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2) Des exemples 1er exemple : Tirages successifs Tirage avec remise : on tire successivement 4 cartes dans un jeu de 32 cartes ; chaque fois qu'une carte est 

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18 fév 2014 · EXERCICE 2 Dans un jeu de 52 cartes, on tire au hasard 5 cartes (sans remise) 1 Décrire l'univers de l'expérience et donner son cardinal

[PDF] Chapitre 1: Introduction au calcul des probabilités, cas dun - LMPT

Des actions comme lancer un dé, tirer une carte d'un jeu, obser- ver la durée de vie d'une Exemple 3 8 : Si on joue avec deux dés, un blanc et un rouge, l'expé- 3) Si on tire successivement 3 cartes d'un jeu de 32 cartes (sans remise) 4 

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2 2 9 Exercice On possède une cage avec 35 lapins et 4 hamsters 14 D'un jeu de 52 cartes, on tire deux cartes simultanément (sans remise) De combien de On tire successivement et sans remise 2 boules de l'urne

[PDF] Une urne contient 10 boules numérotées de 1 à 10 On tire trois fois

On tire trois fois de suite une boule avec remise Les tirages s'effectuent successivement, avec remise L'ordre Tirages successifs de 12 cartes, sans remise, d'un jeu de 52 cartes : l'ordre est important puisque les tirages sont probabilité de tirer deux boules noires simultanément dans une urne contenant 2 noires et 3 

[PDF] 1 On tire successivement 4 cartes dun jeu de 32 , sans remise entre

On tire successivement 2 boules avec remise dans l'urne de la première boule tirée Calculer la probabilité p pour que les deux boules tirées soient noires

[PDF] 2 Probabilités

Exemple On tire 5 cartes d'un jeu de poker (52 cartes) Quelle est cessivement et sans remise trois jetons Quelle est On tire successivement et sans remise deux billes Un tireur à l'arc atteint sa cible avec une probabilité de 60 Il tire  

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On considère deux événements V et F tels que : • p(V ) = 0,4 IV Tirage successif avec remise On tire au hasard une carte d'un jeu de 32 cartes, on la note 

[PDF] PROBABILITES

dans un tableau à double entrée, appelé triangle de Pascal : n \ p 0 1 2 Exemple n°1 : Dans un jeu de 32 cartes, on tire simultanément 3 cartes au hasard Quelle est la On tire successivement 6 jetons un à un, avec remise a Quelle est 

[PDF] Dénombrement

Avec un jeu de trente-deux cartes, il y a 201 376 mains de cinq cartes 2) Il y a quatre couleurs (carreau, cœur, pique trèfle) et quatre hauteurs (à l'as, au roi, à la  

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Dénombrement 1/2

DENOMBREMENT

I) Permutations et factorielle.

1) Exemple : une anagramme d'un mot est un nouveau mot constitué des mêmes lettres que celles du mot initial mais

dans un ordre différent. Déterminer le nombre d'anagrammes du mot " Marie » qui contient 5 lettres distinctes. Chacune des ces anagrammes est appelée une permutation des cinq lettres m, a, r, i, e. Il y a donc 5 ´ 4 ´ 3 ´ 2 ´ 1 anagrammes possibles, soit 120.

2) Définition : Pour tout entier n naturel non nul, le nombre !n, lu " factorielle n », est le produit des n entiers non nuls

inférieurs ou égaux à n : ()()1221!´´´-´-´=Lnnnn.

On pose 11!= et 01!=.

Le nombre de permutations de n objets est égal à n !.

Remarque : Dans l'exemple précédent, le nombre d'anagrammes est donc égal à 5 ! = 5 ´ 4 ´ 3 ´ 2 ´ 1 = 120.

II) Combinaisons

1) Définition : Soit E un ensemble contenant n éléments et p un entier inférieur ou égal à n. On appelle combinaison de p

éléments pris parmi les n éléments de E, un sous-ensemble de E à p éléments.

