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[PDF] Intégration TD4 Espaces Lp (1)

- si p = 1, il y a égalité si et seulement si fg ≥ 0 µ-p p 1 Page 2 L'inégalité de Minkowski prouve (entre autre ) que L p(µ) est un espace vectoriel Il faut travailler 

[PDF] TD4 Espaces de Lebesgue

UE LM365 Intégration 2 Année 2014–15 TD4 Espaces de Lebesgue Exercice 1 Soit (X,A,µ) un espace mesuré a) Soient f et g deux fonctions La suite (fn)n ≥1 converge-t-elle vers 0 dans Lp(λ) (p ≥ 1)? Exercice 3 Soient p, q ∈ [1,+∞] 

[PDF] Intégration et Probabilités TD 4 : Espaces Lp et Lp

FICM 1`ere Année Intégration et Probabilités TD 4 : Espaces Lp et Lp Dans tous les exercices, λd désigne la mesure de Lebesgue sur Rd et δa la masse de  

[PDF] Intégration et Probabilités – TD 1 Espaces mesurés Quelques

Intégration et Probabilités – TD 4 Théor`emes de Soit (fn)n≥0 une suite de fonctions positives dans l'espace Lp(µ), 1 ≤ p < +∞ Montrer que si fn → f dans 

[PDF] TD4 Espaces de Lebesgue

UE LM365 Intégration 2 Année 2014–15 TD4 Espaces de Lebesgue Exercice 1 Soit (X,A,µ) un espace mesuré a) Soient f et g deux fonctions La suite (fn)n ≥1 converge-t-elle vers 0 dans Lp(λ) (p ≥ 1)? Exercice 3 Soient p, q ∈ [1,+∞] 

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L3 MMESI INTEGRATION-PROBABILITES 2 TD 4 Espaces Lp, Intégration Exercice 1 Soit f et g deux fonctions mesurables positives sur un espace (X, T ,µ) , 

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1 Montrer que le théorème est valide pour f fonction indicatrice d'un pavé de Rd Ici, un pavé Convolution dans différents espaces Lp 2013-2014 : TD 4

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Exercice 6 Soit (E,T ,µ) un espace mesuré, (F,U) un espace mesurable et g : E → F une application (T Exercice 13 Intégration terme `a terme d'une série de fonctions positives Soit fn une suite TD4 Théor`emes de convergence Exercice 16 Montrer que la suite (fn)n converge dans Lp([0,1[) vers la fonction nulle 13 

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Int

´egration et Probabilit´es - TD 1

Espaces mesur´es

Quelques exercices pour bien d

´emarrer...

Exercice 1 [Op´erations sur les tribus].SoitFune tribu de Ω etBun ´el´ement deF. Montrer que la classe de parties de Ω d´efinie par{A∩B, A? F}est une tribu deB- on l"appelle tribu trace deFsurB. Montrons maintenant que la r´eunion croissante de tribus n"est pas forc´ement une tribu. Soit Ω =N. Pour tout entier natureln, on poseFn=σ({0},...,{n-1}). En consid´erant 2N, montrer que?n?NFnn"est pas une tribu. Exercice 2.On consid`ere un ensembleE, et (An)n≥1une suite de sous-ensembles deE. Si

A?E, on noteIAsa fonction caract´eristique.

(1) Que d´esignent "avec des mots" les ensembles suivants,? n≥1? k≥nA k,? n≥1? k≥nA k?

Le premier est not´e liminf

nAn, le second limsupnAn. Interpr´eter. Relier les fonctions caract´eristiquesIliminfnAn,IlimsupnAnaux fonctionsIAn,n≥1. (2) On suppose que (E,A,μ) est un espace mesur´e (μest une mesure positive). Montrer que et que siμ(?n≥1An)<∞, alors

μ(limsup

nAn)≥limsup nμ(An). (3)Lemme de Borel-Cantelli:Soit (An)n≥1une suite d"´el´ements deA. Si? n≥1μ(An)<∞, montrer queμ(limsupnAn) = 0. (4) Application. Soitε >0. Montrer que pour presque-toutx?[0,1] (i.e., pour la mesure de Lebesgueλ), il existe un nombre fini de rationnelsp/qavecpetqpremiers entre eux tels que|x-p/q|<1/q2+ε(donc presque toutxest "mal approchable par des rationnels `a l"ordre 2+ε"). Question subsidiaire: donner des points pour lesquels ceci est v´erifi´e, et d"autres o`u ¸ca ne l"est pas. Exercice 3.Soit (E,A) un espace mesurable et (fn)nune suite de fonctionsE→Rmesu- rables. Montrer que l"ensemble desxo`u (fn(x))nadmet une limite finie est mesurable (une m´ethode consiste `a utiliser le crit`ere de Cauchy). Exercice 4.Soit (E,A,μ) un espace mesur´e, avecμmesure positive de masse totale non nulle, etf:E→Rune fonction mesurable. SoitUun ouvert deRcontenant 0, montrer qu"il existe un ensembleA? Atel queμ(A)>0 et ?x,y?A, f(x)-f(y)?U. 2

