Étant donnée une fonction f : R −→ R, l'étude de ses branches infinies a pour objectif de comprendre en On dit que la courbe de f admet une branche parabolique d'axe (Ox) – Soit lim x→+∞ f(x) parabolique de direction y = ax Exercice 1 Étudier le comportement asymptotique des fonctions suivantes g(x) = cos(x)
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Etude de branches innies.
1 Demarche
Etant donnee une fonctionf:R!R, l'etude de ses branches innies a pour objectif de comprendre en details le comportement def(x) quandxtend vers +1ou1. La premiere chose a faire est donc de calculer lim x!+1f(x). On peut alors donner une premiere interpretation des dierents resultats que l'on peut obtenir pour ce calcul. On distingue prin- cipalement deux types de resultats possibles. (Remarque : ici, on travaillera autour de +1, mais l'on pourrait faire exactement la m^eme chose autour de1). Premier cas.Cette limite est nie : limx!+1f(x) =`2R: On conclue alors que la courbe admet uneasymptote horizontaled'equationy=`en +1 et l'etude est terminee.Exemples :
f(x) =1x ; g(x) =xex; h(x) =2x2+ 1x 2+ 3 Second cas.Cette limite est innie : limx!+1f(x) = +1: La fonctionfn'admet alors pas d'asymptote horizontale en +1et l'on doit poursuivre l'etude pour etudier de plus pres le comportement def(x) autour de +1. Intuitivement, le calcul de limx!+1f(x) nous dit dans ce cas la quef(x) grandit quandxgrandit. Les questions qui se pose a ce moment la sont : \a quelle vitesse granditf(x)? Grandit-elle plus vite ou moins vite quex?" La encore, un calcul de limite va pouvoir nous aider a repondre : pour comparer la croissance def(x) et celle dex, on calcule limx!+1f(x)x Le comportement de la fonctionfautour de +1dependra alors du type de reponse obtenu mais contrairement a tout a l'heure, on distingue ici trois types de reponses possibles (et non plus deux).Soit lim
x!+1f(x)x = 0:Dans ce cas,f(x) grandit moins vite quex.Exemples :
f(x) = ln(x); g(x) =px; h(x) =x2+ 12 px3: 1 On dit que la courbe defadmet une branche parabolique d'axe (Ox).Soit lim
x!+1f(x)x = +1. Dans ce cas,f(x) grandit plus vite quex.Exemples :
f(x) =ex; g(x) =x2; h(x) =x4+ 2x31x 2+ 4: On dit que la courbe defadmet une branche parabolique d'axe (Oy).Soit lim
x!+1f(x)x =a2R. Dans ce cas, la vitesse de croissance def(x) est comparable a celle deaxquandxgrandit. Pour eectuer cette comparaison, on etudie une derniere limite : celle de la dierencef(x)axet on distingue deux cas :Soi tlim
x!+1f(x)ax=b2Ret la courbe defadmet la droite d'equationy=ax+b pour asymptote oblique.Exemples :
f(x) =x3+x+ 1x2+ 4; g(x) =x(px
2+ 2xpx
2+ 1); h(x) =x2lnx+ 2x
Soi tlim
x!+1f(x)ax=1et la courbe defadmet une branche parabolique de directiony=ax.Exemples :
f(x) =x+px; g(x) =x2lnx+ 1lnx ********************Resume :1. Calcul de lim
x!+1f(x).- Si c'est un reel`, asymptote d'equationy=`.- Si c'est +1, passer a l'etape 2.2. Si le resultat precedent est +1, calcul de limx!+1f(x)x
.- Si c'est 0 ou +1, pas d'asymptote mais une branche parabolique.- Si c'est un reelanon nul, passer a l'etape 3.3. Si le resultat precedent est un nombre non nula2R, calcul de limx!+1f(x)ax.- Si c'est un reelb, la droite d'equationy=ax+best alors asymptote a la courbe def.- Si c'est +1, pas d'asymptote mais une branche parabolique d'axe oblique.2