Exemple : L'équation 3x2 − 6x − 2 = 0 est une équation du second degré Définition : On appelle discriminant du trinôme ax2 + bx + c , le nombre réel, noté A,
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Exemple : L'équation 3x2 − 6x − 2 = 0 est une équation du second degré Définition : On appelle discriminant du trinôme ax2 + bx + c , le nombre réel, noté A,
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Discriminant ∆ = b2 − 4ac Il existe forcément un nombre complexe δ tel que ∆ = δ2 Si l'on écrit ∆ = b2 − 4ac = δ2,
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1) Pour résoudre cette équation du second degré on calcule son discriminant : ∆ =52 − 4(2 × (−4)) = 57, il est positif donc l'équation admet deux solutions qui
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I – Se préparer au DNB au cours de l'année de troisième Une formule est déjà saisie dans la cellule B4 pour calculer le temps de trajet avant la limitation à 80 km/h familiariser et d'augmenter son degré de maîtrise des compétences algébriques du Elle ne parait pas très compliquée de prime abord ; mais
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1YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frSECOND DEGRE (Partie 2) I. Résolution d'une équation du second degré Définition : Une équation du second degré est une équation de la forme
ax 2 +bx+c=0 où a, b et c sont des réels avec a≠0 . Une solution de cette équation s'appelle une racine du trinôme ax 2 +bx+c . Exemple : L'équation 3x 2 -6x-2=0 est une équation du second degré. Définition : On appelle discriminant du trinôme ax 2 +bx+c , le nombre réel, noté Δ, égal à b 2 -4ac . Propriété : Soit Δ le discriminant du trinôme ax 2 +bx+c . - Si Δ < 0 : L'équation ax 2 +bx+c=0 n'a pas de solution réelle. - Si Δ = 0 : L'équation ax 2 +bx+c=0 a une unique solution : x 0 b 2a . - Si Δ > 0 : L'équation ax 2 +bx+c=0 a deux solutions distinctes : x 1 -b-Δ 2a et x 2 -b+Δ 2a. Propriété démontrée dans le paragraphe II. Méthode : Résoudre une équation du second degré Vidéo https://youtu.be/youUIZ-wsYk Vidéo https://youtu.be/RhHheS2Wpyk Vidéo https://youtu.be/v6fI2RqCCiE Résoudre les équations suivantes : a)
2x 2 -x-6=0 b) 2x 2 -3x+ 9 8 =0 c) x 2 +3x+10=0 a) Calculons le discriminant de l'équation 2x 2 -x-6=0: a = 2, b = -1 et c = -6 donc Δ = b2 - 4ac = (-1)2 - 4 x 2 x (-6) = 49. Comme Δ > 0, l'équation possède deux solutions distinctes :
x 1 -b-Δ 2a --1 -492×2
3 2 x 2 -b+Δ 2a --1 +492×2
=22YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frb) Calculons le discriminant de l'équation
2x 2 -3x+ 9 8 =0 : a = 2, b = -3 et c = 9 8 donc Δ = b2 - 4ac = (-3)2 - 4 x 2 x 9 8 = 0. Comme Δ = 0, l'équation possède une unique solution : x 0 b 2a -32×2
3 4 c) Calculons le discriminant de l'équation x 2 +3x+10=0: a = 1, b = 3 et c = 10 donc Δ = b2 - 4ac = 32 - 4 x 1 x 10 = -31. Comme Δ < 0, l'équation ne possède pas de solution réelle. II. Factorisation d'un trinôme On a vu dans le chapitre "Second degré (partie 1)" que la fonction f définie sur
par f(x)=ax 2 +bx+c peut s'écrire sous sa forme canonique : f(x)=ax-α 2 avec b 2a et b 2 -4ac 4a . Donc : f(x)=ax+ b 2a 2 b 2 -4ac 4a =ax+ b 2a 2 4a =ax+ b 2a 2 4a 2 - Si Δ < 0 : L'équation f(x)=0 peut s'écrire : x+ b 2a 2 4a 2Comme un carré ne peut être négatif
4a 2 <0 , l'équation n'a pas de solution. - Si Δ = 0 : f(x)=ax+ b 2a 2L'équation
f(x)=0 peut s'écrire : x+ b 2a 2 =0L'équation n'a qu'une seule solution :
x 0 b 2a - Si Δ > 0 : f(x)=ax+ b 2a 2a x+ b 2a 2aL'équation
f(x)=0 peut s'écrire : x+ b 2a 2a x+ b 2a 2a =0L'équation a deux solutions distinctes :
x 1 -b-Δ 2a et x 2 -b+Δ 2a Propriété : Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie sur par f(x)=ax 2 +bx+c . - Si Δ = 0 : Pour tout réel x, on a : f(x)=a(x-x 0 2 . - Si Δ > 0 : Pour tout réel x, on a : f(x)=ax-x 1 x-x 2. Remarque : Si Δ < 0, on n'a pas de forme factorisée de f. Méthode : Factoriser un trinôme Vidéo https://youtu.be/eKrZK1Iisc8 Factoriser les trinômes suivants : a)
4x 2 +19x-5 b) 9x 2 -6x+1 a) On cherche les racines du trinôme 4x 2 +19x-5 : Calcul du discriminant : Δ = 192 - 4 x 4 x (-5) = 441 Les racines sont : x 1 -19-441