Quelques exercices d"approfondissement

Exercice 5.Existe-t-il une tribuA(sur un ensembleE) qui soit infinie d´enombrable? On pourra (par exemple) s"int´eresser aux "atomes" de la tribuA: pourx?Eon note x=?

A?A:x?AA.

On montrera alors que chaque ´el´ement deAs"´ecrit de fa¸con unique comme r´eunion d"atomes,

et que l"injection ainsi d´efinie est en r´ealit´e une bijection lorsqueAest d´enombrable.

Exercice 6.

(1) SoitBkl"ensemble des bor´eliens deRk. Montrer queBn+mest ´egal `a la tribu produit B n? Bmpour toutm,n. (2) Plus g´en´eralement, siXetYsont deux espaces topologiques, admettant une base d´enombrable d"ouverts, et munis des tribus bor´eliennesB(X) etB(Y), alorsB(X×

Y) =B(X)? B(Y).

(3) SoitIun intervalle ouvert deR, etCl"espace des fonctions r´eelles continues sur I, muni de la topologie de la convergence uniforme sur tout compact. On noteC1 la tribu bor´elienne etC2la plus petite tribu rendant les applications de projection x:f?→f(x) mesurables pour toutx?I. Comparer ces deux tribus.

Quelques exercices plus avanc

´es

Exercice 7 [Ensembles de Cantor].Soit (dn)n≥0une suite d"´el´ements de ]0,1[, et soit K

0= [0,1]. On d´efinit une suite (Kn)n≥0de la fa¸con suivante; connaissantKn, qui est une

r´eunion d"intervalles ferm´es disjoints, on d´efinitKn+1en retirant dans chacun des intervalles

deKnun intervalle ouvert centr´e au mˆeme point, de longueurdnfois celle de l"intervalle. On poseK=? n≥0Kn. (1) Montrer queKest un compact non d´enombrable, totalement disconnect´e (i.e., ses composantes connexes sont r´eduites `a des points), sans points isol´es. (2) Calculer la mesure de Lebesgue deK. Commenter. (3) En pensant `a des ensembles de Cantor, pouvez-vous construire un chemin injectif de [0,1] dans [0,1]2dont la mesure de Lebesgue n"est pas nulle? Exercice 8.Questions1pour la mesure de LebesgueλsurR: (1) Un ouvert deRde mesure finie est-il forc´ement born´e? (2) Un bor´elien de mesure strictement positive est-il forc´ement d"int´erieur non vide? Un ouvert dense de [0,1] a-t-il forc´ement une mesure 1? (3) Construire deux compacts de [0,1] hom´eomorphes, l"un de mesure nulle, l"autre de mesure strictement positive. mesure ´egale `aε. (5) Construire un bor´elienAdeRtel que pour tout intervalle ouvert born´e non videI on ait 0< λ(A∩I)< λ(I).1. cet exercice requiert des r´esultats de l"exercice 7 3 Int

´egration et Probabilit´es - TD 2

Espaces mesur´es - Int´egrale des fonctions mesurables Dans ce qui suit,(E,A,μ)d´esigne un espace mesur´e. Les fonctions mesurablesf:E→R

ouCconsid´er´ees le sont par rapport `a la tribuAet `a la tribu bor´elienne deRouC, not´ee

B(R)ouB(C)respectivement.λd´esigne la mesure de Lebesgue surR.

Quelques exercices pour bien d

´emarrer...

Exercice 1.Soitfune fonction int´egrable sur (R,B(R),λ), etα >0. Montrer que pour presque toutx?R, limn→∞n-αf(nx) = 0. Exercice 2.Soitf:R→R+une fonction positive mesurable. On suppose que pour tous a < b,? ]a,b[f(x)λ(dx) = 0. Montrer quef= 0λ-p.p. Faire de mˆeme pourf:R→C int´egrable. Exercice 3.Soitf:E→Cune fonction int´egable. `a valeurs complexes. Montrer que si

Efdμ|=?

