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Cours d"électrocinétique Sup TSI
Chapitre 3 : Régime transitoire
I. Étude des cir cuitsRC, RL et RLC série en régime libr e 1.Cas du cir cuitRC
a)Équation dif férentielle
Branchons une résistanceRaux bornes d"un condensateur chargé (figure 1a).RCK q0t <0Figure 1aRCui
q t0Figure 1b À l"instantt= 0on ferme l"interrupteurK. On a alors (figure 1b) : u=Ri=qC aveci=dqdtOn obtient l"équation différentielle :
dqdt +qRC = 0 oudqdt +q = 0=RChomogène à un temps est appelée constante de temps ou temps de relaxation. Le circuitRCest donc un circuit de premier ordre caractérisé par la constante de temps =RC. b)Résolution de l"équation dif férentielle
On a :
dqdt +q = 0)dqq =dt )q(t) =Aet=Àt= 0,q(t= 0) =q0=A
D"où :
q(t) =q0et=D"autre part,u=qC eti=dqdt . Donc : u(t) =u0et=eti(t) =u0R et=Régime transitoire 1/11 Y ElmokhtariCours d"électrocinétique Sup TSI
avecu0=q0C La représentation des fonctionsq(t)eti(t)sont données sur les figures 2a et 2b.0q(t)tq 0Figure 2a0i(t)t
u0RFigure 2b
Commentaires :
q(t)etu(t)sont des fonctions continues tandis quei(t)est discontinu ent= 0. En régime permanent (t >> ),q(t!+1)!0,u(t!+1)!0eti(t!+1)!0. L"intersection de la tangente à l"origine et l"axe des abscisses se fait ent=. En effet, la tangente à l"origine a pour équationq(t) =kt+q0aveck= (dqdt )t=0=q0Le point d"intersection est donc pourt=.
Plusest faible, plus la décharge du condensateur à travers la résistance est rapide et inversement. c)Portrait de phase
La trajectoire de phase est la courbe dé-
crite par le point figuartifPde coordonnées (f(t);df(t)dtOn appelle portrait de phase l"ensemble
des trajectoires de phase lorsque les condi- tions initiales varient.Dans le cas du circuitRC, le plan de phase
est (q;dqdt =i). Puisquei=q , La trajec- toire de phase est une droite affine (figure 3).Pi qFigure 3
d)Bilan éner gétique
L"énergieWdissipée par effet Joule dans le résistor est : W=Z +1 0Ri2dt=Z
+1 0u 20R e2t=dt=12Cu20=q202CRégime transitoire 2/11 Y Elmokhtari
Cours d"électrocinétique Sup TSI
Conclusion :
L"énergie emmagasinée à l"instant initial dans le condensateur est intégralement dissipée
par effet joule dans le résistor. 2.Cas du cir cuitRL
a)Équation dif férentielle
Soit le circuit de la figure 4a. À l"instantt= 0, on ouvre l"interrupteurK. On a alors (figure 4b) : u(t) =Ri(t) =LdidtSoit encore :
di(t)dt +RL i(t) = 0 etdu(t)dt +RL u(t) = 0Le circuitRLest donc un circuit de premier ordre caractérisé par la constante de temps =LR .K I 0LR t <0Figure 4aK I 0LR t0i(t)i(t)u(t)Figure 4b b)Résolution de l"équation dif férentielle
On a :
i(t) =Aet= iétant continu ent= 0, alorsi(t= 0) =I0=AD"où :
i(t) =I0et=D"autre part,u=Ri. Donc :u(t) =RI0et=La représentation des fonctionsi(t)etu(t)sont données sur les figures 5a et 5b.Régime transitoire 3/11 Y Elmokhtari
Cours d"électrocinétique Sup TSI
0u(t)t
RI0Figure 5a0i(t)tI
0Figure 5b
c)Portrait de phase
On a :
di(t)dt =RL i(t)Dans le plan de phase (i;didt
) la trajectoire de phase est une droite affine. d)Bilan éner gétique
L"énergieWdissipée par effet Joule dans le résistor est : W=Z +1 0Ri2dt=Z
+1 0RI20e2t=dt=12
LI20Conclusion :
L"énergie emmagasinée à l"instant initial dans la bobine est intégralement dissipée par effet
joule dans le résistor. 3.Cas du cir cuitRLC
a)Équation dif férentielle
Soit le circuit de la figure 6.
La loi des mailles implique :
Ri+Ldidt
+qC = 0 aveci=dqdtOn en déduit :
d 2qdt 2+RL dqdt +1LC q= 0i LR CqFigure 6
Posons :
!0=1pLC : Pulsation propre.Régime transitoire 4/11 Y ElmokhtariCours d"électrocinétique Sup TSI
Q=L!0R
=1RC!0: Facteur de qualité (sans dimension).
2=RL =!0Q :est le coefficient d"amortissement.L"équation différentielle s"écrit :
d 2qdt 2+!0Q dqdt +!20q= 0 oud2qdt2+ 2dqdt
+!20q= 0Le circuitRLCsérie est donc un circuit du second ordre caractérisé par la pulsation propre
0=1pLC
et son facteur de qualitéQ=L!0R =1RC! 0.Signification physique deQ:
PlusQest grand (est petit), plus l"amortissement dû à la présence de la dérivée première
est faible. b)Résolution de l"équation dif férentielle
La solution est de la forme :
q(t) =A1er1t+A2er2t A1etA2sont des constantes qui dépendent des conditions initiales etr1etr2sont les racines
de l"équation caractéristique : r 2+!0Q r+!20= 0 Le discriminant réduit de cette équation est :0=!204Q!20=!20(14Q21) =2!20
Il existe trois cas selon le signe de0:
0>0ouQ <0;5; > !0: C"est le régime apériodique.