Remarque : une combinaison de p éléments de E étant un sous-ensemble de E, ses éléments s'écrivent entre accolades et

l'ordre dans lequel ils sont notés n'a pas d'importance.

2) Propriété : Soit p un entier inférieur ou égal à n. Le nombre de combinaisons de p éléments pris parmi n est égal au

nombre Cnp défini par : pnpnCpn-= et on a les résultats suivants : Cn01= ; Cnn1= ; 1=n nC. Propriété : Soit p un entier inférieur ou égal à n. On a : CCnp nnp=- (symétrie) ; CCCnp np np=+--- 111.

3) Triangle de Pascal : Les Cnp se calculent aussi de proche en proche grâce au triangle de Pascal (ci-dessous).

CCC43 33
32=+

III) Formule du binôme

Définition : Pour tous réels a et b, et tout entier n non nul : =-----=+++++=+n k kknk nnn nnn nn nn nn nnbaCbaCbaCbaCbaCbaCba

0011122211100L

IV) Méthodes et exemples

1ère lettre 2ème lettre 3ème lettre 4ème lettre 5ème lettre 5 choix 4 choix 3 choix 2 choix 1 choix p>

Dénombrement 2/2

1) Comment décrire l'univers W de l'expérience

Type de l'expérience aléatoire Commentaires Méthodes Tirage successif et avec remise

· Choix avec ordre ;

· il peut y avoir répétition d'un

élément. Le nombre de choix des éléments constituant les issues est le même. Tirage successif et sans remise

· Choix avec ordre ;

· il n'y a pas de répétition possible. Le nombre de choix des éléments constituant les issues diminue. Tirage simultané

· Choix sans ordre On utilise les nombres de

combinaisons Cnp.

2) Des exemples

1er exemple : Tirages successifs.

Tirage avec remise : on tire successivement 4 cartes dans un jeu de 32 cartes ; chaque fois qu'une carte est tirée, on la remet dans le jeu avant de tirer les suivantes.

· L'univers W contient 324 issues :

·Soit A l'événement " Obtenir exactement 2 coeurs ».

Dénombrer les cas favorables à A.

8

224242

1243412434ae

÷÷´C

place des 2 coeurs Choix des Choix des 2 coeurs 2 autres cartes

Il y a 222

4248´´C cas favorables à A, soit 221184.

Tirage sans remise : on tire successivement 4 cartes dans un jeu de 32 cartes ; on ne remet pas les cartes tirées dans le jeu avant de prendre les suivantes. · L'univers W contient 32 ´ 31 ´ 30 ´ 29 issues : · Soit B l'événement " Obtenir exactement 2 coeurs ».

Combien y a-t-il d'issues favorables à B.

{cartes autres 2 coeurs 2 desChoix desChoix C,,, coeurs

2 des place2

4

232478´÷÷

èae

´´4342143421

Il y a 2324782

4´´´´C issues favorables à B, soit

185472.

2ème exemple : Dans un jeu de 32 cartes, on tire simultanément 4 cartes.

· L'univers W contient 4

32C issues, soit 35960.

· Soit C l'événement " le tirage contient 2 coeurs exactement ».

Déterminer le nombre de cas favorables à C.

Il y a CC82

242282767728´=´= tirages contenant 2 coeurs exactement. Il y a

7728 cas favorables à C.

3) Calcul des probabilités

En pratique, les techniques de dénombrement sont utiles dans les situations d'équiprobabilité (indiscernables au toucher,

au hasard ...) où l'on calcule alors la probabilité d'un événement A comme suit : W

= de possibles cas de nombreA de favorables cas de nombrep(A). 1ère carte 2ème carte 3ème carte 4ème carte

32 choix 32 choix 32 choix 32 choix 1ère carte 2ème carte 3ème carte 4ème carte

32 choix 31 choix 30 choix 29 choix ,,,

CC822421243412434ì

Choix des Choix des 2 coeurs 2 autres cartesquotesdbs_dbs42.pdfusesText_42