E|f|dμalors il existeα?C,|α|= 1, tel que|f|=αf μ-p.p. Exercice 4 [Uniforme continuit´e de l"int´egrale].Soitf:E→Rune fonction int´egrable.

Montrer

?ε >0,?δ >0,?A? A, μ(A)< δ=?? A |f|dμ < ε. En d´eduire que sif:R→Rest int´egrable pour la mesure de Lebesgue, alorsF:u?→? [0,u]fdλest uniform´ement continue.

Quelques exercices d"approfondissement

Exercice 5 [Th´eor`eme d"Egoroff].On suppose queμ(E)<∞. On consid`ere une suite (fn)n≥1de fonctions r´eelles surE, mesurables. On suppose quefn→f μ-p.p. Montrer que pour toutε >0, il existeA? Atel queμ(A)< ε, et surE\A, la convergence a lieu uniform´ement. Indication: on pourra consid´erer les ensembles E k,n=? j≥n? |fj-f|<2-k?

Que se passe-t-il siμ(E) =∞?

Exercice 6 [Lemme de Scheff´e].Soit (fn)n≥1une suite de fonctionsE→R+positives mesurables, convergeantμ-p.p. vers une fonctionf. On suppose que? E f ndμ→? E fdμ <∞. Montrer alorsfn→fdansL1(μ). Donner un ´enonc´e analogue pour des fonctionsfn:R→R int´egrables. 4 Exercice 7.Soitf: [0,1]→Rune fonction continue. Pour touty?R, on noteN(y)?¯Rle nombre de solutions de l"´equationf(x) =y. Montrer queNest une fonction mesurable.

Un exercice plus avanc

´e Exercice 8 [Convergence en mesure].On suppose queμest une mesure (positive) de

masse finie - pour fixer les id´ees, disons queμest une probabilit´e. Soit (fn)n≥1une suite de

fonctions mesurables deEdansR. On d´efinit que la suite converge enμ-mesure (μ-probabilit´e)

versf:E→Rlorsque ?ε >0, μ(|f-fn|> ε)-→n→∞0. Montrer que sifn→f μ-p.s. (ou dansL1(μ)), alorsfn→fenμ-probabilit´e; remarquer ´egalement que les r´eciproques sont fausses. En utilisant le lemme de Borel-Cantelli, montrer que sifn→fen probabilit´e, alors on peut extraire une sous-suite qui convergeμ-p.s. Montrer quefn→fen probabilit´e si et seulement si de toute sous-suite extraite de (fn)n≥1, on peut extraire une sous-sous-suite qui converge

μ-p.s. versf.

Application: un th´eor`eme de convergence domin´ee un peu plus fort. Si lesfn,n≥1, sont

toutes domin´ees pargint´egrable, et sifn→fenμ-probabilit´e, alorsfn→fdansL1(μ).

Remarque: la convergence enμ-probabilit´e est en r´ealit´e une notion topologique. Montrer

que l"on peut munir l"ensemble des fonctions mesurables d"une distance pour laquelle la conver-

gence ´equivaut `a celle en probabilit´e (la convergence en probabilit´e est donc m´etrisable - on

peut mˆeme proposer deux distances diff´erentes mais ´equivalentes), et que l"espace m´etrique

ainsi obtenu est complet. (Prouver, en revanche, que la convergence presque-sˆure n"est pas m´etrisable en g´en´eral.) 5 Int

´egration et Probabilit´es - TD 3

R´egularit´e des mesures - Mesure et int´egrale de Lebesgue - Th´eor`emes de convergence R ´egularit´e des mesures et liens entre fonctions continues et mesurables Exercice 1 [Th´eor`eme de Lusin].Soit (E,A,μ) un espace mesur´e, o`uEest un espace

topologique muni de sa tribu bor´elienneA, etμest une mesure (positive) finie etr´eguli`ere,

i.e., telle que (r´egularit´e ext´erieure) pour toutA? A,

μ(A) = inf{μ(U) :Uouvert, A?U},

et (r´egularit´e int´erieure) pour toutA? A,

μ(A) = sup{μ(K) :Kcompact, K?A}.

SoitE?un espace topologique `a base d´enombrable d"ouverts (muni de sa tribu bor´elienne).

