On considère la suite vn définie, pour tout entier naturel n, par vn = ln un − ln on utilise le fait que la racine carrée est strictement croissante : 0
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On considère la suite ( un ) définie par u0=1 et pour tout entier naturel n, fonction racine carrée est strictement croissante sur [0;+∞[ donc √0 < √2un √4
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On considère la suite (un) définie par u0 = 1 et, pour tout entier naturel n, On a aussi pour tout entier naturel n,vn+1 = lnun+1 −ln2, mais un+1 = √2un Pour le dénominateur, les racines sont 0 et −1, le coefficient dominant est 1 > 0
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b) Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n⩾0 : 0⩽un⩽1 3) La suite (un) est croissante et majorée par 1, elle est donc convergente Soit L sa Le trinôme x2+x– 2 a pour discriminant Δ=12 – 4×1×(–2)=9>0 , il a donc deux racines 2(un−1) un+4 un+1+2= 3un+2 un+4 +2= 3un+2+2un+8 un+4 = 5un+ 10
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