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A. P. M. E. P.

Brevet de technicien supérieur

Métropole-Antilles-Guyane

9 mai 2017- groupement B

Exercice110points

Dans un régulateur de niveau, La hauteur de li- quide varie en fonction du temps. On noteh(t) la hauteur (en mètre) atteinte par le liquide à l"ins- tantt(en heure).

On suppose quehest une fonction de la variable

réelletdéfinie et deux fois dérivable sur [0 ;+∞[.h(t) Lestrois partiesde cet exercicepeuventêtre traitéesde façonindépendante A. Résolutiond"une équationdifférentielle Une étude mécanique montre que la fonctionhest solution de l"équation différen- tielle (E) 10y??+3y?+0,2y=1, oùyest une fonction inconnue de la variable réellet, définie et deux fois dérivable sur [0 ;+∞[,y?la fonction dérivée deyety??sa fonction dérivée seconde.

1. a.Résoudre dansRl"équation 10r2+3r+0,2=0.

b.En déduire les solutions de l"équation différentielle(E0):

10y??+3y?

+0,2y=0. On fournit les formules suivantes :ÉquationsSolutionssur un intervalleI Équations différentielleSiΔ>0 :y(t)=λer1t+μer2t, oùr1etr2les solu-

tions de l"équation caractéristique.ay??+by?+cy=0.SiΔ=0 :y(t)=(λt+μ)ert, oùrest la racine

double de l"équation caractéristique.

Équation caractéristique :

ar

2+br+c=0 dediscrimi-

nantΔ.SiΔ<0 :y(t)=?λcos(βt)+μsin(βt)?eαt, oùr1=

α+iβetr2=α-iβ

sont les racines complexes

conjuguées de l"équation caractéristique.Lesconditionsinitiales dusystèmemécanique conduisentàposerh(0)=8eth?(0)=

0. Un logiciel de calcul formel fournit l"expression suivante de la fonctionh.

Brevet de technicien supérieurA. P. M. E. P.

?Calculformel →y=6e-t10-3e-t5+5 Quelle est la hauteur du liquide au bout de deux heures? Arrondir au dixième.

B. Étude de fonction

On considère la fonctionhdéfinie et dérivable sur [0 ;+∞[ par : h(t)=6e-0,1t-3e-0,2t+5. On noteCla courbe représentative dehdans un repère orthogonal et on appelleD la droite d"équationy=5.

1. a.Justifier que limt→+∞h(t)=5.

b.Interpréter graphiquement le résultat précédent.

2.Déterminer une expression deh?(t).

3.Un logiciel de calcul formel fournit le résultat suivant, qui est admis : l"en-

semble des solutions de l"inéquationh?(t)?0 est l"intervalle [0 ;+∞[. ?Calculformel

1h(t) :=6?exp(-0.1?t)-3?exp(-0.2t) + 5

→h(t) :=-3e-15t+6e-110t+5

2Résoudre[Dérivée[h(t),t]?0,t]

→{t?0} Dresser le tableau de variation de la fonctionhsur l"intervalle [0 ;+∞[.

Étude locale

On rappelle que la fonctionhest définie et dérivable sur [0 ;+∞[ par : h(t)=6e-0,1t-3e-0,2t+5. On noteCla courbe représentative dehdans un repère orthogonal et on appelleT la tangente à la courbeCau point d"abscisse 0. Un logiciel de calcul formel affiche la partie régulière du développement limité à l"ordre 2 de fonctionhau voisinage de zéro. ?Calculformel

1h(t) :=6*exp(-0.1*t)-3*exp(-0.2t)+5

→h(t) :=-3e-15t+6e-110t+5

PolynômeTaylor[h(t),t,0,2]

2→8-3100t2

1.Cette questionestune questionàchoix multiples. Uneseuleréponseestexacte.

justification. La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou uneabsence de ré- ponse ne rapporte ni n"enlève de point. Le développement limité de la fonctionh, à l"ordre 2, au voisinage de 0 est :

8-0,3t28-3100t2+t2?(t)

avec lim t→+∞?(t)=08-3100t2+t2?(t) avec lim t→0?(t)=0-3100t2+t2?(t) avec lim t→0?(t)=0

GroupeB29 mai 2017

Brevet de technicien supérieurA. P. M. E. P.