Montrer qu"une fonctionf:E→E?estμ-p.p. ´egale `a une fonction bor´elienne si et seulement

si pour toutε >0, il existeK?E(compact) de mesure v´erifiantμ(Kc)< εet tel que la restriction def`aE\Kest continue. Remarquer que l"on ne peut pas remplacer la premi`ere assertion par la simple mesurabilit´e def. Exercice 2 [Th´eor`eme de Vitali-Carath´eodory].Soit (E,A,μ) un espace mesur´e, avec

μpositive r´eguli`ere (mais non n´ecessairement finie). Soitf:E→Rune fonction int´egrable,

et soitε >0. Montrer qu"il existe deux fonctions r´eellesuetvd´efiniesE→R, telles que inf´erieurement et born´ee inf´erieurement, de sorte que? R (v-u)dλ < ε . Rappel:u(respectivementv) est dite semi-continue sup´erieurement (resp. semi-continue inf´erieurement) si pour toutα?R,{u < α}(resp.{v > α}) est ouvert. A titre d"exer- cice, vous pourrez prouver ´egalement que toute fonction semi-continue, inf´erieurement ou sup´erieurement, est mesurable. Exemples: la fonction caract´eristique d"un ensemble ouvert

est semi-continue inf´erieurement. La fonction caract´eristique d"un ensemble ferm´e est semi-

continue sup´erieurement. Notez que la classe des fonctions semi-continues sup´erieurement (resp. inf´erieurement) est stable par addition. Exercice 3 [R´egularit´e des mesures finies sur un espace polonais].Un espace topo- logiqueEest appel´epolonaiss"il dispose d"une m´etrique qui le rende complet et s´eparable. Montrer que toute mesure bor´elienne finie d´efinie sur un espace polonais est r´eguli`ere.

Du calcul, du calcul...

Exercice 4.Calculer, en fonction deα?R, les limites quandn→ ∞de?n 0? 1-xn nxα-1dxet de? n 0? 1-xn neαxdx . 6 Exercice 5.Soit (fn) une suite de fonctions int´egrables sur (E,A,μ). Montrer que n≥0? E |fn|dμ <∞implique? n≥0? E f ndμ=? E( n≥0f n) dμ, puis calculer ?1

0lnx1-xdx .

Exercice 6.Soit (an) une suite quelconque de r´eels et (αn) une suite de r´eels strictement positifs. Montrer que si? n≥0⎷α n<+∞, alors, pour presque toutx?R,? n≥0α n|x-an|<+∞, et mˆeme, `a y bien regarder, n≥0?α n|x-an|<+∞. Exercice 7.Soit?: [0,1]→RLebesgue-int´egrable. Etudier les fonctions

F:t?R+?→?

1

0??(x)2+tdxetG:t?R?→?

1 0 |?(x)-t|dx .

Exercice 8.En d´erivant sous le signe somme, calculer la transform´ee de Fourier de la densit´e

gaussiennef:x?→e-x2/2/⎷2π.

Rappel:?

R e-x2/2dx=⎷2π .

Mesure et int

´egrale de Lebesgue

Exercice 9.Rappeler pourquoi, pour qu"une partieEdeRsoit Lebesgue-mesurable, il faut et il suffit qu"il existe deux ensembles disjointsAetN, tous deuxbor´eliens,N´etant de mesure nulle, tels queA?E?A?N. Sig:R→Rest Lebesgue-mesurable, montrer qu"il existe deux fonctions bor´eliennesf h(x)<+∞. 7 Exercice 10.Montrer quef: [0,1]→Rborn´ee est Riemann-int´egrable si et seulement si l"ensembleDdes points de discontinuit´e defest de mesure de Lebesgue nulle. A cet effet, (1) on appelle oscillation defenx?[0,1] la quantit´e ω(f,x) = limh→0, h>0sup{|f(u)-f(v)|:|u-x|< h,|v-x|< h}; montrer quefest continue enxsi et seulement si son oscillation est nulle enx; (2) soitIun intervalle compact de [0,1]; siω(f,·)< εsurI, montrer qu"il existea >0 tel que|u-v|< aimplique [f(u)-f(v)]< εsurI;

(3) on noteDεl"ensemble des points de [0,1] o`u l"oscillation est sup´erieure ou ´egale `aε;

montrer queDεest un compact (en prouvant que son compl´ementaire est ouvert); (4) conclure `a l"´equivalence propos´ee. La fonctionIQest-elle Riemann-int´egrable, Lebesgue-int´egrable? Exercice 11 [Ensembles non mesurables].Voici une construction propos´ee par Vitali en

