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Cours d"analyse 1ère année

Rhodes Rémi

10 décembre 2008

2

Table des matières

1 Propriétés des nombres réels 5

1.1 Sous-ensembles remarquables deR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Relations d"ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Majorant, plus grand élément, borne supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 L"ensemble des réels, axiomatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5 Valeur absolue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.6 La fonction partie entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.7 Les intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.8 Densité deQet deRnQdansR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Suites réelles 11

2.1 Définition, premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Suites convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3 Suites extraites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4 Suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.5 Limites et inégalités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.6 Suites adjacentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.7 Suites de cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.8 Suites particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Fonctions réelles de la variable réelle 17

3.1 Premières définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2 Fonctions remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.3 Opérations sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.4 Limite d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.5 Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.6 Limite et inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.7 Limites et fonctions monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3

4TABLE DES MATIÈRES

4 Continuité des fonctions réelles de la variable réelle 23

4.1 Premières définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.2 Fonctions continues sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.3 Uniforme continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5 Dérivabilité 29

5.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.2 Opérations sur les dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.3 Accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5.4 Variations des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.5 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

6 Fonctions trigonométriques et hyperboliques 37

6.1 Fonctions circulaires directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

6.2 Fonctions circulaires réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

6.3 Fonctions hyperboliques directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6.4 Fonctions hyperboliques réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Chapitre 1

Propriétés des nombres réels

1.1 Sous-ensembles remarquables deR

Dans la suite, on note

N=fentiers positifsg=f0;1;2;:::g

Z=fentiers relatifsg=N[(N)

Q=fnombres rationnelsg=fpq

;p2Z;q2Ng

R=fnombres réelsg

1.2 Relations d"ordre

Définition 1.SoientE;Fdeux ensembles non vides. Une relation binaireRdeEversFest définie par une partieG(appelée graphe de la relation) deEF. Si(x;y)2 G, on dit quexest en relation avecyet on notexRy. Définition 2.SoitEun ensemble non vide. Une relation binaireRdeEversEest dite : - réflexive si8x2E,xRx, - antisymétrique si pour tousxetydansE: (xRyetyRx))x=y, - transitive si pour tousx;y;zdansE: (xRyetyRz))xRz. Définition 3.Une relation d"ordre sur un ensemble non videEest une relation binaire réflexive, antisymétrique et transitive. LorsqueEest munie d"une relation d"ordreR, on dit que(E;R)est un ensemble ordonné.

Exemples :

- SiE=N;Z;QouR, la relationest une relation d"ordre. - L"ordre lexicographique est une relation d"ordre sur l"ensemble des mots. - SoitEun ensemble non vide. La relationest une relation d"ordre sur les sous-ensembles deE.

Exercices :

- Montrer que la relation6CHAPITRE 1. PROPRIÉTÉS DES NOMBRES RÉELS - SoitE=N. Pourx;y2Eon notexjysixdivisey. Montrer quejest une relation d"ordre surE. Définition 4.Soit(E;R)un ensemble ordonné. Si pour tousxetydansE, on axRyouyRx, on dit que(E;R)est totalement ordonné.

Exemples :

-E=N;Z;QouRmuni deest une totalement ordonné. - L"ensemble des mots muni de l"ordre lexicographique est une ensemble totalement ordonné.

Définition 5.Un préordre sur un ensemble non videEest une relation binaire réflexive et transi-

tive. Proposition 1.L"ordresurRest compatible avec l"addition et la multiplication : pour tous x

1;x2;y1;y2

(x1x2ety1y2))x1+y1x2+y2 (x1x2et0y1))x1y1x2y1:

1.3 Majorant, plus grand élément, borne supérieure

Définition 6.Soit(E;)un ensemble ordonné etAun sous-ensemble deE. Un élémentx2E est appelé majorant deAsi pour touta2A, on aax. De même, un élémentx2Eest appelé minorant deAsi pour touta2A, on axa. Dans le cas où l"ensembleAadmet un majorant

(resp. minorant), on dit queAest majoré (resp. minoré). SiAest majoré et minoré, on dit qu"il

est borné. Exemple : le sous-ensemble] 1;1]deRest majoré et non minoré. Définition 7.Soit(E;)un ensemble ordonné etAun sous-ensemble deE. Un élémentx2E est appelé plus grand élément deAsix2Aetxest un majorant deA. De même, un élément x2Eest appelé plus petit élément deAsix2Aetxest un minorant deA.

