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Exercice 4 5 points

La courbe cf ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction f définie et deux fois déri-

vable sur l'ensemble des nombres réels.

Elle passe par les points A(1:4e0,5) ,

B(0;5) et C(5;0).

Le point

D(-3;0) appartient à la tangente à cf au point A.

On note

f' la fonction dérivée de f sur R.

Partie A- Par lecture graphique

1. Quel le signe de f'(1) ? Justifier.

2. Que semble représenter le point A pour la courbe c

f ?

3.a. Préciser le domaine du plan dont l'aire est égale à I = ∫01

f(x)dx unités d'aire. b. Recopier sur votre copie le seul encadrement qui convient parmi :

0⩽I⩽9 10⩽I⩽12 20⩽I⩽24

Partie B-Par le calcul

On admet que pour tout réel x, f(x)=(-x+5)e0,5x et f'(x)=(1,5-0,5x)e0,5x.

On note

f'' la fonction dérivée seconde de f sur R.1.a. Vérifier que, pour tout réel x, f''(x)=0,25(-x+1)e0,5x

b. Résoudre l'équation f''(x)=0. Montrer que le point A est un point d'inflexion de la courbe cf. c. Sur quel intervalle la fonction f est-elle convexe ? Justifier.

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2. Soit F la fonction définie, pour tout nombre réelx , par F(x)=(-x+14)e0,5x. On admet que F

est une primitive de f sur R.

Calculer I = ∫01

f(x)dx. On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au centième.

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CORRECTION

Partie A-Par lecture graphique

1. f'(1) est le coefficient directeur de la tangente en A à cf. Ce coefficient directeur est positif

(car la tangente est la représentation graphique d'une fonction affine croissante).

Conclusion

f'(1)est du signe +

2. Graphiquement on remarque que pour x < 1 la courbe est au dessus de cette tangente et pour

x > 1 la courbe est en dessous donc A est un point d'inflexion de la courbe cf.

3.a. f est une fonction continue et positive sur [0;3] donc I = ∫03

f(x)dx est l'aire en unités d'aire

de la partie de plan : d comprise entre la courbe cf, l'axe des a bscisses et les droites

x=0 et x=1. b.

20⩽I⩽24 . On compte le nombre de rectangles entiers (de dimensions les unités de longueur sur les axes)

contenus dans d. On obtient 19 et on peut affirmer que l'aire de d est supérieure ou égale à 20

en évaluant la partie contenue dans d et non colorée en vert.

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. On compte le nombre minimal de rectangles entiers contenant d. On obtient 24 (partie colorée en bleu sur le dessin).

Partie B-Par le calcul

1.a. f(x)=(-x+5)e0,5x f est deux fois dérivable sur R

On a (eu)'=u'eu donc (e0,5x)'=0,5e0,5x En dérivant un produit on obtient

f''(x)=(-0,5)e0,5x+(-0,5x+1,5)(0,5e0,5x)=-0,5e0,5x-0,25xe0,5x+0,75e0,5x f''(x)=0,25(-x+1)e0,5x

b. f''(x)=0⇔x=1 car pour tout nombre réel x e0,5x>0

Le signe de f''(x) est le signe de -x+1.

On donne le résultat sous la forme d'un tableau Donc f'' s'annule en changeant de signe pour x=1 et le point A est un point d'inflexion de la courbe c. f''(x)⩾0⇔-x+1⩾0⇔1⩾x donc f est convexe sur l'intervalle ]-∞;1].

2. On admet que F, définie sur R par F(x)=(-2x+14)e0,5x est une primitive de f sur R donc

I = ∫03

f(x)dx = F(3)-F(0)=8e1,5-14e0 I =

8e1,5-8≃21,85.

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