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Mr MORICEAU, année scolaire2009-2010http://ammaths.t35.com/

Mathématiques

CORRECTION DU BREVET (DNB)

MÉTROPOLE, RÉUNION, MAYOTTE,juin2010

Correction proposée par Mr MORICEAU

Saint Denis (RÉUNION), le01juillet2010

1°partie : Activités numériques

VExercice1:

1. On utilise le programme de calcul :

a) On choisitle nombre2.

•On multiplie ce nombre par(-2):2×(-2) =-4

•On ajoute5:-4 + 5 = 1

•On multiplie par5:1×5 = 5

Si on choisit le nombre2au départ, le résultat obtenu est5avec ce programme de calcul b) On choisitle nombre3.

•On multiplie ce nombre par(-2):3×(-2) =-6

•On ajoute5:-6 + 5 =-1

•On multiplie par5:(-1)×5 =-5

Si on choisit le nombre3au départ, le résultat obtenu est-5avec ce programme de calcul 1 Mr MORICEAU, année scolaire2009-2010http://ammaths.t35.com/

2. On choisitle nombrex.

•On multiplie ce nombre par(-2):x×(-2) =-2x

•On ajoute5:-2x+ 5

•On multiplie par5:(-2x+ 5)×5 =-10x+ 25

Pour que le résultat du programme de calcul soit0, nous sommes amenés à résoudre l"équation-10x+ 25 = 0 -10x+ 25 = 0 -10x+ 25 -25= 0- 25 -10x=-25 -10x -10=-25-10 x= 2,5

2,5est la solution de l"équation-10x+ 25 = 0.

Si on choisit le nombre2,5; le résultat obtenu est0avec ce programme de calcul

3.(x-5)2-x2= (x-5-x)×(x-5 +x) = (-5)×(2x-5) =-10x+ 25.

Nous venons de voir que sixest le nombre de départ, le résultat de ce programme est-10x+ 25. Or(x-5)2-x2=-10x+ 25. Arthur a raison, l"expression(x-5)2-x2permet d"obtenir le résultat de ce programme de calcul si on choisit au départ le nombrex.

VExercice2:

1. Par lecture graphique :

a) A partir de6litres d"eau liquide, on peut obtenir6,5litres de glace. b) Pour obtenir10litres de glace, il faut mettre à geler environ9,2litres d"eau liquide.

2. La représentation graphique du volume de glace obtenu (enlitres) à partir d"un

volume d"eau liquide (en litres) estune droite qui passe par l"origine du repère 2 Mr MORICEAU, année scolaire2009-2010http://ammaths.t35.com/ Nous pouvons dire que le volume de glace estproportionnelau volume d"eau liquide.

3. Notonsple pourcentage recherché.

p=?

10,8-10

10?

×100 = 8

Ce volume d"eau augmente de8%en gelant.

2°partie : Activités géométriques

VExercice1:

1. Je vous laisse le soin de faire la figure en vraie grandeur.

2. a)ABCDest un carré donc l"angle?ABCest un angle droit. Comme le pointI

appartient au segment[AB]et le pointKappartient au segment[BC]alors l"angle ?JBKest un angle droit.

D"autre part,JB=BK= 9÷3 = 3. Ainsi,JB=BK= 3cm.

Le triangleJBKest rectangle enB, nous pouvons donc appliquer le théorème de Pythagore et écrire :JK2=JB2+BK2.

On a donc :

JK

2= 32+ 32= 9 + 9 = 18

Par conséquent,JK=⎷

18 = 3⎷2

La valeur exacte deJKest3⎷2cm et une valeur arrondie au dixième près deJKest4,2cm. b)IK≈4,2cm etKL= 3cm. Donc, l"octogoneIJKLMNOPn"a pas tous ses côtés de la même longueur. L"octogoneIJKLMNOPn"est pas un octogone régulier. 3 Mr MORICEAU, année scolaire2009-2010http://ammaths.t35.com/ c) Avant de déterminer l"aire de l"octogoneIJKLMNOP, remarquons que les tri- anglesAIP,JBK,LCMetNDOsont tous des triangles rectangles. En appliquant le théorème de Pythagore dans ces quatre triangles, on obtient :

IK=LM=ON=IP= 3⎷

2cm Ces quatre triangles ont la même aire. Notons par exempleAJBKl"aire du triangle JBK. A

JBK=JB×BK

2=3×32= 4,5

L"aire de chaque triangle rectangle est égale à4,5cm2 NotonsAl"aire de l"octogoneIJKLMNOPetAABCDl"aire du carréABCD.

Nous pouvons écrire :

A=AABCD-4× AJBK= 92-4×4,5 = 81-18 = 63

L"aire de l"octogoneIJKLMNOPest égale à63cm2.

3. a) Je vous laisse le soin de tracer le cercle demandé.

b) NotonsAdisquel"aire du disque de centreSet de diamètre9cm.

Le rayon de ce disque est4,5cm.