Exercices :

- Montrer que]1;2]est borné, admet un pge mais pas de ppe. - Montrer quef1=n;n2Ngest borné, admet une pge mais pas de ppe. - SoitAun sous-ensemble deR. Montrer queAmajorée est équivalent àfa;a2Agest minoré. Proposition 2.SoitAun sous-ensemble d"un ensemble(E;)ordonné. SiAadmet un plus grand élément (resp. plus petit élément), alors celui-ci est unique. Preuve.Soientx;ydeux plus grands éléments. Commey2Aetxpge on ayx. De même, x2Aetypge donnexy. Par antisymétrie de la relation, on axyetyximplique x=y.Théorème 1.On munitNde la relation d"ordre usuelle. Alors :

1) Tout sous-ensemble non vide deNadmet un plus petit élément.

2) Tout sous-ensemble non vide et majorée deNadmet un plus grand élément.

1.3. MAJORANT, PLUS GRAND ÉLÉMENT, BORNE SUPÉRIEURE7

Définition 8.SoitAun sous-ensemble majoré d"un ensemble(E;)ordonné. Un élémentx2 Eest appelé borne supérieure deAsixest le plus petit des majorants deA. Ainsi, la borne

supérieure notéesup(A), si elle existe, est unique. De même, soitAun sous-ensemble minoré

d"un ensemble(E;)ordonné. Un élémentx2Eest appelé borne inférieure deAsixest le plus grand des minorants deA. La borne inférieure notéeinf(A), si elle existe, est unique. Exercice : on considère l"ensemble ordonné(Q;). Montrer que l"ensembleA=fx2Q;x2<

2gest borné mais n"admet pas de borne supérieure.

Proposition 3.Soient(E;)un ensemble ordonné,Aun sous-ensemble deEetx2E. Alors : xpge deA)x= sup(A))xest majorant deA; xppe deA)x= inf(A))xest minorant deA: Preuve.Sixpge deAalorsx2Aetxmajorant deA. Soityun autre majorant deA.ymajorant etx2Aimplquexy. Doncxest le plus petit des majorants deA, d"oùx= sup(A). De plus

x= sup(A)impliquexmajorant deA.Théorème 2.SoitAun sous-ensemble non vide deRmuni de la relation d"ordre usuelle.

1) SiAest majoré alorsAadmet une borne supérieure.

2) SiAest minoré alors la borne inférieure deAexiste.

Preuve.Admise pour le moment.Proposition 4.SoitAun sous-ensemble non vide et majoré deRmuni de la relation d"ordre

usuelle. On ax= sup(A)ssi :

1) pour touta2A,ax,

2) pour tout >0, il existea2Atel quex < ax.

De même, soitAun sous-ensemble non vide et minoré deRmuni de la relation d"ordre usuelle.

On ax= inf(A)ssi :

1) pour touta2A,xa,

2) pour tout >0, il existea2Atel quexa< x+.

Preuve.Supposonsx= sup(A).xest un majorant deAd"où 1). Pour 2), on considère >0. Commexest le plus petit des majorants deA,xn"est pas un majorant car plus petit quex.

Donc il existea2Atel quex < ax.

Réciproquement, supposons que 1) et 2) soient vérifiés et montrons quex= sup(A). 1) prouve quexest un majorant deA. Il reste à montrer que c"est le plus petit. Soity < xet posons =xy >0. Vu 2), il existea2Atel quex < ax, iey < ax. En particulier,yne peut être un majorant.Proposition 5.On considèreRmuni de la relation d"ordre usuelle.

1) SoitAun sous-ensemble deR. On poseA=fa;a2Ag. Alors :

sup(A) =inf(A)etinf(A) =sup(A):

2) SoitAun sous-ensemble deRetfune application deAdansR. On appelle borne supé-

rieure defdansAle nombre (s"il existe)supf(A)(encore notésupa2Af(a)) où f(A) =ff(a);a2Ag:

8CHAPITRE 1. PROPRIÉTÉS DES NOMBRES RÉELS

De même, la borne inférieure defdansAest donnée parinff(A)(encore notéeinfa2Af(a).

On dira quefest majorée (resp. minorée, resp. bornée) sif(A)est majoré (resp. minoré, resp.

borné). Preuve.en exercice.1.4 L"ensemble des réels, axiomatique Théorème 3.Le "corps" des nombres réels est un ensembleRpour lequel sont définies : - deux applications(x;y)7!x+yet(x;y)7!xydeRRdansRqui prolongent les opérations d"addition et de multiplication définies dansN,ZetQ, - une relation d"ordre totale, qui satisfont aux axiomes suivants :

1.x+ (y+z) = (x+y) +z,

2.x+y=y+x,

3. il existe un élément02Rtel que0 +x=xpour toutx2R,

4. pour toutx2R, il existe un élémentx2Rtel quex+ (x) = 0,

5.x(yz) = (xy)z,

6.xy=yx,

7. il existe un élément16= 0tel que1x=xpour toutx2R,

8. pour chaque élémentx6= 0deR, il existe un élémentx12Rtel quexx1= 1,

9.x(y+z) =xy+xz.