2.Cette questionestune questionàchoix multiples. Uneseuleréponseestexacte.

justification. La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou uneabsence de ré- ponse ne rapporte ni n"enlève de point.

Une équation de la tangenteTest :

y=-3100t2y=8-3100t2y=8y=8t

3.Étudier la position relative, au voisinage du point d"abscisse 0, de la courbe

Cet de la tangenteT.

Exercice210points

Les troispartiesde cetexercicepeuventêtre traitéesde façonindépendante. Dans cetexercice,sauf mentiondu contraire,les résultatsapprochéssont à arrondirà 10 -4. Une entreprise de métallurgie conçoit des pièces pour l"industrie aéronautique.

A. Loi exponentielle

tion des carlingues d"avion. Une machine permet de découperces plaques métal-

liques. de manière autonome. Cette machine nécessite d"être étalonnée régulière-

ment. On considère que la durée de bon fonctionnement, exprimée enheure, entre deux étalonnages, est modélisée par une variable aléatoireTde loi exponentielle de pa- ramètreλ=2×10-4.

On rappelle que :

— pour tout nombre réel positift, on aP(T?t)=1-e-λt, — l"espéranceE(T) de la variable aléatoireTest égale àE(T)=1

1.DéterminerP(T?2000).

2.Déterminer la probabilité que la durée de bon fonctionnement de cette ma-

chine dépasse 10000 heures.

3.CalculerE(T) puis interpréter ce nombre dans le contexte.

B. Loi binomiale et approximationpar une loinormale l"entreprise fabrique également des billes d"acier destinées à l"élaboration de roule- ments à billes. On suppose que 0,5% des billes fabriquées en usine présentent un défaut de fabrication. (la production est assez importante pour qu"on puisse assimiler ce prélèvement à des tirages avec remise de 1000 billes).

On considère la variable aléatoireXqui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le

nombre de billes qui présentent un défaut de fabrication.

1.Justifier que la variable aléatoireXsuit une loi binomiale dont on précisera

les paramètres.

2. a.Calculerp(X=0). Interpréter le résultat obtenu.

b.En déduire la probabilité qu"au moins une bille de l"échantillon présente un défaut de fabrication.

GroupeB39 mai 2017

Brevet de technicien supérieurA. P. M. E. P.

3.On décide d"approcher la loi de la variable aléatoireXpar la loi normale de

moyenne 5 et d"écart type 2,2. On noteYune variable aléatoire suivant cette loi normale. a.Justifier les valeurs des paramètres de cette loi normale. b.Déterminer, à l"aide de cette approximation, la probabilité qu"il y ait au plus 7billes présentant undéfaut de fabricationdansle lotde1000 billes, c"est-à-dire calculerP(Y?7,5).

C. Testd"hypothèse

μde l"ensemble des diamètres, en millimètre, des billes constituant la prochaine livraison à effectuer. On noteZla variable aléatoire qui, à chaque bille prélevée au hasarddans la livrai- son, associe son diamètre en millimètre. La variable aléatoire Z suit une loi normale de moyenne inconnueμet d"écart typeσ=0,15.

Ondésignepar

prélevé danslalivraison, associe lamoyennedesdiamètresdecesbilles.Lalivraison est suffisamment importante pour que l"on puisse assimiler ces prélèvements à des tirages avec remise. L"hypothèse nulleH0est : "μ=55», dans ce cas la livraison est dite conforme pour le diamètre.

L"hypothèse alternativeH1est : "μ?=55».

Le seuil de signification du test est fixé à 5%.

1.On admet que, sous l"hypothèse nulleH0, la variable aléatoire

Zsuit la loi

normale de moyenne 55 et d"écart typeσ=0,015. On souhaite déterminer, sous l"hypothèse nulleH0, le réel positifhtel que P? 55-h?

Z?55+h?

=0,95. Cette question est un questionnaire à choix multiples. Une seule réponse est correcte. Indiquer sur la copie la réponsecorrecte.Onne demandeaucune justification. La réponse correcte rapporte un point. Une réponse fausse ouune absence de réponse ne rapporte ni n"enlève de point. La valeur approchée deharrondie au centième est :

0,020,030,04

2.Énoncer la règle de décision permettant d"utiliser ce test.

des diamètres des 100 billes de cet échantillon est z=55,06 mm.

Quelle est la conclusion du test?

GroupeB49 mai 2017

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