Les 9 boules de l'urne sont indiscernables au toucher, tirer 3 boules La probabilité de tirer exactement deux boules de même couleur est p(C)= 55 84 ó0,65
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Les 9 boules de l'urne sont indiscernables au toucher, tirer 3 boules La probabilité de tirer exactement deux boules de même couleur est p(C)= 55 84 ó0,65
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Chapitre 13 : Probabilités partie 2 : les combinaisons Page 1 sur 2
Terminale S. - Lycée Desfontaines - Melle
Correction exercice 4 - Probabilités 2
On tire simultanément 3 boules dans une urne contenant 4 boules rouges, 3 vertes et 2 noires indisernables au
toucher.1. Combien y-a-t-il de tirages possibles ?
Les 9 boules de l"urne sont indiscernables au toucher, tirer 3 boules simultanément parmi les 9 consiste donc
constituer une combinaison de 3 éléments parmi 9. Il y a donc 93 càd 84 tirages possibles.
2.a. Calculons la probabilité de l"événement A :"le tirage contient exactement 2 boules rouges"
Pour que A se réalise, il faut tirer 2 boules rouges parmi les 4 et 1 boule non rouge parmi les 5 non rouges.
Or, tirer 2 boules rouges parmi les 4 revient à constituer une combinaison de 2 éléments parmi 4
donc il y a 42=6 possibilités faire un tel tirage.
Et il y a
51=5 possibilités de tirer une boule non rouge (3 vertes et 2 noires) parmi les 5 non rouges.
D "où il y a 6×5=30 possibiltés de tirer exactement deux boules rouges. donc en supposant l "équiprobabilité des tirages, p(A) = ((( 42×(((
)))5 1 9 3 = 3084 = 514 ó0,36
La probabilité de tirer exactement deux boules rouges est p(A)= 514 ó0,36
b. Calculons la probabilité de l"événement B : "Le tirage contient au moins 2 boules rouges".
"Tirer au moins 2 boules rouges" revient à "tirer soit 2 boules rouges exactement, soit 3 boules rouges"
Il y a donc 30
+4=34 possibilités de tirer au moins 2 boules rouges.Or, nous avons vu qu
"il y a ((( 42×(((
)))51=30 possibilités de tirer exactement 2 boules rouges, et tirer 3 boules
rouges revient à constituer une combinaison de 3 éléments parmi 4 soit 43=4 possibilités
Donc en supposant l
"équiprobabilité, p(B) = ((( 42×(((
)))5 1+((( )))43×(((
)))5 0 9 3 = 3484 = 1742 ó0,4
La probabilité de tirer au moins 2 boules rouges est p(B)= 1742 ó0,4
c. Calculons la probabilité de l"événement C : "Le tirage contient exactement 2 boules de même
couleur" ?Pour que C se réalise, on peut :
- tirer exactement 2 boules vertes ce qui revient à constituer une combinaison de 2 éléments parmi 3 et
tirer une boule non verte ce qui revient à constituer une combinaison de 1 élément parmi 6. Il y a donc
3 2((( 61=18 possibilités de tirer exactement 2 boules vertes.
- ou tirer exactement 2 boules noires ce qui revient à constituer une combinaison de 2 éléments parmi 2 et
tirer une boule non noire ce qui revient à constituer une combinaison de 1 éléments parmi 7. Il y a donc
2 2((( 71=7 possibilités de tirer exactement 2 boules noires.
Chapitre 13 : Probabilités partie 2 : les combinaisons Page 2 sur 2 - ou tirer exactement 2 boules rouges sachant qu"il y a ((( 42×(((
)))51=30 possibilités de la faire.
- D"où finalement, il y a 18+7+30=55 possibilités de tirer exactement 2 boules de même couleur donc
en supposant l "équiprobabilité p(C) = ((( 32×(((
)))6 1+((( )))22×(((
)))7 1+((( )))42×(((
)))5 1 9 3 = 5584 ó0,65
La probabilité de tirer exactement deux boules de même couleur est p(C)= 5584 ó0,65
d. Calculons la probabilité de l"événement D : "Le tirage contient une boule de chaque couleur"
Pour que D se réalise, il faut :
- tirer exactement une boule rouge ce qui revient à constituer une combinaison de 1 élément parmi 4.
- et tirer exactement une boule verte ce qui revient à constituer une combinaison de 1 élément parmi 3.
- et tirer exactement une boule noire ce qui revient à constituer une combinaison de 1 élément parmi 2.
Il y a donc
4 1((( 3 1((( 21=24 possibilités de tirer une boule de chaque couleur
Donc p(D)
= 2484 = 27 ó0,29
La probabilité de tirer une boule de chaque couleur est p(D)= 27 ó0,29.
3. Si les trois boules tirées sont rouges, le joueur gagne 100 euros ; si exactement deux boules tirées sont
rouges, il gagne 15 euros ; si une seule boule est rouge, il gagne 4 euros ; dans les autres cas, il ne gagne
rien. On appelle X la variable aléatoire qui prend pour valeurs le gain, en euros, du joueur lors d "un jeu. a. Déterminons la loi de probabilité de la v.a. XX peut prendre pour valeurs 100, 15, 4 ou 0.
o p(X =15)=p(A)= 5 14o Tirer exactement 3 boules rouges revient à constituer une combinaison de 3 éléments parmi 4. Il y a
donc 43=4 possibilités de tirer exactement 3 boules rouges donc p(X=100)= 4
84 = 1
21o Tirer deux boules non rouges revient à constituer une combinaison de 2 éléments parmi 5 et tirer une
boule rouge revient à constituer une combinaison de 1 élément parmi 4, il y a donc 5 2((( 4 1=40 possibiltés de tirer exactement 1 boule rouge donc p(X =4)= 4084 = 1021 o p(X =0)=1-(P(X=4)+p(X=15)+p(X=100))=1- 1021 - 514 - 1
21 = 5
42D "où la loi de probabilité de la v.a. X : xi 100 15 4 0
P( )X=xi 1
21 5
14 1021 5
42b. Pour une mise de 10 euros, le jeu est-il favorable au joueur ?