1905. Une autre m´ethode d"obtention d"ensembles non-Lebesgue mesurables deRest due `a

Bernstein (1908). Voir `a ce propos J.C. Oxtoby,Measure and Category, chapitre 5. Quant `a

prouver qu"il existe des ensembles Lebesgue-mesurables non bor´eliens, une premi`ere r´ef´erence

est W. Rudin,Analyse r´eelle et complexe, chapitre 2 - l"auteur y propose un argument de cardinalit´e. Soit (E,A,μ) un espace mesur´e, de mesure totale finie non nulle. On suppose qu"il existe une application mesurable bijectiveT, `a r´eciproque mesurable, et qui conserve la mesure au sens o`uT◦μ=μ, c"est-`a-dire: ?A? A, μ(T-1(A)) =μ(A). On suppose de plus queTn"a pas de point p´eriodique, soit, sin?Zetx?Esont tels que T n(x) =x, alorsn= 0. Pour chaquex, on consid`ere l"orbiteO(x) ={Tn(x), n?Z}. Par l"axiome du choix, on construit un ensembleAchoisissant un unique ´el´ement dans chaque

O(x),x?E.

(1) Montrer queAn"est pas mesurable. (2) En particulier, construire un sous-ensemble deRqui n"est pas mesurable pour la mesure de Lebesgue. (3) En d´eduire qu"il n"existe pas de mesureμsur (R,P(R)) invariante par translation, donnant une mesure finie mais non nulle `a [0,1].

Un exercice plus avanc

´e Exercice 12 [Fonctions r´eelles additives].Soitf:R→Radditive, i.e., telle que pour tousx, y?R,f(x+y) =f(x)+f(y). On se propose de montrer que sifest mesurable, alors elle est lin´eaire, i.e. il existe una?Rtel que pourtoutx,f(x) =ax(et non seulement pour presque toutx). On propose le sch´ema de preuve suivant: (1) Montrer que pour toutx?Retr?Q,f(rx) =rf(x). (2) Montrer que si le graphe defn"est pas dense dans le plan, alorsfest lin´eaire. (3) SoitAun bor´elien deRde mesure de Lebesgueλ(A)>0. Montrer que l"ensemble

A-A={x-y:x,y?A}

contient un intervalle ouvert centr´e en 0. 8 (4) Montrer que sifest mesurable, alors elle est born´ee sur un voisinage de 0. Conclure. En d´eduire la forme des fonctions multiplicatives (v´erifiantf(x+y) =f(x)f(y) pour tout x,y?R) qui sont strictement positives mesurables. Question subsidiaire: construire des fonctionsfadditives non lin´eaires. 9 Int

´egration et Probabilit´es - TD 4

Th´eor`emes de convergence - EspacesL0etL1

Exercice 1.Soit (E,A,μ) un espace mesur´e, (An)n≥1une suite deAetf?L1(μ). On suppose que? E |IAn-f|dμ---→n→∞0. n≥1μ(AnΔA)<∞, alorsIAn→IAμ-p.p. Exercice 2 [R´eciproque au th´eor`eme de convergence domin´ee].Soit (E,A,μ) un espace mesur´e, et (fn)n≥1une suite convergente de fonctions deL1(μ): il existef?L1(μ)

telle que?fn-f?1→0. Montrer qu"il existe une suite extraite (fφ(n))n≥1convergeantμ-p.p.

versfet telle qu"il existeh?L1(μ) avec,μ-p.p., sup n≥1? Indication: d´efinirφ:N→Ncroissante de sorte que pour toutn≥1, n, et consid´erer la suite (gn)n≥1d´efinie par g n=n? k=1? ?fφ(k+1)-fφ(k)??. Exercice 3 [Convergence en mesure].Soit (E,A,μ) un espace mesur´e. On suppose queμ

est une mesure (positive) de massefinie- pour fixer les id´ees, disons queμest une probabilit´e.

Soit (fn)n≥1une suite de fonctions mesurables deEdansR. On d´efinit que la suite converge enμ-mesure (μ-probabilit´e) versf:E→Rlorsque ?ε >0, μ(|f-fn|> ε)-→n→∞0. (1) Montrer quefn→f μ-p.s. ´equivaut `a la convergence vers 0 de supk≥n|fk-f|μ- probabilit´e (et donc, en particulier,fn→f μ-p.s implique quefnconverge versf

enμ-probabilit´e); sifn→fdansL1(μ), alorsfn→f´egalement enμ-probabilit´e;