De plus, la relation d"ordre vérifie les propriétés suivantes :

1.xyimpliquex+zy+z,

2. (0xet0y) implique0xy.

Proposition 6. Propriété d"Archimède.Pour tout couple de réels(x;y)tel quex >0, il existe

n2Ntel queynx.

1.5 Valeur absolue.

Définition 9.Six2R, on appelle valeur absolue dex, notéejxj, le réel défini par jxj=xsi0x; xsix0:: Proposition 7. Propriétés de la valeur absolue.

1.8x2R,jxj 0,

2.8x2R,jxj= 0,x= 0,

3.8(x;y;r)2R3,jxyj r,yrxy+r,

4. (1ère inégalité triangulaire)8(x;y)2R2,jx+yj jxj+jyj,

5. (2ème inégalité triangulaire)8(x;y)2R2;jjxj jyjj jx+yj,

6.8(x;y)2R2,jxyj=jxjjyj.

1.6. LA FONCTION PARTIE ENTIÈRE9

1.6 La fonction partie entière

Définition 10.Soitxun nombre réel. Il existe un unique entier relatif, notéE(x), tel que :

E(x)x < E(x) + 1:

On appelleE(x)la partie entière dex.

1.7 Les intervalles

On définit les intervalles possibles d"extrémitésa,b,+1ou1(oùaetbsont deux réels),

chaque crochet pouvant être ouvert ou fermé en une extrémité non infinie, et ouvert en une extré-

mité infinie(il y a 9 types possibles d"intervalles au total, dont 5 sont bornés). L"ensemble vide est

également un intervalle. Par exemple, sia < bsont 2 réels ]a;b] =fx2R;a < xbg;] 1;a] =fx2R;xag: Proposition 8.Une partie deR, notéeI, est un intervalle si et seulement si :

8(x;y)2I2;xy)[x;y]I:

Preuve.Supposons queIsoit un intervalle (il y a donc 9 cas possibles). Par exemple, supposons I=]a;b]. Soient(x;y)2I2tels quexy. Montrons que[x;y]I. Soitz2[x;y], cad xzy. Commea < xbeta < yb, on aa < xzybdoncz2]a;b]. Réciproquement, supposons qu"une partieIdeRsatisfait8(x;y)2I2;xy)[x;y]I. Montrons queIest un intervalle. SiIest l"ensemble vide, la preuve est terminée. SinonIest non

vide. Il y a alors plusieurs cas possibles :Iest majoré ou non,Iest minoré ou non. Supposons par

exemple queIsoit majoré et non minoré. Notonsa= sup(I). A nouveau 2 cas sont possibles,

ou bienaest un plus grand élément deIou bien il ne l"est pas. Traitons par exemple le cas où il

l"est, et montrons queI=] 1;a](dans l"autre cas, il faut montrerI=] 1;a[). Soitx2I. Commeaest un majorant deI, on axadoncx2] 1;a]. Inversement, soitx2] 1;a]. On axa. CommeIest non minoré,xn"est pas un minorant deI, il existe doncy2Itel que

y < x. Ory;a2Ietyadonc[y;a]I. En particulierx2[y;a]I.Par ailleurs, les intervalles ouverts possèdent la propriété suivante importante :

Proposition 9.SoitIun intervalle ouvert. Alors :

8a2I;9 >0;]a;a+[I:

Preuve.en exercice.1.8 Densité deQet deRnQdansR Proposition 10.SoitI=]a;b[(a < b) un intervalle non vide deR. AlorsI\Qest non vide (Q est dense dansR) ainsi queI\(RnQ)(densité deRnQdansR). Preuve.D"après la propriété d"Archimède, on sait qu"il existe un entiern2Ntel que1n ba2 Soitkle plus grand entier tel quek=na. Par définition dek, on aa 10CHAPITRE 1. PROPRIÉTÉS DES NOMBRES RÉELS

Chapitre 2

Suites réelles

2.1 Définition, premières propriétés

Définition 1.Une suite réelle u est une application d"une partieIdeNdansR.

Remarque :

- On peut généralement se ramener au cas oùI=N, ce que l"on supposera souvent. - Notations :u= (un)n2Iparfois notée tout simplement(un)n.

Proposition 1. Opérations sur les suites.Soientuetvdeux suites réelles etaun réel. On définit

les suites :quotesdbs_dbs48.pdfusesText_48