1 0 sinpuqdu1cosp1q7Exercice 3.cf T.D.
Exercice 4.1) On fixe un réelxPs 1;1retnPN. Les intégrales sont bien définies comme intérgales de fonctions continues sur un segment. En effet, c"est évident concernantWn d"une part. D"autre part,tP r0;{2s ÞÝÑ11xcos2ptqest continue puisque1xcos2ptq ne s"annule pas car|x| 1. En effectuant le changement de variable proposé, on obtientFpxq »
8011u2xdu»
8 01u2?1x2du
1?1xarctan
u?1x 8 0 doncFpxq 2
?1x11xcos2ptq8¸
n0 xcos2ptqn De plus, la série de fonctionstÞÑxcos2ptqnconverge normalement donc uniformé- ment surr0;{2s. En effet, on a pour touttP r0;{2set tout entiern:qui est le terme général d"une série convergente (série géométrique de raison|x| 1).
Ainsi on peut intervertir signe somme et intégrale et cela donneFpxq »
{2 08 n0 xcos2ptqndt8¸ n0» {20xcos2ptqndt
2 soitFpxq 8¸
n0x n» {2 0 cos2nptqdt8¸ n0W nxn:3) cf cours.
4) On a finalement pour toutxPs 1;1r
8 n0W nxnFpxq 2 ?1x2 8 n0p2nq!4 npn!q2xn: Par unicité du DSE, on obtient que pour tout entiern: W np2nq!22n1pn!q2
Exercice 5.1) PourxPRfixé, on a11n2x1x
1n2qui est le terme général d"une série
1n 2 et conclure de même. DoncSpxqest bien défini.2) Les fonctionsxÞÑ11n2xsont de classeC1surRet leur dérivée vautf1npxqn2p1n2xq2.
Or la série de fonction
°f1nconverge normalement donc uniformément sur tout intervalle de la formesa;8roùa¡0fixé. En effet, on a sup 21n2 qui est le terme général d"une série convergente. D"après le théorème du cours sur la dérivation des séries de fonctions,Sest de classe C