remarquer ´egalement que les r´eciproques des deux implications sont fausses. (2) En utilisant le lemme de Borel-Cantelli, montrer que sifn→fen probabilit´e, alors on peut extraire une sous-suite qui convergeμ-p.s. Montrer quefn→fen probabilit´e si et seulement si de toute sous-suite extraite de (fn)n≥1, on peut extraire une sous- sous-suite qui convergeμ-p.s. versf. (3) Application:un th´eor`eme de convergence domin´ee un peu plus fort. Si lesfn,n≥1, sont toutes domin´ees pargint´egrable, et sifn→fenμ-probabilit´e, alorsfn→f dansL1(μ). 10 (4) La convergence enμ-probabilit´e est en r´ealit´e une notion topologique. Montrer en effet que l"on peut munir l"ensembleL0(μ) des fonctions mesurables (quotient´ees par la relation d"´egalit´eμ-p.p.) des deux distances ´equivalentes suivantes, d(f,g) =? E pour lesquelles la convergence ´equivaut `a celle en probabilit´e (la convergence en pro- babilit´e est donc m´etrisable). (5) Montrer que l"espace m´etrique (L0(μ),d) ainsi obtenu est complet (on utilisera un raisonnement similaire `a celui de la solution de l"exercice 2). Prouver, en revanche, que la convergence presque-sˆure n"est pas m´etrisable en g´en´eral.

Exercice 4 [Uniforme int´egrabilit´e].Soitμune mesure finie (disons, de probabilit´e) sur

un espace mesurable (E,A). Un sous-ensembleHdeL1(E,A,μ) est dit ´equi-int´egrable (ou uniform´ement int´egrable) si lim x→+∞sup h?H? {|h|≥x}|h|dμ= 0.

(1) Montrer qu"une partie finie deL1(μ) est ´equiint´egrable, qu"une famille born´ee parf?

L

1(μ) est uniform´ement int´egrable, et mˆeme que, siHest uniform´ement int´egrable,

alors E est ´egalement uniform´ement int´egrable. (2) Prouver queH ?L1(μ) est uniform´ement int´egrable si et seulement c"est une partie born´ee deL1(μ) v´erifiant ?ε >0,?δ >0,?A? A, μ(A)< δ=?sup h?Hμ[|h|IA]< ε .

Montrer´egalement qu"il existe des parties born´ees deL1(μ) non uniform´ement int´egrables.

(3) V´erifier alors que siHest uniform´ement int´egrable, alors il en est de mˆeme de sa fer-

meture dansL1(μ), et de son enveloppe convexe ferm´ee. SiHetKsont uniform´ement int´egrables, alors il en est de mˆeme pourH+K. (4) Montrer que toute partie compacte deL1(μ) est equi-int´egrable. En particulier, si (fn)n≥1est une suite convergente dansL1(μ), alors{fn, n≥1}est uniform´ement int´egrable.

(5) Prouver le crit`ere de de la Vall´ee-Poussin:H ?L1(μ) est uniform´ement int´egrable si

et seulement s"il existeG:R+→R+convexe croissante, avec lim x→+∞G(x)x = +∞et sup h?Hμ[G(|h|)]<+∞. En d´eduire que les parties born´eesHdeLp(μ),p >1, sont uniform´ement int´egrables, et mˆeme que pour tout 0< q < p,{|h|q, h? H}est uniform´ement int´egrable. (6) Montrer que l"assertion qui suit est une am´elioration du th´eor`eme de convergence do- min´ee, et la prouver: surH ?L1(μ) uniform´ement int´egrable, les traces des topologies deL0(μ) (voir exercice 3) etL1(μ) co¨ıncident. 11 (7) Prouver une variante du lemme de Scheff´e: soit (fn)n≥1une suite de fonctions mesu- rables positives int´egrables, convergeant en probabilit´e versf?L1(μ). Alorsfn→f dansL1(μ) si et seulement siμ[fn]→μ[f]. (8) En d´eduire que pourp >0 et (fn)n≥1suite de fonctions mesurables r´eelles ayant un moment d"ordrep, convergeant enμ-probabilit´e versf, on a ´equivalence entre les trois assertions suivantes: (i){|fn|p, n?N}est uniform´ement int´egrable; (ii)fn→fdansLp(μ); 12 Int

´egration et Probabilit´es - TD 5

EspacesLp

Exercice 1.Soit (fn) une suite qui converge dansLp(μ), 1< p <+∞versf. On suppose que (fn) converge ´egalementμ-p.p. versg. Montrer quef=g μ-p.p. Exercice 2.Soientfetgdeux fonctions mesurables positives sur un espace (E,A,μ), qui v´erifientfg≥1. Montrer que?

Efdμ?

quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18