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TS Corrigé des exercices sur l'étude de fonctions Dérivabilité La fonction f définie par f x =x x est-elle dérivable en 0 ? h 0, lim h 0 f 0 h − f 0

3 Calculer la fonction dérivée de f et étudier son signe 4 Dresser le tableau de variations de f 5 Tracer la courbe représentative de f Corrigé Exercice n˚2:

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dérivabilité, théorèmes de Rolle et des accroissements finis I Limites Continuités Exercice 1 : Soit :]−1,+∞[ → ℝ la fonction définie par : ( ) =

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Corrigé des exercices sur l'étude de fonctionsTSCorrigé des exercices sur l'étude de fonctionsDérivabilité.La fonction f définie par fx=xxest-elle dérivable en 0 ?

h0, limh0 f0h-f0 h=limh0 hh h=limh0 h=0 =f'0.f est dérivable en 0.La fonction f définie par fx=x1 xest-elle dérivable en 0, x0? h0, limh0 f0h-f0 h=limh0 h1h hh=limh0 h1 h=∞f n'est pas dérivable en 0.Etude de fonctions.1_ Etude de f définie par fx=x1 x2Ensemble de définition.

fxexiste si x2 ≠0doncDf=]-∞,-2 [∪]-2 , ∞[Changement d'écriture.

ab x2 =ax2b x2=ax2 ab x2On identifie les numérateurs de l'expression ci-dessus et de f. a=1

2 ab=1

a=1 b=-1 donc fx=1 -1 x2Limites et asymptotes.On travaille avec cette dernière écriture de fx. limx∞ 1 x2=0 ⇒limx∞

fx=1et la droite d'équation y=1est une asymptote horizontale à la courbe au voisinage de

limx-∞ 1 x2=0 ⇒limx-∞

fx=1et la droite d'équation y=1est une asymptote horizontale à la courbe au voisinage de

limx-2 1 x2est infinie. Il faut faire une étude de signe pour x proche de -2.Pour x-2,1 x20donc limx-2 x-2 1 -1 x2=∞et limx-2 x-2 fx=∞Thierry Vedel1 sur 4 Corrigé des exercices sur l'étude de fonctionsTSPour x-2,1 x20donc limx-2 x-2 1 -1 x2=-∞et limx-2 x-2 fx=-∞La droite d'équation

x=-2est une asymptote verticale à la courbe. Position de la courbe par rapport à l'asymptote à l'infini.On étudie le signe de

fx-1 =-1 x2Pour x-2,-1 x20donc la courbe est au dessus de l'asymptote.Pour x-2,-1 x20donc la courbe est en dessous de l'asymptote. f'et tableau de variation. f'x=1'--1 x22=1 x220La fonction est strictement croissante. x -∞ -2∞ f'++ ∞ 1 f 1

-∞Centre de symétrie.S'il y a un centre de symétrie les asymptotes doivent être symétriques donc ce ne peut être que leur

point d'intersection

C-2;1.

2 -f-4 -x=2 -1 -1

-4 -x2=1 1 -x-2=1 -1

x2=fxC est bien le centre de symétrie. La courbe est une hyperbole équilatère. (Les asymptotes sont perpendiculaires )Thierry Vedel2 sur 4

Corrigé des exercices sur l'étude de fonctionsTS2_ Etude de f définie par fx=2 x2 3 x4

x1Ensemble de définition.

fxexiste si x1 ≠0doncDf=]-∞,-1 [∪]-1 , ∞[Changement d'écriture.

axbc x1 =axbx1c x1=ax2 abxbc x1On identifie les numérateurs de l'expression ci-dessus et de f. a=2 ab=3 bc=4 a=2 b=1 c=3 donc fx=2x1 3 x1Limites et asymptotes.On travaille avec cette dernière écriture de fx. limx∞ 3 x1=0 ⇒limx∞ fx=∞ limx-∞ 3 x1=0 ⇒limx-∞ fx=-∞ limx-1 3 x1est infinie. Il faut faire une étude de signe pour x proche de -1.Pour x-1,3 x10donc limx-1 x-1 fx=-∞Pour x-1,3 x10donc limx-1 x-1 fx=∞La droite d'équation

x=-1est une asymptote verticale à la courbe.D'après la forme de la fonction on peut conjecturer que la droite d d'équation

y=2 x1est une asymptote oblique. limx∞ 3 x1=0 etlimx-∞ 3 x1=0 Donc d est asymptote à la courbe au voisinage de

∞et -∞. Position de la courbe par rapport à l'asymptote à l'infini.On étudie le signe de

fx-2 x1=3 x1Pour x-1,3 x10donc la courbe est en dessous de l'asymptote.Pour x-1,3 x10donc la courbe est au dessus de l'asymptote.Thierry Vedel3 sur 4 Corrigé des exercices sur l'étude de fonctionsTSf'et tableau de variation x1'=2 -3 x12=2x12 -3 x12 f'a le même signe que le numérateur.

2x12 -3 =2 x12 -3

2 =2 x1 -3

2x1 3

2Les racines de

f'sont x1 =-1 -3

2=-2 -3

2 =-2 -6

2et x2 =-2 6

2 f'0sur ]-∞,x1 [∪]x2 , ∞[ f'0sur ]x1 , -1 [∪]-1 , x2 [ x -∞ x1 -1 x2 ∞ f'x + 0 - - 0+

M ∞ ∞

f -∞ -∞ m

M=fx1=-2 6 -1est un maximum.

m=fx2=2 6 -1est un minimum. Centre de symétrieS'il y a un centre de symétrie les asymptotes doivent être symétriques donc ce ne peut être que leur