Les racines sont des réelles :
r 1;2=q 2!20Donc :
q(t) =et[A1ep2!20t+A2ep
2!20t]
Lorsquet!+1,etl"emporte etq!0sans osciller.
La représentation des fonctionsq(t)eti(t)sont données sur la figures 7a pour les condi- tions initialesq(t= 0) =q0eti(t= 0) = 0tandis que la trajectoire de phase est donnée sur la figure 7b.Régime transitoire 5/11 Y ElmokhtariCours d"électrocinétique Sup TSI
0q(t)i(t)tq
0Figure 7ai
qFigure 7b
La trajectoire de phase est une courbe ouverte caractéristique d"un système apériodique.0= 0ouQ= 0;5;=!0: C"est le régime critique.
Les deux racines sont réelles et confondues :r1=r2==!0.D"où :
q(t) = (B1+B2t)etQuandt!+1,q!0rapidement sans osciller.
La représentation des fonctionsq(t)eti(t)sont données sur la figures 8a pour les condi- tions initialesq(t= 0) =q0eti(t= 0) = 0tandis que la trajectoire de phase est donnée sur la figure 8b.0q(t)i(t)tq0Figure 8ai
qFigure 8b
0<0ouQ >0;5; < !0: C"est le régime pseudo-périodique.
Les racines sont complexes conjuguées :
r1;2=iq!
202=iavec =p!
202est la pseudo-pulsation.
Donc :
q(t) =et[C1cos( t) +C2sin( t)] =Cetcos( t+') C"est une fonction pseudo-périodique d"amplitudeQm=Cetvariable en fonction du temps et de pseudo-période : T=2 =T0r 1(!0)2=T0r
114Q2Régime transitoire 6/11 Y Elmokhtari
Cours d"électrocinétique Sup TSI
avec :T0=2! 0. La représentation de la fonctionq(t)est donnée sur la figures 9a pour les conditions initialesq(t= 0) =q0eti(t= 0) = 0tandis que la trajectoire de phase est donnée sur la figure 9b.0q(t)tq0Figure 9aqi
Figure 9b
c)Bilan éner gétique
On a trouvé :
Ldidt +qC +ri= 0)Ldidt i+qC i+ri2= 0D"où :
ddt (12Li2+q22C) =Ri2
que l"on peut écrire : dWdt =Ri2 oùW=12 Li2+q22Cest l"énergie emmagasinée dansLetC. Cette énergie diminue par dissi- pation dans la résistanceR. II. Réponse d"un cir cuitRC, RL et RLC à un échelon de tension 1.Cas du cir cuitRC
a)Régime transitoir e
Soite(t)un échelon de tension (figure 10a) c"est à dire :8>>>><
>>>:e(t) = 0 sit <0 e(t) =E=cstesit >0Le circuit de la figure 10b est soumis à cet échelon de tension.Régime transitoire 7/11 Y Elmokhtari
Cours d"électrocinétique Sup TSI
e(t)E t0Figure 10ae(t)iR
CuFigure 10b
La loi des mailles, pourt >0, s"écrit :
E=Ri+uaveci=dqdt
=CdudtDonc :dudt
+u =E avec=RCLa solution de cette équation s"écrit :
u(t) =Aet=+E Si le condensateur est initialement non chargé alors :u(t= 0) = 0et doncA=E. D"où : u(t) =E(1et=) eti(t) =Cdudt =ER et=Ces relations montrent queu(t!+1)!Eeti(t!+1)!0. En régime permanent, le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert (i= 0). Il retarde l"établissement de la ddp entre ses bornes. La représentation des fonctionsu(t)eti(t)sont données sur les figures 11a et 11b.u(t)t0EFigure 11a0i(t)tE
RFigure 11b
b)Étude éner gétique
On a :
E=Ri+qC
)Ei=Ri2+qC iaveci=dqdtOn a donc :
Ei=Ri2+ddt
(q22CCette équation traduit un bilan énergétique tel que :Régime transitoire 8/11 Y Elmokhtari
Cours d"électrocinétique Sup TSI
Eiest la puissance fournie par le générateur; Ri2est la puissance dissipée par effet Joule dans le résistorR; q22Cest l"énergie électrique emmagasinée dans le condensateur. Calculons l"énergie totale fournie par le générateur : W g=Z +1 0Eidt=CE2
Puisque l"énergie emmagasinée dans le condensateur estWC=12CE2, on conclut que la
résistance dissipe la moitié de l"énergie fournie par le générateur. 2.Cas du cir cuitRL
Soit le circuit de la figure 12. Àt= 0, on ferme l"interrupteurK.Pourt <0:i(t) = 0.
Pourt >0, la loi des maille s"écrit :
E=Ri+Ldidt
)didt +RL i=ELLa solution de cette équation s"écrit :
i(t) =Aet=+ER aveci(t= 0) = 0. Donc :A=EROn a donc :
i(t) =ER (1et=) etu(t) =Ldidt =Eet=Ces relations montrent quei(t!+1)!ER etu(t!+1)!0. En régime permanent, la bobine se comporte comme un fil de résistance nulle (u= 0). Elle retarde l"établissement du courant dans le circuit. EiRK LuFigure 12
La représentation des fonctionsi(t)etu(t)sont données sur les figures 13a et 13b.Régime transitoire 9/11 Y Elmokhtari