Nous pouvons écrire :Adisque=π×4,52= 20,25π≈63,6 l"aire du disque de centreSet de diamètre9cm est environ égale à63,6cm2.

Comme63,6>63alors l"aire du disque de centreS

et de diamètre9cm est supérieure à l"aire de l"octogone

IJKLMNOP.

VExercice2:

1. Je vous laisse le soin de tracer le triangleABCdemandé.

2. Le côté le plus long de ce triangleABCest le côté[BC]qui mesure5,2cm.

Calculons séparémentBC2etAB2+AC2.

BC

2= 5,22= 27,04

AB

2+AC2= 22+ 4,82= 4 + 23,04 = 27,04?

doncBC2=AB2+AC2 D"après la réciproque du théorème de PYTHAGORE, on peut direque le triangle

ABCest rectangle enA.

4 Mr MORICEAU, année scolaire2009-2010http://ammaths.t35.com/ le triangleABCest rectangle enA

3. Calculons la longueurBSet la longueurCS

Le triangleABSest rectangle enA, nous pouvons donc appliquer le théorème de Pythagore et écrire :BS2=BA2+AS2.

On a donc :

BS

2= 22+ 32= 4 + 9 = 13

Par conséquent,BS=⎷

13 La valeur exacte deBSest⎷13cm et une valeur arrondie au dixième près deBSest3,6cm. Le triangleACSest rectangle enA, nous pouvons donc appliquer le théorème de

Pythagore et écrire :CS2=CA2+AS2.

On a donc :

CS

2= 4,82+ 32= 32,04

Par conséquent,CS=⎷

32,04
La valeur exacte deCSest⎷32,04cm et une valeur arrondie au dixième près deCSest5,7cm. 5 Mr MORICEAU, année scolaire2009-2010http://ammaths.t35.com/ Patron (les longueurs ne sont pas en vraie grandeur sur ce dessin) :

4. NotonsVSABCle volume de la pyramideSABC.

V

SABC=aire de la base×hauteur

3

On peut écrire que :

V

SABC=?

AB×AC

2×SA?

÷3 =AB×AC×SA6

Donc, V

SABC=2×4,8×3

6= 4,8

le volume de la pyramideSABCest égal à4,8cm3 6 Mr MORICEAU, année scolaire2009-2010http://ammaths.t35.com/

3°partie : Problème

Première partie : peinture des murs et du plafond

1. a) L"aire du plafond est :Aplafond= 6,40×5,20 = 33,28.

l"aire du plafond est égale à33,28m2 b) Il faut1litre de peinture pour peindre une surface de4m2.

33,28÷4 = 8,32

Il faudra donc8,32litres de peinture pour peindre le plafond

2. a) On noteAmurla surface de mur à peindre.

A mur= 2×5,20×2,80 + 2×6,40×2,80-0,8×2-3×2×1,60 = 53,76≈54

La surface de mur à peindre est d"environ54m2

b)

53,76÷4 = 13,44

Il faudra donc13,44litres de peinture pour peindre les murs 3.

13,44 + 8,32 = 21,76

Comme un pot de peinture a une contenance de5litres de peinture, il faudra5pots de peinture pour ce chantier. 7 Mr MORICEAU, année scolaire2009-2010http://ammaths.t35.com/ (avec4pots de peinture, on dispose de20litres de peinture et avec5pots on dispose de25litres de peinture)

Deuxième partie : pose d"un dallage sur le sol

1. Déterminons le plus grand diviseur commun à640et520à l"aide de l"algo-

rithme d"Euclide. Pour cela, effectuons des divisions euclidiennes successives et nous arrêterons le procédé lorsque le reste sera nul. Le plus grand diviseur commun à ces deux nombres (notéPGCD(640;520)) sera alors le dernier reste non nul.

640 = 520×1 + 120

520 = 120×4 + 40

120 = 40×3 + 0

Le dernier reste non nul est40doncPGCD(640;520) = 40

2. a) Le sol du local doit être entièrement recouvert par des dalles carrées de

même dimension. On cherche undiviseur communà640et520(on ne cherche pas forcément le plus grand!). On peut choisir des dalles dont le côté mesure20cm ou40 cm pour que les dalles puisent être posées sans découpe. b) Premier cas : des dalles carrées dont le côté mesure40cm

640÷40 = 16 520÷40 = 13

Et,13×16 = 208

Si le côté d"une dalle mesure40cm, il faudra utiliser208 dalles. Premier cas : des dalles carrées dont le côté mesure20cm

640÷20 = 32 520÷20 = 26

Et,32×26 = 832

Si le côté d"une dalle mesure20cm, il faudra utiliser832 dalles. 8 Mr MORICEAU, année scolaire2009-2010http://ammaths.t35.com/

Troisième partie : coût du dallage

1. a)•Pour une commande de9paquets avec le grossisteA, le coût sera de :

432e(48×9 = 432)

b)•Pour une commande de9paquets avec le grossisteB, le coût sera de :quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25